Hipotesis Riemann

Dalam matematika, hipotesis Riemann merupakan dugaan bahwa fungsi zeta Riemann memiliki akar-akar hanya pada bilangan genap negatif dan pada bilangan kompleks dengan bagian nyata 12. Banyak yang mengganggap hipotesis ini merupakan pertanyaan belum terjawab paling penting dalam matematika murni.^[1] Hipotesis ini memiliki peran penting dalam teori bilangan karena mengimplikasi hasil-hasil mengenai distribusi bilangan prima. Hipotesis ini diusulkan Bernhard Riemann (1859), dalam tesisnya mengenai distribusi bilangan prima.

Bagian nyata (merah) dan bagian imajiner (biru) dari fungsi zeta Riemann sepanjang garis kritis Re(s) = 1/2. Nol non-trivial pertama terdapat di Im(s) = ±14.135, ±21.022 dan ±25.011.

Masalah Milenium
Masalah P versus NP Konjektur Hodge Konjektur Poincaré (terpecahkan) Hipotesis Riemann Keberadaan Yang–Mills dan celah massa Keberadaan dan kemulusan Navier–Stokes Konjektur Birch dan Swinnerton-Dyer
l b s

Hipotesis Rieman dan beberapa perumumannya, seperti konjektur Goldbach dan konjektur prima kembar, membentuk masalah Hilbert kedelapan dalam daftar dua puluh tiga masalah belum terjawab David Hilbert. Hipotesis ini juga termasuk dalam daftar masalah Milenium Prize, yang menawarkan satu juta dollar AS untuk siapapun yang dapat menyelesaikan masalah tersebut.

Fungsi zeta Riemann pada garis kritis Re(s) = 1/2 (nilai real pada sumbu horizontal dan nilai imajiner pada sumbu vertikal): Re(ζ(1/2 + it), Im(ζ(1/2 + it) dengan nilai t berkisar antara −30 dan 30.

Persamaan zeta Riemann ζ(s) adalah sebuah fungsi dengan argumen berupa sembarang bilangan kompleks selain 1, dan nilai fungsi tersebut juga berupa bilangan kompleks. Fungsi ini memiliki akar-akar pada bilangan genap negatif; yakni ${\displaystyle \zeta (s)=0}$ ketika ${\displaystyle s}$ bernilai −2, −4, −6, .... Akar-akar ini disebut akar-akar sederhana (trivial). Fungsi zeta juga memiliki akar pada nilai-nilai ${\displaystyle s}$ yang lain, yang disebut dengan akar-akar tak-sederhana (nontrivial). Hipotesis Riemann memperhatikan lokasi dari akar-akar tak-sederhana ini, dan menyatakan bahwa:

Bagian real dari setiap akar tak-sederhana dari fungsi zeta Riemann adalah  12.

Akibatnya, jika hipotesis ini benar, semua akar tak-sederhana akan terletak pada garis kritis ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+it}$, dengan ${\displaystyle t}$ merupakan bilangan real dan ${\displaystyle i}$adalah unit imajiner.

Fungsi zeta Riemann

Artikel utama: Fungsi zeta Riemann

Fungsi zeta Riemann terdefinisi pada bilangan kompleks ${\displaystyle s}$ dengan bagian real lebih besar dari 1, lewat deret takhingga yang konvergen absolut$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .}$$Leonhard Euler telah mempelajari deret ini pada tahun 1730-an untuk nilai real ${\displaystyle s}$, bersamaan dengan solusi mengenai masalah Basel. Ia juga membuktikan deret itu sama dengan darab (perkalian) Euler

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p{\text{ prima}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots }$

dengan darab takhingga dilakukan atas semua bilangan prima ${\displaystyle p}$.^[2]

Hipotesis Riemann membahas akar-akar diluar daerah konvergensi dari deret itu dan darab Euler. Untuk dapat memahami maksud dari hipotesis, diperlukan kontinuasi (perluasan) analitik dari fungsi untuk mendapatkan bentuk yang valid untuk semua bilangan kompleks ${\displaystyle s}$. Karena fungsi zeta termasuk meromofik, semua pilihan cara untuk melakukan kontinuasi analitik ini akan menghasilkan bentuk yang sama, sebagai akibat dari teorema identitas. Langkah pertama dalam proses kontinuasi ini adalah pengamatan bahwa fungsi zeta dan fungsi eta Dirichlet memenuhi hubungan

