0 (angka)

Untuk kegunaan lain, lihat 0.

0 (nol atau sifar) adalah bilangan yang digunakan untuk mewakili suatu besaran yang kosong. Menambahkan 0 ke sebarang bilangan tidak akan mengubah bilangan tersebut. Dalam terminologi matematika, 0 adalah identitas penambahan dari bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan riil, bilangan kompleks, dan banyak struktur aljabar lainnya. Mengalikan sebarang bilangan dengan 0 akan menghasilkan 0, dan sebagai akibatnya, pembagian oleh nol tidak memiliki makna dalam aritmetika.

← −1 0 1 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Daftar angka — Bilangan bulat ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Kardinal	0 kosong oh nil nol nihil
Ordinal	ke-0 (kenol)
Faktorisasi	${\displaystyle 0}$
Pembagi	semua bilangan lain
Romawi (unicode)	tidak ada
Biner	02
Ternari	03
Kuaternari	04
Quinary	05
Senary	06
Oktal	08
Duodesimal	012
Heksadesimal	016
Vigesimal	020
Basis 36	036
Arab	٠,0
Urdu
Bengali	০
Dewanagari	० (shunya)
Tionghoa	零, 〇
Jepang	零, 〇
Khmer	០
Thai	๐

Sebagai angka, 0 memainkan peran penting dalam notasi desimal, yakni untuk menyatakan perpangkatan bilangan sepuluh yang tidak digunakan dalam menentukan total. Sebagai contoh, "205" dalam desimal mengartikan dua ratus, tidak ada sepuluh, dan lima (bilangan) satu. Prinsip yang sama juga digunakan notasi-notasi nilai-tempat yang menggunakan basis selain sepuluh, seperti biner dan heksadesimal. Penggunaan bilangan 0 secara modern ini didasarkan dari matematika India yang disebarkan ke Eropa lewat para matematikawan Islam abad pertengahan dan dipopulerkan oleh Fibonacci. Konsep nol juga digunakan secara independen oleh peradaban Maya.

Sejarah

Timur Dekat Kuno

Angka Mesir kuno menggunakan basis 10,^[1] dengan hieroglif digunakan untuk mewakili angka, tapi tidak menggunakan konsep posisional (nilai-tempat). Dalam satu papirus yang ditulis sekitar 1770SM dan berisi catatan pemasukan dan pengeluaran harian dari istana firaun, hieroglif nfr digunakan untuk menandakan keadaan jumlah bahan makanan yang diterima sama persis dengan jumlah yang dihabiskan. Seorang ahli Mesir, Alan Gardiner, berpendapat bahwa hieroglif nfr digunakan sebagai simbol untuk angka nol. Simbol yang sama juga digunakan untuk menunjukkan tingkat dasar dalam gambar makam-makam dan piramida-piramida; jarak diukur relatif terhadap tingkat dasar ini (berada di atas atau di bawah).^[2]

Pada kisaran masa 1500 SM, matematika Babilonia memiliki sistem bilangan posisional basis 60 yang canggih. Tidak adanya nilai posisi (atau nol) ditunjukkan dengan adanya jarak di antara angka-angka seksagesimal. Sistem bilangan ini berbeda dengan sistem bilangan Hindu-Arab yang berkembang nantinya, dalam hal tidak dinyatakannya besaran (magnitudo) dari digit seksadesimal; jadi sebagai contoh, digit 1 () tunggal dapat mewakili 1, 60, 3600 = 60², dst., dan hanya dapat dipahami secara tersirat dari konteks. penanda-tempat mirip-nol hanya digunakan diantara angka-angka, tapi tidak pernah digunakan sendirian atau diakhir dari suatu bilangan.^[3]

Amerika pra-Kolombus

Angka nol Maya

Kalender Hitung Panjang Mesoamerika yang dikembangkan di Meksiko bagian selatan-tengah dan Amerika Tengah, memerlukan penggunaan nol sebagai penanda-tempat dalam sistem angka posisional vigesimal (basis 20). Banyak glif, termasuk quatrefoil parsial digunakan sebagai simbol nol untuk tanggal Hitung Panjang, dengan yang paling lawas memiliki tanggal 36 SM (pada Stela 2 di Chiapa de Corzo, Chiapas).^{[lower-alpha 1][4]}

Karena delapan dari tanggal-tanggal Hitung Panjang terlawas terletak di luar daerah Maya,^[5] umum dipercaya bahwa penggunaan nol di Amerika sudah ada sebelum Maya, dan mungkin penemuan dari Olmek.^[6] Banyak tanggal Hitung Panjang masa awal berada di daerah Olmek, walaupun peradaban Olmek telah berakhir abad ke-4 SM,^[7] beberapa abad sebelum tanggal-tanggal Hitung Panjang.^[8]

Walau nol menjadi bagian penting dalam angka Maya, dengan simbol mirip batok bagian bawah kura-kura untuk mewakili angka nol, hal ini dianggap tidak mempengaruhi sistem-sistem bilangan di Dunia Lama.^{[butuh rujukan]}

Quipu, suatu perangkat tali yang bersimpul, yang digunakan di Kekaisaran Inca dan masyarakat pendahulunya di wilayah Andes untuk mencatat akuntansi dan data lainnya, dikodekan dalam sistem posisi basis sepuluh. Nol diwakili oleh ketiadaan simpul pada posisi yang bersangkutan.^[9]

Zaman Klasik

Peradaban Yunani Kuno tidak memiliki simbol maupun penanda-tempat angka untuk nol (μηδέν, dilafalkan midén).^[10] Menurut matematikawan Charles Seife, bangsa Yunani Kuno baru mulai mengadopsi penanda-tempat nol versi Babilonia untuk menyelesaikan masalah terkait astronomi setelah 500 SM, yang diwakili dengan huruf kecil Yunani ό (όμικρον: omikron). Akan tetapi, setelah menggunakan penanda-tempat nol dalam perhitungan astronomi, mereka umumnya mengubah hasil kembali ke angka Yunani. Bangsa Yunani Kuno sepertinya memiliki penolakan filosofis untuk menggunakan nol sebagai bilangan.^[11] Para ahli lain menetapkan tanggal yang lebih muda terkait adopsi parsial Yunani terhadap nol Babilonia, dengan ahli saraf Andreas Nieder menentukan setelah 400 SM, dan ahli matematika Robert Kaplan memberikan tanggal setelah perang Aleksander.^[12][13]