${\displaystyle \left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-\cdots ,}$

pada daerah konvergensi mereka masing-masing. Akan tetapi, fungsi deret eta pada ruas kanan tidak hanya konvergen untuk bilangan kompleks dengan bagian real lebih besar dari 1, tapi juga untuk sembarang ${\displaystyle s}$ dengan bagian real positif. Akibatnya, fungsi zeta dapat didefinisikan ulang sebagai ${\displaystyle \eta (s)/(1-2/2^{s})}$, memperluas domain dari ${\displaystyle {\text{Re}}(s)>1}$ menjadi ${\displaystyle {\text{Re}}(s)>0}$, kecuali untuk titik-titik yang menyebabkan ${\displaystyle 1-2/2^{s}}$ bernilai nol. Titik-titik tersebut memiliki bentuk ${\displaystyle s=1+2\pi in/\log 2}$ dengan ${\displaystyle n}$ dapat berupa sembarang bilangan bulat bukan-nol. Fungsi zeta dapat diperluas lebih lanjut untuk titik-titik tersebut dengan menggunakan limit, menghasilkan nilai yang hingga untuk sembarang nilai ${\displaystyle s}$ dengan bagian real positif; kecuali untuk kutub sederhana ${\displaystyle s=1}$.

Pada daerah berbentuk pita ${\displaystyle 0<{\text{Re}}(s)<1}$, perluasan dari fungsi zeta ini akan memenuhi persamaan fungsional

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Fungsi ${\displaystyle \zeta (s)}$ juga dapat didefinisikan untuk bilangan kompleks ${\displaystyle s}$ yang tersisa (yakni ${\displaystyle {\text{Re}}(s)\leq 0}$ dan ${\displaystyle s\neq 0}$) dengan menggunakan fungsi ini di luar pita, lalu membuat ${\displaystyle \zeta (s)}$ bernilai sama dengan ruas kanan kapanpun ${\displaystyle s}$ memenuhi ${\displaystyle {\text{Re}}(s)\leq 0}$ (dan ${\displaystyle s\neq 0}$).

Jika ${\displaystyle s}$ merupakan bilangan genap negatif, maka ${\displaystyle \zeta (s)=0}$ karena faktor ${\textstyle \sin({\frac {\pi s}{2}})}$ bernilai nol; ini adalah akar-akar sederhana dari fungsi zeta. Argumen ini tidak berlaku ketika ${\displaystyle s}$ berupa bilangan genap positif karena akar dari fungsi sinus tercoret dengan kutub-kutub dari fungsi gamma. Nilai ${\textstyle \zeta (s)=-{\frac {1}{2}}}$ tidak terdefinisi lewat persamaan fungsional, namun lewat nilai limit ${\displaystyle \zeta (s)}$ ketika ${\displaystyle s}$ menuju nol. Persamaan fungsional juga menyimpulkan bahwa fungsi zeta tidak memiliki akar pada titik-titik selain akar-akar sederhana; mengartikan semua akar-akar tak-sederhana terletak pada pita kritis ${\displaystyle 0<{\text{Re}}(s)<1}$.

Catatan

1. Bombieri (2000).
2. Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9, 1744, pp. 160–188, Theorems 7 and 8. In Theorem 7 Euler proves the formula in the special case ${\displaystyle s=1}$, and in Theorem 8 he proves it more generally. In the first corollary to his Theorem 7 he notes that ${\displaystyle \zeta (1)=\log \infty }$, and makes use of this latter result in his Theorem 19, in order to show that the sum of the inverses of the prime numbers is ${\displaystyle \log \log \infty }$.

Referensi

Terdapat beberapa buku nonteknis mengenai hipotesis Riemann, seperti (Derbyshire 2003), (Rockmore 2005), Sabbagh (2003a, 2003b), (du Sautoy 2003), dan (Watkins 2015). Buku-buku seperti (Edwards 1974), (Patterson 1988), (Borwein et al. 2008), (Mazur & Stein 2015) dan (Broughan 2017) memberikan pengenalan secara matematis, sedangkan (Titchmarsh 1986), (Ivić 1985) dan (Karatsuba & Voronin 1992) berupa monografi yang lebih lanjut.

• Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007/BF01181075 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Backlund, R. J. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1979–1981
• Beurling, Arne (1955), "A closure problem related to the Riemann zeta-function", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 41 (5): 312–314, Bibcode:1955PNAS...41..312B, doi:10.1073/pnas.41.5.312 , MR 0070655, PMC 528084 , PMID 16589670
• Bohr, H.; Landau, E. (1914), "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, doi:10.1007/BF03014823 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Bombieri, Enrico (2000), The Riemann Hypothesis – official problem description (PDF), Clay Mathematics Institute, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2015-12-22, diakses tanggal 2008-10-25 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, ed. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN 978-0-387-72125-5
• Borwein, Peter; Ferguson, Ron; Mossinghoff, Michael J. (2008), "Sign changes in sums of the Liouville function", Mathematics of Computation, 77 (263): 1681–1694, Bibcode:2008MaCom..77.1681B, doi:10.1090/S0025-5718-08-02036-X , MR 2398787
• de Branges, Louis (1992), "The convergence of Euler products", Journal of Functional Analysis, 107 (1): 122–210, doi:10.1016/0022-1236(92)90103-P , MR 1165869
• Broughan, Kevin (2017), Equivalents of the Riemann Hypothesis, Cambridge University Press, ISBN 978-1108290784
• Burton, David M. (2006), Elementary Number Theory, Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited, ISBN 978-0-07-061607-3
• Cartier, P. (1982), "Comment l'hypothèse de Riemann ne fut pas prouvée", Seminar on Number Theory, Paris 1980–81 (Paris, 1980/1981), Progr. Math., 22, Boston, MA: Birkhäuser Boston, hlm. 35–48, MR 0693308
• Connes, Alain (1999), "Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function", Selecta Mathematica, New Series, 5 (1): 29–106, arXiv:math/9811068 , doi:10.1007/s000290050042, MR 1694895 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Connes, Alain (2000), "Noncommutative geometry and the Riemann zeta function", Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, hlm. 35–54, MR 1754766
• Connes, Alain (2016), "An Essay on the Riemann Hypothesis", dalam Nash, J. F.; Rassias, Michael, Open Problems in Mathematics, New York: Springer, hlm. 225–257, arXiv:1509.05576 , doi:10.1007/978-3-319-32162-2_5
• Conrey, J. B. (1989), "More than two fifths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line", J. Reine Angew. Math., 1989 (399): 1–26, doi:10.1515/crll.1989.399.1, MR 1004130 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Conrey, J. Brian (2003), "The Riemann Hypothesis" (PDF), Notices of the American Mathematical Society: 341–353 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Conrey, J. B.; Li, Xian-Jin (2000), "A note on some positivity conditions related to zeta and L-functions", International Mathematics Research Notices, 2000 (18): 929–940, arXiv:math/9812166 , doi:10.1155/S1073792800000489 , MR 1792282 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Deligne, Pierre (1974), "La conjecture de Weil. I", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 43: 273–307, doi:10.1007/BF02684373, MR 0340258 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Deligne, Pierre (1980), "La conjecture de Weil : II", Publications Mathématiques de l'IHÉS, 52: 137–252, doi:10.1007/BF02684780 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Deninger, Christopher (1998), "Some analogies between number theory and dynamical systems on foliated spaces", Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlin, 1998), Documenta Mathematica, hlm. 163–186, MR 1648030
• Dudek, Adrian W. (2014-08-21), "On the Riemann hypothesis and the difference between primes", International Journal of Number Theory, 11 (3): 771–778, arXiv:1402.6417 , Bibcode:2014arXiv1402.6417D, doi:10.1142/S1793042115500426, ISSN 1793-0421 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Dyson, Freeman (2009), "Birds and frogs" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 56 (2): 212–223, MR 2483565
• Edwards, H. M. (1974), Riemann's Zeta Function, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-41740-0, MR 0466039