Banga Yunani Kuno terlihat bimbang terkait status nol sebagai bilangan. Beberapa mempertanyakan, "Bagaimana yang tidak ada menjadi ada?", yang mengarah pada argumen-argumen filosofis, dan pada periode abad pertengahan, argumen-argumen religius terkait alam, keberadaan nol, dan ruang hampa. Paradoks-paradoks oleh Zeno dari Elea sebagian besar bergantung pada ketidakjelasan cara mengartikan nol.^[14]

Contoh dari simbol Yunani untuk nol pada masa awal (sudut kanan bawah) dari selembar papirus abad ke-2.

Pada tahun 150, Ptolemy menggunakan simbol untuk nol (—°)^[15][16] dalam karyanya di astronomi matematika, Syntaxis Mathematica (juga dikenal sebagai Almagest). Ia mendapat pengaruh dari Hipparkhos dan bangsa Babilonia.^[17] Nol Helenistik ini mungkin adalah catatan tertua penggunaan angka untuk mewakili nol di Dunia Lama.^[18] Ptolemy banyak menggunakannya dalam buku Almagest-nya (VI.8), untuk menyatakan magnitudo dari gerhana bulan dan matahari. Simbol Ptolemy digunakan sebagai penanda-tempat sekaligus sebagai angka dalam dua fungsi matematika, jadi simbol ini mewakili nol, bukan kosong. Seiring waktu, simbol nol Ptolemy cenderung membesar dan kehilangan garis atas, sehingga terlihat seperti omikron besar "O" panjang mirip-0, atau sebagai omikron dengan garis atas "ō", ketimbang versi aslinya yang berupa titik dengan garis atas.^[19]

Penggunaan nol tertua dalam perhitungan tanggal Paskah dilakukan sebelum tahun 311, pada entri pertama dalam tabel epak yang tersimpan dalam suatu dokumen Etiopia untuk tahun 311-369. Tabel ini menggunakan kata Ge'ez untuk "kosong" bersama dengan angka-angka Ge'ez (yang didasarkan pada angka Yunani), dan merupakan terjemahan dari tabel serupa yang diterbitkan oleh Gereja Aleksandria dalam bahasa Yunani Pertengahan.^[20] Nol ini digunakan kembali tahun 525 dalam tabel serupa, yang diterjemahkan dari kata Latin nulla ("kosong") oleh Dionysius Exiguus, bersama dengan angka-angka Romawi.^[21] Ketika pembagian tidak menghasilkan sisa, kata nihil (yang berarti tidak ada) digunakan. Nol abad pertengahan ini selanjutnya digunakan oleh para penghitung tanggal Paskah abad pertengahan. Awalan "N" digunakan sebagai simbol nol dalam suatu tabel angka Romai oleh Bede (atau koleganya) sekitar tahun 725.^[22]

China

Ilustrasi nol menggunakan tongkat penghitung China, didasarkan pada contoh oleh A History of Mathematics. Ruang kosong digunakan untuk mewakili nol.^[23]

Sunzi Suanjing, yang diperkirakan berasal dari sekitar abad ke-1 sampai ke-5 Masehi), dan catatan-catatan Jepang dari abad ke-18, menjelaskan cara sistem tongkat penghitung China abad ke-4 SM memungkinkan penghitungan desimal. Seperti yang dicatat dalam Xiahou Yang Suanjing (425-468 M), untuk mengalikan (atau membagi) sebuah angka dengan 10, 100, 1000, atau 10,000, yang perlu dilakukan dengan tongkat-tongkat di papan hitung, adalah memindahkannya ke depan (atau ke belakang) sebanyak 1, 2, 3, atau 4 tempat.^[24] Tongkat-tongkat tersebut memberikan representasi desimal dari sebuah angka, dengan ruang kosong yang mewakili nol.^[25][26] Sistem tongkat penghitung adalah sistem notasi posisional.^[27][28]

Nol tidak dianggap sebagai angka pada masa itu, tapi sebagai "posisi kosong".^[29] Karya Qin Jiushao Risalah Matematika dalam Sembilan Bab tahun 1247 adalah teks matematika China tertua yang selamat, yang menggunakan simbol bulat 〇 untuk nol.^[30] Asal usul dari simbol ini tidak jelas; mungkin dibawa dari India, atau dihasilkan dengan mengubah simbol persegi.^[31] Risalah tersebut juga menunjukkan bahwa penulis-penulis China sudah familiar dengan konsep bilangan negatif pada masa dinasti Han (abad ke-2).^[32]

India

Seorang cendekiawan sajak Sanskerta bernama Pingala (sekitar abad ke-3 atau ke-2 SM),^[33][34] menggunakan barisan biner dalam bentuk suku kata pendek dan suku kata panjang (yang setara dengan dua suku kata pendek) untuk menentukan metrum Sanskerta yang valid; suatu notasi yang mirip dengan kode Morse.^[35] Pingala menggunakan kata Sanskerta śūnya secara eksplisit untuk merujuk nol.^[33]

Manuskrip Bakhshali, dengan angka "nol" diwakili oleh titik hitam (tahun 224–383)

Konsep nol sebagai angka dalam notasi nilai-tempat desimal dikembangkan di India.^[36] Simbol nol berupa titik besar digunakan di keseluruhan manuskrip Bakhshali, suatu panduan praktis tentang aritmetika untuk para pedagang.^[37] Pada tahun 2017, para peneliti di Bodleian Library melaporkan hasil penanggalan radiokarbon untuk tiga sampel dari manuskrip tersebut, dan mengindikasikan bahwa manuskrip tersebut berasal dari tiga abad yang berbeda: dari 224-383 Masehi, 680-779 Masehi, dan 885-993 Masehi. Tidak diketahui alasan fragmen-fragmen kulit kayu burja (birch) dari abad yang berbeda-beda dapat dikemas bersama untuk membentuk manuskrip tersebut. Jika tulisan pada fragmen-fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan usia kulit kayu tersebut, ini menunjukkan penggunaan tertua yang tercatat dari simbol nol di Asia Selatan. Jika tulisan pada fragmen kulit kayu burja tertua sama tuanya dengan fragmen-fragmen tersebut, maka ini merupakan penggunaan simbol nol tertua yang tercatat di Asia Selatan. Namun, ada kemungkinan bahwa tulisan tersebut berasal dari periode waktu fragmen termuda, yaitu 885-993 Masehi. Penanggalan yang terakhir ini dianggap lebih konsisten dengan penggunaan nol yang canggih di dalam dokumen tersebut, karena beberapa bagian dari dokumen tersebut tampak menunjukkan bahwa nol digunakan sebagai angka, dan bukan hanya sebagai penanda posisi.^[38][39][40]

Teks Jainisme tentang kosmologi Lokavibhāga yang ditulis tahun 458 M (era Saka 380) menggunakan sistem nilai-tempat desimal, termasuk nol. Dalam teks ini, śūnya ("hampa, kosong") juga digunakan untuk merujuk pada nol.^[41]

Aturan terkait penggunaan nol muncul dalam Brahmasputha Siddhanta (abad ke-7) karya Brahmagupta, yang menyatakan bahwa penambahan nol dengan dirinya sendiri sama dengan nol, dan secara salah menjelaskan pembagian oleh nol sebagai berikut:^[42][43]

Sebarang bilangan positif atau negatif ketika dibagi oleh nol menghasilkan suatu pecahan dengan nol sebagai penyebut. Nol dibagi dengan bilangan negatif atau positif menghasilkan antara nol atau dapat dituliskan sebagai pecahan dengan nol sebagai pembilang dan suatu besaran hingga sebagai penyebut. Nol dibagi dengan nol menghasilkan nol.

Epigrafi

Prasasti Sambor

Catatan tertua penggunaan nol sebagai angka desimal ditemukan di prasasti Sambor. Angka "605" yang tertulis dalam angka Khmer (atas), menunjukkan tanggal prasasti dibuat: era Saka 605 (683 Masehi). Fragmen prasasti yang ditulis dalam bahasa Khmer Tua, dulunya adalah bagian dari pintu kuil, dan ditemukan di provinsi Kratié, Kamboja.

Berdasarkan epigrafi, cabang ilmu arkeologi yang meneliti benda-benda tertulis masa lampau, titik hitam digunakan sebagai penanda-tempat desimal dalam manuskrip Bakhshali, yang sebagiannya tertanggal dari tahun 224–993 M.^[44] Ada banyak prasasti lempengan tembaga dengan simbol o kecil yang sama, beberapa di antaranya mungkin berasal dari abad ke-6, tetapi tanggal atau keasliannya masih diragukan.^[45]

Sebongkah lauh (inscription) batu ditemukan di reruntuhan kuil dekat Sambor di Mekong, Provinsi Kratié, Kamboja, memuat tulisan "605" dalam angka Khmer (seperangkat glif untuk sistem bilangan Hindu-Arab). Angka tersebut adalah tahun prasasti pada era Saka, yang setara dengan tanggal 683 M.^[46][47]

Penggunaan glif khusus yang tak-terbantahkan untuk angka-angka desimal meliputi simbol untuk angka nol (berupa lingkaran kecil), muncul dalam lauh batu yang ditemukan di Kuil Chaturbhuj, Gwalior, di India, dengan bertanggal 876 Masehi.^[48][49]

Abad Pertengahan

Penyebaran ke budaya Islam

Lihat pula: Sejarah sistem bilangan Hindu-Arab

Ilmu pengetahuan di lingkungan berbahasa Arab sebagian besar merupakan warisan dari Yunani,^[50] lalu diikuti oleh pengaruh Hindu.^[51] Pada tahun 773 M, atas perintah Al-Mansur, dilakukan penerjemahan terhadap berbagai risalah kuno, termasuk dari bahasa Yunani, Romawi, India, dan lainnya.

Pada tahun 813 M, seorang ahli matematika Persia bernama Muhammad bin Musa al-Khawarizmi membuat tabel astronomi menggunakan angka-angka Hindu;^[51] dan sekitar tahun 825, ia menerbitkan sebuah buku yang menggabungkan pengetahuan Yunani dan Hindu, serta kontribusinya sendiri dalam matematika termasuk penjelasan tentang penggunaan nol.^[52] Buku ini kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin pada abad ke-12 dengan judul Algoritmi de numero Indorum. Judul ini berarti “al-Khawarizmi tentang Bilangan India”. Kata “Algoritmi” adalah Latinisasi penerjemah dari nama Al-Khawarizmi, yang perkembangan selanjutnya menyebabkan kata “Algoritma” atau “Algorisma” mulai memiliki arti aritmetika apa pun yang didasarkan pada desimal.^[51]

Muhammad bin Ahmad al-Khawarizmi pada tahun 976 menyatakan bahwa jika tidak ada angka yang muncul di tempat puluhan dalam perhitungan, suatu lingkaran kecil harus digunakan “untuk menjaga (bentuk) barisan”. Lingkaran ini disebut ṣifr.^[53]

Penyebaran ke Eropa

Sistem bilangan Hindu-Arab (basis 10) sampai ke Eropa Barat pada abad ke-11, melalui daerah Al-Andalus, melalui para Muslim Spanyol dan Moor, dan bersama pengetahuan terkait astronomi klasik dan instrumen-instrumen seperti astrolabe. Gerbert d'Aurillac dianggap berjasa dalam memperkenalkan kembali ajaran-ajaran yang hilang ke lingkungan Katolik di Eropa. Karena alasan ini, angka-angka tersebut kemudian dikenal di Eropa sebagai “angka Arab”. Matematikawan Italia, Leonardo dari Pisa (juga dikenal sebagai Fibonacci), berperan penting dalam membawa sistem bilangan ini ke dalam matematika Eropa pada tahun 1202.^[54]