• Fesenko, Ivan (2010), "Analysis on arithmetic schemes. II", Journal of K-theory, 5 (3): 437–557, doi:10.1017/is010004028jkt103
• Ford, Kevin (2002), "Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 85 (3): 565–633, arXiv:1910.08209 , doi:10.1112/S0024611502013655, MR 1936814 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Franel, J.; Landau, E. (1924), "Les suites de Farey et le problème des nombres premiers" (Franel, 198–201); "Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel (Landau, 202–206)", Göttinger Nachrichten: 198–206
• Ghosh, Amit (1983), "On the Riemann zeta function—mean value theorems and the distribution of |S(T)|", J. Number Theory, 17: 93–102, doi:10.1016/0022-314X(83)90010-0 
• Gourdon, Xavier (2004), The 10¹³ first zeros of the Riemann Zeta function, and zeros computation at very large height (PDF)
• Gram, J. P. (1903), "Note sur les zéros de la fonction ζ(s) de Riemann", Acta Mathematica, 27: 289–304, doi:10.1007/BF02421310  Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Hadamard, Jacques (1896), "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques", Bulletin de la Société Mathématique de France, 14: 199–220, doi:10.24033/bsmf.545  Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Hardy, G. H. (1914), "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", C. R. Acad. Sci. Paris, 158: 1012–1014, JFM 45.0716.04 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E. (1921), "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line", Math. Z., 10 (3–4): 283–317, doi:10.1007/BF01211614 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Haselgrove, C. B. (1958), "A disproof of a conjecture of Pólya", Mathematika, 5 (2): 141–145, doi:10.1112/S0025579300001480, ISSN 0025-5793, MR 0104638, Zbl 0085.27102 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Haselgrove, C. B.; Miller, J. C. P. (1960), Tables of the Riemann zeta function, Royal Society Mathematical Tables, Vol. 6, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-06152-0, MR 0117905 Review
• Hutchinson, J. I. (1925), "On the Roots of the Riemann Zeta-Function", Transactions of the American Mathematical Society, 27 (1): 49–60, doi:10.2307/1989163 , JSTOR 1989163
• Ingham, A.E. (1932), The Distribution of Prime Numbers, Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 30, Cambridge University Press. Reprinted 1990, ISBN 978-0-521-39789-6, MR1074573
• Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, ISBN 0-387-97329-X
• Ivić, A. (1985), The Riemann Zeta Function, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-80634-9, MR 0792089 (Reprinted by Dover 2003)
• Ivić, Aleksandar (2008), "On some reasons for doubting the Riemann hypothesis", dalam Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, hlm. 131–160, arXiv:math.NT/0311162 , ISBN 978-0-387-72125-5
• Karatsuba, A. A. (1984a), "Zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (dalam bahasa Rusia), 48 (3): 569–584, MR 0747251
• Karatsuba, A. A. (1984b), "Distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it)", Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. (dalam bahasa Rusia), 48 (6): 1214–1224, MR 0772113
• Karatsuba, A. A. (1985), "Zeros of the Riemann zeta-function on the critical line", Trudy Mat. Inst. Steklov. (dalam bahasa Rusia) (167): 167–178, MR 0804073
• Karatsuba, A. A. (1992), "On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line", Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. (dalam bahasa Rusia), 56 (2): 372–397, Bibcode:1993IzMat..40..353K, doi:10.1070/IM1993v040n02ABEH002168, MR 1180378
• Karatsuba, A. A.; Voronin, S. M. (1992), The Riemann zeta-function, de Gruyter Expositions in Mathematics, 5, Berlin: Walter de Gruyter & Co., doi:10.1515/9783110886146, ISBN 978-3-11-013170-3, MR 1183467
• Keating, Jonathan P.; Snaith, N. C. (2000), "Random matrix theory and ζ(1/2 + it)", Communications in Mathematical Physics, 214 (1): 57–89, Bibcode:2000CMaPh.214...57K, doi:10.1007/s002200000261, MR 1794265 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Knapowski, S. (1962), "On sign-changes of the difference ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} x}$", Acta Arithmetica, 7: 107–119, doi:10.4064/aa-7-2-107-119 , MR 0133308
• Knauf, Andreas (1999), "Number theory, dynamical systems and statistical mechanics", Reviews in Mathematical Physics, 11 (8): 1027–1060, Bibcode:1999RvMaP..11.1027K, doi:10.1142/S0129055X99000325, MR 1714352