Semenjak abad ke-13, panduan-panduan cara berhitung (penjumlahan, perkalian, mengambil akar, dll.) menjadi umum di Eropa dan disebut sebagai algorismus; dari nama matematikawan Persia Al-Khawarizmi. Salah satu panduan yang populer ditulis oleh Johannes de Sacrobosco pada awal tahun 1200-an, dan menjadi salah satu buku ilmu pengetahuan pertama yang dicetak, pada tahun 1488.^[55][56] Praktik menghitung di kertas menggunakan angka Hindu-Arab baru secara perlahan menggantikan perhitungan menggunakan abakus dan pencatatan menggunakan angka Romawi.^[57] Pada abad ke-16, angka Hindu-Arab menjadi angka yang paling umum digunakan di Eropa.^[55]

Simbol dan representasi

Platform 0 di stasiun kereta di bandara Oslo.

Saat ini, nol sebagai angka numerik umumnya ditulis dalam bentuk lingkaran atau elips. Secara tradisional, banyak rupa huruf cetak membuat versi huruf kapital O lebih bundar daripada angka 0 yang lebih elips dan ramping.^[58] Mesin tik pada awalnya tidak membuat perbedaan bentuk antara O dan 0; beberapa model bahkan tidak memiliki tuts untuk angka 0. Pembedaan baru muncul pada masa monitor.^[58]

Simbol nol dengan garis miring (${\displaystyle 0\!\!\!{/}}$) juga umum digunakan untuk membedakan angka dari huruf (contoh umumnya dalam perhitungan, navigasi, dan militer). Angka nol dengan titik di tengah sepertinya muncul sebagai opsi pada tampilan IBM 3270, dan terus berlanjut ke beberapa rupa huruf komputer modern seperti Andalé Mono dan sistem reservasi penerbangan. Salah satu varian menggunakan garis di atas 0 ketimbang tanda titik.

Di beberapa penerapan/sistem, hanya salah satu dari huruf O dan angka 0 (atau malah tidak keduanya) yang boleh digunakan untuk menghindari kerancuan.

Matematika

Konsep nol digunakan pada banyak hal dalam matematika: sebagai angka, nol menjadi bagian penting dalam notasi posisional (nilai-tempat) untuk mewakli bilangan, sekaligus memainkan peran sebagai bilangan tersendiri dalam banyak konteks aljabar.

Sebagai angka

Artikel utama: notasi posisional

Dalam sistem bilangan posisional (contohnya notasi desimal untuk menyatakan bilangan), angka 0 digunakan sebagai penanda tempat, yang mengartikan perpangkatan dari basis tidak digunakan dalam menyatakan bilangan. Sebagai contoh, bilangan desimal 205 adalah hasil penjumlahan dari dua seratus dan lima satu; angka nol mengartikan tidak ada sepuluh yang ditambahkan. Angka nol juga digunakan dengan tujuan serupa dalam menyatakan pecahan desimal dan representasi desimal dari bilangan-bilangan riil lainnya (menunjukkan apabila persepuluh, perseratus, dst. ada), maupun di basis-basis selain 10 (sebagai contoh, dalam biner menunjukkan perpangkatan-perpangkatan 2 yang tidak digunakan).^[59]

Aljabar dasar

Garis bilangan dari -3 sampai 3, dengan 0 terletak di tengah.

Bilangan 0 adalah bilangan bulat taknegatif terkecil, sekaligus bilangan bulat takpositif terbesar. Bilangan asli tepat setelah 0 adalah 1 dan tidak ada bilangan asli sebelum 0. Bilangan 0 dapat dianggap atau tidak dianggap sebagai bilangan asli;^[60][61] setidaknya 0 adalah bilangan bulat, sehingga juga merupakan bilangan rasional dan bilangan riil.^[62] Semua bilangan rasional merupakan bilangan aljabar, termasuk 0. Ketika bilangan-bilangan riil diperluas untuk membentuk bilangan-bilangan kompleks, 0 menjadi titik asal dari bidang kompleks.

Bilangan nol dapat dianggap bukan positif maupun negatif,^[63] atau alternatif lain, sekaligus positif dan negatif;^[64] umumnya 0 digambarkan di tengah garis bilangan. Nol adalah bilangan genap^[65] (artinya kelipatan 2), dan juga kelipatan dari sebarang bilangan bulat, rasional, dan riil lainnya. Nol bukan bilangan prima maupun bilangan komposit: bukan prima karena bilangan prima bernilai lebih besar daripada 1 berdasarkan definisinya, dan bukan komposit karena tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua bilangan asli yang lebih kecil.^[66]

Berikut adalah beberapa aturan dasar saat berurusan dengan bilangan 0. Aturan-aturan ini berlaku untuk sebarang bilangan riil maupun kompleks ${\displaystyle x}$, kecuali dinyatakan lainnya:

• Penambahan: ${\displaystyle x+0=0+x=x.}$ Artinya, 0 adalah unsur identitas terhadap penambahan.

• Pengurangan: ${\displaystyle x-0=x}$ dan ${\displaystyle 0-x=-x.}$
• Perkalian: ${\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0.}$
• Pembagian: ${\displaystyle {\tfrac {0}{x}}=0}$, untuk ${\displaystyle x}$ bukan bernilai nol. Namun x0 tidak terdefinisi karena 0 tidak memiliki invers perkalian berdasarkan aturan sebelumnya di atas (tidak ada bilangan yang menghasilkan 1 ketika dikali dengan 0).^[67]
• Perpangkatan: ${\displaystyle x^{0}={\tfrac {x}{x}}=1,}$ kecuali kasus ketika x = 0 yang dianggap takterdefinisi dalam beberapa konteks. Untuk semua bilangan rill positif ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle 0^{x}=0.}$

Ekspresi ${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$, yang dapat dihasilkan saat mencoba menentukan limit dari ekspresi berbentuk ${\textstyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$, dengan menerapkan operator ${\displaystyle \lim }$ secara terpisah ke kedua fungsi, dikenal sebagai "bentuk tak tentu." Hal ini tidak mengartikan limit yang dicari tidak terdefinisi; melainkan limit dari ${\textstyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}$, jika ada, harus ditentukan dengan cara-cara lain, contohnya aturan L'Hôpital.^[68]

Penjumlahan dari 0 bilangan (jumlah kosong) adalah 0, dan perkalian dari 0 bilangan (perkalian kosong) adalah 1. Faktorial ${\displaystyle 0!}$ sama dengan 1, sebagai kasus khusus dari perkalian kosong.^[69]

Kegunaan lainnya dalam matematika

Himpunan kosong memiliki nol anggota.