• von Koch, Niels Helge (1901), "Sur la distribution des nombres premiers", Acta Mathematica, 24: 159–182, doi:10.1007/BF02403071 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Kurokawa, Nobushige (1992), "Multiple zeta functions: an example", Zeta functions in geometry (Tokyo, 1990), Adv. Stud. Pure Math., 21, Tokyo: Kinokuniya, hlm. 219–226, MR 1210791
• Lapidus, Michel L. (2008), In search of the Riemann zeros, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/mbk/051, ISBN 978-0-8218-4222-5, MR 2375028
• Templat:Eom
• Lehmer, D. H. (1956), "Extended computation of the Riemann zeta-function", Mathematika, 3 (2): 102–108, doi:10.1112/S0025579300001753, MR 0086083
• Leichtnam, Eric (2005), "An invitation to Deninger's work on arithmetic zeta functions", Geometry, spectral theory, groups, and dynamics, Contemp. Math., 387, Providence, RI: Amer. Math. Soc., hlm. 201–236, doi:10.1090/conm/387/07243, MR 2180209.
• Levinson, N. (1974), "More than one-third of the zeros of Riemann's zeta function are on σ = 1/2", Advances in Mathematics, 13 (4): 383–436, doi:10.1016/0001-8708(74)90074-7 , MR 0564081
• Littlewood, J. E. (1962), "The Riemann hypothesis", The scientist speculates: an anthology of partly baked idea, New York: Basic books
• van de Lune, J.; te Riele, H. J. J.; Winter, D. T. (1986), "On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. IV", Mathematics of Computation, 46 (174): 667–681, doi:10.2307/2008005 , JSTOR 2008005, MR 0829637
• Massias, J.-P.; Nicolas, Jean-Louis; Robin, G. (1988), "Évaluation asymptotique de l'ordre maximum d'un élément du groupe symétrique", Acta Arithmetica, 50 (3): 221–242, doi:10.4064/aa-50-3-221-242 , MR 0960551
• Mazur, Barry; Stein, William (2015), Prime Numbers and the Riemann Hypothesis
• Montgomery, Hugh L. (1973), "The pair correlation of zeros of the zeta function", Analytic number theory, Proc. Sympos. Pure Math., XXIV, Providence, R.I.: American Mathematical Society, hlm. 181–193, MR 0337821 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Montgomery, Hugh L. (1983), "Zeros of approximations to the zeta function", dalam Erdős, Paul, Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, hlm. 497–506, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820245
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007), Multiplicative Number Theory I. Classical Theory, Cambridge studies in advanced mathematics, 97, Cambridge University Press.ISBN 978-0-521-84903-6
• Nicely, Thomas R. (1999), "New maximal prime gaps and first occurrences", Mathematics of Computation, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0 , MR 1627813.
• Nyman, Bertil (1950), On the One-Dimensional Translation Group and Semi-Group in Certain Function Spaces, PhD Thesis, University of Uppsala: University of Uppsala, MR 0036444
• Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J. (1985), "Disproof of the Mertens conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985 (357): 138–160, doi:10.1515/crll.1985.357.138, MR 0783538, diarsipkan dari versi asli tanggal 2012-07-11 Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Odlyzko, A. M. (1987), "On the distribution of spacings between zeros of the zeta function", Mathematics of Computation, 48 (177): 273–308, doi:10.2307/2007890 , JSTOR 2007890, MR 0866115
• Odlyzko, A. M. (1990), "Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: a survey of recent results", Séminaire de Théorie des Nombres de Bordeaux, Série 2, 2 (1): 119–141, doi:10.5802/jtnb.22 , MR 1061762
• Odlyzko, A. M. (1992), The 10²⁰-th zero of the Riemann zeta function and 175 million of its neighbors (PDF) This unpublished book describes the implementation of the algorithm and discusses the results in detail.
• Odlyzko, A. M. (1998), The 10²¹st zero of the Riemann zeta function (PDF)
• Ono, Ken; Soundararajan, K. (1997), "Ramanujan's ternary quadratic form", Inventiones Mathematicae, 130 (3): 415–454, Bibcode:1997InMat.130..415O, doi:10.1007/s002220050191 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Patterson, S. J. (1988), An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 14, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623707, ISBN 978-0-521-33535-5, MR 0933558
• Platt, Dave; Trudgian, Tim (January 2021), "The Riemann hypothesis is true up to ${\displaystyle 3\cdot 10^{12}}$", Bulletin of the London Mathematical Society, Wiley, arXiv:2004.09765 , doi:10.1112/blms.12460 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Radziejewski, Maciej (2007), "Independence of Hecke zeta functions of finite order over normal fields", Transactions of the American Mathematical Society, 359 (5): 2383–2394, doi:10.1090/S0002-9947-06-04078-5 , MR 2276625, There are infinitely many nonisomorphic algebraic number fields whose Dedekind zeta functions have infinitely many nontrivial multiple zeros.
• Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
• Riemann, Bernhard (1859), "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953). Original manuscript (with English translation). Reprinted in (Borwein et al. 2008) and (Edwards 1974)
• Riesel, Hans; Göhl, Gunnar (1970), "Some calculations related to Riemann's prime number formula", Mathematics of Computation, 24 (112): 969–983, doi:10.2307/2004630, JSTOR 2004630, MR 0277489
• Riesz, M. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica, 40: 185–190, doi:10.1007/BF02418544 
• Robin, G. (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série, 63 (2): 187–213, MR 0774171
• Rodgers, Brad; Tao, Terence (2020), "The de Bruijn–Newman constant is non-negative", Forum of Mathematics, 8: e6, 62, doi:10.1017/fmp.2020.6 , MR 4089393; see also announcement on Tao's blog, January 19, 2018
• Rosser, J. Barkley; Yohe, J. M.; Schoenfeld, Lowell (1969), "Rigorous computation and the zeros of the Riemann zeta-function. (With discussion)", Information Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh, 1968), Vol. 1: Mathematics, Software, Amsterdam: North-Holland, hlm. 70–76, MR 0258245
• Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, 1st edition (January 1973), New York: McGraw-Hill, ISBN 0-070-54225-2
• Salem, Raphaël (1953), "Sur une proposition équivalente à l'hypothèse de Riemann", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences, 236: 1127–1128, MR 0053148
• Sarnak, Peter (2005), Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis (2004) (PDF), Clay Mathematics Institute, diakses tanggal 2015-07-28 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Schoenfeld, Lowell (1976), "Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). II", Mathematics of Computation, 30 (134): 337–360, doi:10.2307/2005976, JSTOR 2005976, MR 0457374
• Schumayer, Daniel; Hutchinson, David A. W. (2011), "Physics of the Riemann Hypothesis", Reviews of Modern Physics, 83 (2): 307–330, arXiv:1101.3116 , Bibcode:2011RvMP...83..307S, doi:10.1103/RevModPhys.83.307 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Selberg, Atle (1942), "On the zeros of Riemann's zeta-function", SKR. Norske Vid. Akad. Oslo I., 10: 59 pp, MR 0010712
• Selberg, Atle (1946), "Contributions to the theory of the Riemann zeta-function", Arch. Math. Naturvid., 48 (5): 89–155, MR 0020594
• Selberg, Atle (1956), "Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series", J. Indian Math. Soc., New Series, 20: 47–87, MR 0088511
• Serre, Jean-Pierre (1969–1970), "Facteurs locaux des fonctions zeta des varietés algébriques (définitions et conjectures)", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 19
• Sheats, Jeffrey T. (1998), "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]", Journal of Number Theory, 71 (1): 121–157, arXiv:math/9801158 , doi:10.1006/jnth.1998.2232, MR 1630979 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Siegel, C. L. (1932), "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. Und Phys. Abt. B: Studien 2: 45–80 Reprinted in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.
• Speiser, Andreas (1934), "Geometrisches zur Riemannschen Zetafunktion", Mathematische Annalen, 110: 514–521, doi:10.1007/BF01448042, JFM 60.0272.04, diarsipkan dari versi asli tanggal 2015-06-27 Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Spira, Robert (1968), "Zeros of sections of the zeta function. II", Mathematics of Computation, 22 (101): 163–173, doi:10.2307/2004774 , JSTOR 2004774, MR 0228456