Peran bilangan 0 sebagai bilangan cacah terkecil dapat diperumum maupun diperluas dalam banyak cara.

Dalam teori himpunan, 0 adalah kardinalitas dari himpunan kosong: jika seseorang tidak memiliki apel, maka dia memiliki 0 apel. Faktanya, dalam beberapa perkembangan matematika aksiomatik dari teori himpunan, 0 didefinisikan sebagai himpunan kosong.^[70] Jika itu dilakukan, himpunan kosong menjadi penetapan kardinal von Neumann untuk himpunan tanpa anggota; akibatnya fungsi kardinalitas yang diterapkan pada himpunan kosong selanjutnya menghasilkan himpunan kosong sebagai nilai. Bilangan nol juga menjadi bilangan ordinal terkecil, selaras dengan pandangan himpunan kosong sebagai himpunan terurut-rapi. Dalam teori tatanan (khususnya subcabang teori kekisi), 0 dapat mewakili elemen terkecil suatu kekisi atau himpunan terurut parsial lainnya. Peran 0 sebagai identitas penambahan dapat diperumum di luar aljabar dasar. Dalam aljabar abstrak, 0 umumnya digunakan untuk mewakili elemen nol, yang merupakan unsur identitas untuk penambahan (jika terdefinisi pada struktur yang bersangkutan) dan elemen penyerap untuk perkalian (jika terdefinisi). Beberapa contohnya meliputi elemen identitas dari grup-grup aditif dan ruang-ruang vektor. Contoh lainnya adalah fungsi nol (atau peta nol) pada domain ${\displaystyle D.}$ Ini adalah fungsi konstan dengan 0 sebagai nilainya; yakni fungsi yang didefinisikan sebagai ${\displaystyle f(x)=0}$ untuk semua ${\displaystyle x\in D.}$ Dalam konteks fungsi dari bilangan riil ke bilangan riil, fungsi nol adalah satu-satunya fungsi yang berupa fungsi genap sekaligus ganjil.

Bilangan 0 juga digunakan dalam beberapa hal lainnya di banyak cabang matematika, beberapanya meliputi:

• Nilai-nilai nol dari fungsi ${\displaystyle f}$ adalah semua titik ${\displaystyle x}$ di domain fungsi dengan ${\displaystyle f(x)=0.}$
• Dalam kalkulus proposisional, 0 dapat digunakan untuk mewakili nilai kebenaran salah.
• Dalam teori peluang, 0 adalah nilai terkecil yang mungkin untuk peluang suatu kejadian.^[71]

Sains komputer

Komputer modern menyimpan informasi dalam biner, yakni sistem penulisan yang terdiri hanya dari dua simbol, umumnya dipilih "0" dan "1". Kode biner cocok digunakan untuk elektronika digital, karena "0" dan "1" dapat diartikan ketiadaan atau keberadaan arus listrik dalam kabel.^[72] Pemrogram komputer umumnya menggunakan bahasa pemrograman tingkat-tinggi yang lebih mudah dipahami manusia ketimbang instruksi-instruksi biner yang dapat langsung diproses oleh Unit Pemroses Sentral. Simbol 0 digunakan dalam aspek-aspek penting di bahasa tingkat-tinggi. Sebagai contoh, variabel Boolean digunakan untuk menyimpan nilai antara benar atau salah, dan 0 sering dipilih sebagai representasi numerik dari salah.^[73]

Simbol 0 juga berperan dalam pengindeksan larik. Satu praktik umum sepanjang sejarah manusia adalah menghitung dari satu, dan ini diterapkan dalam bahasa pemrograman klasik seperti Fortran dan COBOL.^[74] Namun di akhir tahun 1950-an, LISP memperkenalkan penomoran berbasis-nol untuk larik, sedangkan Algol 58 memperkenalkan indeks yang fleksibel untuk larik (memungkinkan bilangan positif, nol, dan negatif, untuk indeks dari larik); yang membuat bahasa-bahasa pemrograman masa selanjutnya memilih salah satu dari dua sudut pandang tersebut. ^{[butuh rujukan]} Sebagai contoh, elemen-elemen larik di C dinomori dari 0; sehingga untuk larik dengan n elemen, indeks larik berada di interval nilai 0 sampai n-1.^[75] Kerancuan terkait indeks berbasis-0 dan berbasis-1 dapat terjadi. Sebagai contoh, parameter indeks JDBC di Java dimulai dari 1, sedangkan Java sendiri menggunakan indeks berbasis-0.^[76]

Dalam basis data, suatu medan (field) mungkin tidak memiliki nilai; dan dalam kasus seperti itu disebut memiliki nilai null.^[77] Untuk medan numerik nilai ini bukanlah bilangan 0, dan untuk medan teks bukanlah teks kosong. Keberadaan nilai null menghasilkan logika tiga-nilai. Dalam logika ini, kondisi juga dapat bernilai tak tentu, selain bernilai benar atau salah. Semua perhitungan yang menyertakan nilai null menghasilkan nilai null.^[78]

Dalam representasi bilangan bertanda di beberapa perangkat keras komputer, nol memiliki dua representasi berbeda: +0 yang dikelompokkan bersama dengan bilangan-bilangan positif, dan -0 yang dikelompokkan dengan yang negatif. Representasi ini dikenal dengan nol bertanda, dan bentuk kedua sebelumnya terkadang disebut sebagai nol negatif. Representasi ini meliputi representasi biner besaran bertanda, komplemen satu (tapi tidak bentuk biner komplemen dua yang digunakan di sebagian besar komputer modern), dan sebagian besar representasi bilangan titik kambang (seperti format titik kambang IEEE 754 dan IBM S/390).^{[butuh rujukan]}