• Stein, William; Mazur, Barry (2007), What is Riemann's Hypothesis? (PDF), diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2009-03-27 Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Suzuki, Masatoshi (2011), "Positivity of certain functions associated with analysis on elliptic surfaces", Journal of Number Theory, 131 (10): 1770–1796, doi:10.1016/j.jnt.2011.03.007 
• Titchmarsh, Edward Charles (1935), "The Zeros of the Riemann Zeta-Function", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, 151 (873): 234–255, Bibcode:1935RSPSA.151..234T, doi:10.1098/rspa.1935.0146 , JSTOR 96545
• Titchmarsh, Edward Charles (1936), "The Zeros of the Riemann Zeta-Function", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, The Royal Society, 157 (891): 261–263, Bibcode:1936RSPSA.157..261T, doi:10.1098/rspa.1936.0192 , JSTOR 96692
• Titchmarsh, Edward Charles (1986), The theory of the Riemann zeta-function (edisi ke-2nd), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853369-6, MR 0882550
• Trudgian, Timothy S. (2014), "An improved upper bound for the argument of the Riemann zeta function on the critical line II", J. Number Theory, 134: 280–292, arXiv:1208.5846 , doi:10.1016/j.jnt.2013.07.017
• Trudgian, Timothy (2011), "On the success and failure of Gram's Law and the Rosser Rule", Acta Arithmetica, 125 (3): 225–256, doi:10.4064/aa148-3-2
• Turán, Paul (1948), "On some approximative Dirichlet-polynomials in the theory of the zeta-function of Riemann", Danske Vid. Selsk. Mat.-Fys. Medd., 24 (17): 36, MR 0027305 Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Turing, Alan M. (1953), "Some calculations of the Riemann zeta-function", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 3: 99–117, doi:10.1112/plms/s3-3.1.99, MR 0055785
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1896), "Recherches analytiques sur la théorie des nombers premiers", Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 20: 183–256
• de la Vallée-Poussin, Ch.J. (1899–1900), "Sur la fonction ζ(s) de Riemann et la nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée", Mem. Couronnes Acad. Sci. Belg., 59 (1) Reprinted in (Borwein et al. 2008).
• Weil, André (1948), Sur les courbes algébriques et les variétés qui s'en déduisent, Actualités Sci. Ind., no. 1041 = Publ. Inst. Math. Univ. Strasbourg 7 (1945), Hermann et Cie., Paris, MR 0027151
• Weil, André (1949), "Numbers of solutions of equations in finite fields", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497–508, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , MR 0029393 Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by Andre Weil ISBN 0-387-90330-5
• Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Analytic number theory ( St. Louis Univ., 1972), Proc. Sympos. Pure Math., 24, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., hlm. 321–332, MR 0337902
• Wiles, Andrew (2000), "Twenty years of number theory", Mathematics: frontiers and perspectives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, hlm. 329–342, ISBN 978-0-8218-2697-3, MR 1754786
• Zagier, Don (1977), "The first 50 million prime numbers" (PDF), Math. Intelligencer, Springer, 1: 7–19, doi:10.1007/BF03039306, MR 0643810, diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2009-03-27 Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan); Parameter |s2cid= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Zagier, Don (1981), "Eisenstein series and the Riemann zeta function", Automorphic forms, representation theory and arithmetic (Bombay, 1979), Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Inst. Fundamental Res., Bombay, hlm. 275–301, MR 0633666

Eksposisi populer

• Sabbagh, Karl (2003a), The greatest unsolved problem in mathematics, Farrar, Straus and Giroux, New York, ISBN 978-0-374-25007-2, MR 1979664
• Sabbagh, Karl (2003b), Dr. Riemann's zeros, Atlantic Books, London, ISBN 978-1-843-54101-1
• du Sautoy, Marcus (2003), The music of the primes, HarperCollins Publishers, ISBN 978-0-06-621070-4, MR 2060134
• Rockmore, Dan (2005), Stalking the Riemann hypothesis, Pantheon Books, ISBN 978-0-375-42136-5, MR 2269393
• Derbyshire, John (2003), Prime Obsession, Joseph Henry Press, Washington, DC, ISBN 978-0-309-08549-6, MR 1968857
• Watkins, Matthew (2015), Mystery of the Prime Numbers, Liberalis Books, ISBN 978-1782797814, MR 0000000
• Frenkel, Edward (2014), The Riemann Hypothesis Numberphile, Mar 11, 2014 (video)