Dalam istilah komputasi, kurun adalah tanggal dan waktu yang diasosiasikan dengan stempel waktu (timestamp) nol. Kurun Unix dimulai pada tengah malam sebelum 1 Januari 1970.^[79][80][81] Kurun Mac OS Klasik dan kurun Palm OS dimulai pada tengah malam sebelum 1 Januari 1904.^[82]

Di C, suatu bita yang mengandung nilai 0 digunakan untuk menandakan akhir dari karakter untaian. Simbol 0 juga digunakan sebagai cara standar untuk merujuk null pointer di kode.^[83] Banyak API dan sistem operasi mengharuskan aplikasi menghasilkan nilai bilangan sebagai nilai keluar, umumnya nol untuk menandakan sukses dan tak-nol untuk menandakan suatu galat spesifik atau pesan peringatan.^{[84][butuh rujukan]}

Pranala luar

• History of Zero

Daftar pustaka

• Aczel, Amir D. (2015). Finding Zero. New York: Palgrave Macmillan. ISBN 978-1-137-27984-2.
• Asimov, Isaac (1978). "Nothing Counts". Asimov on Numbers. New York: Pocket Books. ISBN 978-0-671-82134-0. OCLC 1105483009.
• Barrow, John D. (2001). The Book of Nothing. Vintage. ISBN 0-09-928845-1.
• Cheng, Eugenia (2017). Beyond Infinity: An Expedition to the Outer Limits of Mathematics. Basic Books. ISBN 978-1-5416-4413-7.
• Kardar, Mehran (2007). Statistical Physics of Particles. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-87342-0.
• Reimer, David (2014). Count Like an Egyptian. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16012-2.
• Woodford, Chris (2006). Digital Technology. Evans Brothers. ISBN 978-0-237-52725-9. Diarsipkan dari versi asli tanggal 17 August 2019. Diakses tanggal 24 March 2016. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Hill, Christian (2020). Learning Scientific Programming with Python (edisi ke-2nd). Cambridge University Press. ISBN 978-1-10707541-2.

Penelitian terkait sejarah

• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8.
• Diehl, Richard A. (2004). The Olmecs: America's First Civilization. London: Thames & Hudson. ISBN 978-0-500-28503-9.
• Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 0-471-39340-1.
• Kaplan, Robert (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford University Press. ISBN 978-0-198-02945-8.
• Seife, Charles (2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin USA. ISBN 0-14-029647-6.

Catatan kaki

1. Tidak ada tanggal Hitung Panjang yang secara eksplisit menggunakan angka 0 telah ditemukan sebelum abad ke-3 M. Namun karena sistem Hitung Panjang tidak masuk akal tanpa menggunakan penanda-tempat, dan karena glif-glif Mesoamerikan umumnya tidak ditulis dengan membuat ruang/spasi kosong, tanggal-tanggal tersebut dianggap sebagai bukti tak-langsung bahwa konsep 0 sudah ada pada waktu itu.

Referensi

1. J J O'Connor; E F Robertson (2000). "Egyptian numerals". mathshistory.st-andrews.ac.uk. University of St Andrews. Diarsipkan dari versi asli tanggal 15 November 2019. Diakses tanggal 21 December 2019. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
2. Lumpkin, Beatrice (2002). "Mathematics Used in Egyptian Construction and Bookkeeping". The Mathematical Intelligencer. 24 (2): 20–25. doi:10.1007/BF03024613. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
3. Reimer 2014, hlm. 172.
4. "Cyclical views of time". www.mexicolore.co.uk. Diakses tanggal 2024-01-20.
5. Diehl (2004), hlm. 186.
6. Mortaigne, Véronique (28 November 2014). "The golden age of Mayan civilisation – exhibition review". The Guardian. Diarsipkan dari versi asli tanggal 28 November 2014. Diakses tanggal 10 October 2015. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
7. Cyphers, Ann (2014), Renfrew, Colin; Bahn, Paul, ed., "The Olmec, 1800–400 bce", The Cambridge World Prehistory, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 1005–1025, ISBN 978-0-521-11993-1, diakses tanggal 2024-08-13
8. "Expedition Magazine | Time, Kingship, and the Maya Universe Maya Calendars". Expedition Magazine (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2024-08-13.
9. Leon, Manuel de (2022-12-20). "Knots representing numbers: The mathematics of the Incas". EL PAÍS English (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2024-06-05.
10. Wallin, Nils-Bertil (19 November 2002). "The History of Zero". YaleGlobal online. The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale. Diarsipkan dari versi asli tanggal 25 August 2016. Diakses tanggal 1 September 2016.
11. Seife, Charles (1 September 2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin. hlm. 39. ISBN 978-0-14-029647-1. OCLC 1005913932. Diakses tanggal 30 April 2022.
12. Kaplan 2000, hlm. 17.
13. Nieder, Andreas (19 November 2019). A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct. MIT Press. hlm. 286. ISBN 978-0-262-35432-5. Diakses tanggal 30 April 2022.
14. Huggett, Nick (2019). "Zeno's Paradoxes". Dalam Zalta, Edward N. The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edisi ke-Winter 2019). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Diarsipkan dari versi asli tanggal 10 January 2021. Diakses tanggal 2020-08-09. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
15. Neugebauer, Otto (1969). The Exact Sciences in Antiquity (edisi ke-2). Dover Publications. hlm. 13–14, plate 2. ISBN 978-0-486-22332-2. Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
16. Mercier, Raymond. "Consideration of the Greek symbol 'zero'" (PDF). Home of Kairos. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 5 November 2020. Diakses tanggal 28 March 2020. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)Templat:Sps
17. Ptolemy (1998). Ptolemy's Almagest. Diterjemahkan oleh Toomer, G. J. Princeton University Press. hlm. 306–307. ISBN 0-691-00260-6. Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
18. O'Connor, J J; Robertson, E F. "A history of Zero". MacTutor History of Mathematics. Diarsipkan dari versi asli tanggal 7 April 2020. Diakses tanggal 28 March 2020. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
19. "Proposal to encode the Greek Zero in the UCS" (PDF). 2024-07-31. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2022-10-07. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
20. Neugebauer, Otto (2016). Ethiopic Astronomy and Computus (edisi ke-Red Sea Press). Red Sea Press. hlm. 25, 53, 93, 183, Plate I. ISBN 978-1-56902-440-9. Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan). The pages in this edition have numbers six less than the same pages in the original edition.
21. Deckers, Michael (2003). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii" [Nineteen Year Cycle of Dionysius]. Diarsipkan dari versi asli tanggal 15 January 2019. Parameter |orig-date= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
22. C. W. Jones, ed., Opera Didascalica, vol. 123C in Corpus Christianorum, Series Latina.
23. Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. hlm. 85. ISBN 978-0-19-152383-0.
24. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (January 2004), "Chinese numerals", Arsip Sejarah Matematika MacTutor, Universitas St Andrews.
25. Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity. Oxford University Press. hlm. 85. ISBN 978-0-19-152383-0.
26. "Chinese numerals". Maths History (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal 2024-04-28.
27. Shen, Crossley & Lun 1999, hlm. 12: "the ancient Chinese system is a place notation system"
28. Eberhard-Bréard, Andrea (2008), "Mathematics in China", dalam Selin, Helaine, Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (dalam bahasa Inggris), Dordrecht: Springer Netherlands, hlm. 1371–1378, doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9453, ISBN 978-1-4020-4425-0, diakses tanggal 2024-04-28
29. Shen Kanshen Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. hlm. 35. ISBN 978-0-19-853936-0. zero was regarded as a number in India ... whereas the Chinese employed a vacant position
30. "Mathematics in the Near and Far East" (PDF). grmath4.phpnet.us. hlm. 262. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 4 November 2013. Diakses tanggal 7 June 2012. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
31. Martzloff, Jean-Claude (2007). A History of Chinese Mathematics. Diterjemahkan oleh Wilson, Stephen S. Springer. hlm. 208. ISBN 978-3-540-33783-6.
32. Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. pp. 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."
33. Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. hlm. 54–56. ISBN 978-0-691-12067-6. In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, [ ...] Pingala's use of a zero symbol [śūnya] as a marker seems to be the first known explicit reference to zero. ... In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, there are five questions concerning the possible meters for any value "n". [ ...] The answer is (2)⁷ = 128, as expected, but instead of seven doublings, the process (explained by the sutra) required only three doublings and two squarings – a handy time saver where "n" is large. Pingala's use of a zero symbol as a marker seems to be the first known explicit reference to zero
34. Vaman Shivaram Apte (1970). "Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India". The Student's Sanskrit-English Dictionary. Motilal Banarsidass. hlm. 648–649. ISBN 978-81-208-0045-8. Diakses tanggal 21 April 2017.
35. Hall, Rachel (February 15, 2005). "Math for Poets and Drummers: The Mathematics of Rhythm" (PDF) (slideshow). Saint Joseph's University. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 22 January 2019. Diakses tanggal 20 December 2015. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
36. Bourbaki 1998, hlm. 46
37. Weiss, Ittay (20 September 2017). "Nothing matters: How India's invention of zero helped create modern mathematics". The Conversation. Diarsipkan dari versi asli tanggal 12 July 2018. Diakses tanggal 12 July 2018. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
38. Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. Diarsipkan dari versi asli tanggal 20 November 2017. Diakses tanggal 14 September 2017. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
39. "Carbon dating finds Bakhshali manuscript contains oldest recorded origins of the symbol 'zero'". Bodleian Library. 14 September 2017. Diarsipkan dari versi asli tanggal 14 September 2017. Diakses tanggal 25 October 2017. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
40. Plofker, Kim; Keller, Agathe; Hayashi, Takao; Montelle, Clemency; Wujastyk, Dominik (2017-10-06). "The Bakhshālī Manuscript: A Response to the Bodleian Library's Radiocarbon Dating". History of Science in South Asia (dalam bahasa Inggris). 5 (1): 134–150. doi:10.18732/H2XT07 .
41. Ifrah (2000), hlm. 416.
42. Kaplan 2000, hlm. 68–75.
43. Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. Diterjemahkan oleh Henry Thomas Colebrooke. London: John Murray. 1817. OCLC 1039515732.
44. Devlin, Hannah (13 September 2017). "Much ado about nothing: ancient Indian text contains earliest zero symbol". The Guardian. ISSN 0261-3077. Diarsipkan dari versi asli tanggal 20 November 2017. Diakses tanggal 14 September 2017. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
45. Kaplan 2000.
46. Cœdès, George (1931). "A propos de l'origine des chiffres arabes". Bulletin of the School of Oriental Studies, University of London (dalam bahasa Prancis). Cambridge University Press. 6 (2): 323–328. doi:10.1017/S0041977X00092806. JSTOR 607661. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
47. Diller, Anthony (1996). "New Zeros and Old Khmer" (PDF). Mon-Khmer Studies. 25: 125–132. Diarsipkan dari [sealang.net/sala/archives/pdf8/diller1996new.pdf versi asli] Periksa nilai |url= (bantuan) (PDF) tanggal 2024-09-14.
48. Ifrah (2000), hlm. 400.
49. Casselman, Bill. "All for Nought". ams.org. University of British Columbia), American Mathematical Society. Diarsipkan dari versi asli tanggal 6 December 2015. Diakses tanggal 20 December 2015. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
50. Pannekoek, Anton (1961). A History of Astronomy. George Allen & Unwin. hlm. 165. ISBN 9780045200023. OCLC 840043.
51. Durant, Will (1950). The Story of Civilization, Volume 4, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300. Simon & Schuster. ISBN 978-0-9650007-5-8. The Arabic inheritance of science was overwhelmingly Greek, but Hindu influences ranked next. In 773, at Mansur's behest, translations were made of the Siddhantas – Indian astronomical treatises dating as far back as 425 BC; these versions may have the vehicle through which the "Arabic" numerals and the zero were brought from India into Islam. In 813, al-Khwarizmi used the Hindu numerals in his astronomical tables. Parameter |quote-page= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
52. Brezina, Corona (2006). Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra. The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4042-0513-0. Diakses tanggal 26 September 2016.
53. Durant 1950, hlm. 241: "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his Keys of the Sciences, remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ṣifr, "empty" whence our cipher."
54. • Sigler, Laurence (2003). Fibonacci's Liber Abaci: A Translation into Modern English of Leonardo Pisano's Book of Calculation. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Diterjemahkan oleh Sigler, Laurence E. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0079-3. ISBN 978-1-4613-0079-3.
    • Templat:Cite periodical
    • Hansen, Alice (2008). Primary Mathematics: Extending Knowledge in Practice (dalam bahasa Inggris). SAGE. doi:10.4135/9781446276532. ISBN 978-0-85725-233-3. Diarsipkan dari versi asli tanggal 7 March 2021. Diakses tanggal 7 November 2020. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
55. Smith, D. E.; Karpinski, L. C. (1911). "The spread of the [Hindu–Arabic] numerals in Europe". The Hindu–Arabic Numerals. Ginn and Company. hlm. 134–136 – via Internet Archive.
56. Pedersen, Olaf (1985). "In Quest of Sacrobosco". Journal for the History of Astronomy. 16 (3): 175–221. Bibcode:1985JHA....16..175P. doi:10.1177/002182868501600302. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
57. Ifrah 2000, hlm. 588–590.
58. Bemer, R. W. (1967). "Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh". Communications of the ACM. 10 (8): 513–518. doi:10.1145/363534.363563. Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
59. Reimer 2014, hlm. 156,199–204.
60. Cheng 2017, hlm. 32.
61. Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The historical roots of elementary mathematics. Courier Dover Publications. hlm. 254–255. ISBN 978-0-486-13968-5. Diarsipkan dari versi asli tanggal 23 June 2016. Diakses tanggal 5 January 2016. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan), Extract of pp. 254–255 Diarsipkan 10 May 2016 di Wayback Machine.
62. Cheng 2017, hlm. 41, 48–53.
63. Weisstein, Eric W. "Zero". Wolfram (dalam bahasa Inggris). Diarsipkan dari versi asli tanggal 1 June 2013. Diakses tanggal 4 April 2018. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
64. Weil, André (2012-12-06). Number Theory for Beginners (dalam bahasa Inggris). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-9957-8. Diarsipkan dari versi asli tanggal 14 June 2021. Diakses tanggal 6 April 2021. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
65. Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in Penner, Robert C. (1999). Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. hlm. 34. ISBN 978-981-02-4088-2.
66. Reid, Constance (1992). From zero to infinity: what makes numbers interesting (edisi ke-4th). Mathematical Association of America. hlm. 23. ISBN 978-0-88385-505-8. zero neither prime nor composite
67. Cheng 2017, hlm. 47.
68. Herman, Edwin; Strang, Gilbert; et al. (2017). Calculus. 1. Houston, Texas: OpenStax. hlm. 454–459. ISBN 978-1-938168-02-4. OCLC 1022848630. Diarsipkan dari versi asli tanggal 23 September 2022. Diakses tanggal 26 July 2022. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
69. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. hlm. 111. ISBN 0-201-14236-8.
70. Cheng 2017, hlm. 60.
71. Kardar 2007, hlm. 35.
72. Woodford 2006, hlm. 9.
73. Hill 2020, hlm. 20.
74. Overland, Brian (2004-09-14). C++ Without Fear: A Beginner's Guide That Makes You Feel Smart (dalam bahasa Inggris). Pearson Education. hlm. 132. ISBN 978-0-7686-8488-9.
75. Oliveira, Suely; Stewart, David E. (2006-09-07). Writing Scientific Software: A Guide to Good Style (dalam bahasa Inggris). Cambridge University Press. hlm. 64. ISBN 978-1-139-45862-7.
76. "ResultSet (Java Platform SE 8 )". docs.oracle.com. Diarsipkan dari versi asli tanggal 9 May 2022. Diakses tanggal 2022-05-09. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
77. Wu, X.; Ichikawa, T.; Cercone, N. (25 October 1996). Knowledge-Base Assisted Database Retrieval Systems (dalam bahasa Inggris). World Scientific. ISBN 978-981-4501-75-0. Diarsipkan dari versi asli tanggal 31 March 2022. Diakses tanggal 7 November 2020. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
78. "Null values and the nullable type". IBM. 12 December 2018. Diarsipkan dari versi asli tanggal 23 November 2021. Diakses tanggal 23 November 2021. In regard to services, sending a null value as an argument in a remote service call means that no data is sent. Because the receiving parameter is nullable, the receiving function creates a new, uninitialized value for the missing data then passes it to the requested service function. Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
79. Paul DuBois. "MySQL Cookbook: Solutions for Database Developers and Administrators" Diarsipkan 24 February 2017 di Wayback Machine. 2014. p. 204.
80. Arnold Robbins; Nelson Beebe. "Classic Shell Scripting" Diarsipkan 24 February 2017 di Wayback Machine.. 2005. p. 274
81. Iztok Fajfar. "Start Programming Using HTML, CSS, and JavaScript" Diarsipkan 24 February 2017 di Wayback Machine.. 2015. p. 160.
82. Darren R. Hayes. "A Practical Guide to Computer Forensics Investigations" Diarsipkan 24 February 2017 di Wayback Machine.. 2014. p. 399
83. Reese, Richard M. (2013). Understanding and Using C Pointers: Core Techniques for Memory Management. O'Reilly Media. ISBN 978-1-449-34455-9.
84. Marc J. Rochkind (1985). Advanced UNIX Programming. Prentice-Hall Software Series. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-011818-4. Here: Sect.5.5 "Exit system call", p.114.