Bilangan prima Sophie Germain

Dalam teori bilangan, suatu bilangan prima ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima Sophie Germain jika ${\displaystyle 2p+1}$ juga bilangan prima. Bilangan ${\displaystyle 2p+1}$ yang terkait dengan bilangan prima Sophie Germain disebut bilangan prima aman (safe prime). Sebagai contoh, 11 adalah bilangan prima Sophie Germain dan ${\displaystyle 2\times 11+1=23}$ adalah bilangan prima aman yang terkait dengannya. Bilangan prima Sophie Germain dinamai menurut seorang matematikawan berkebangsaan Prancis yang bernama Sophie Germain, yang digunakan olehnya dalam penelitiannya mengenai Teorema Terakhir Fermat.^[1] Percobaan Germain untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat adalah memisalkan ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima dengan bentuk ${\displaystyle 8k+7}$ dan memisalkan ${\displaystyle n=p-1}$. Pada kasus ini, ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$ belum terpecahkan. Akan tetapi, bukti Germain masih belum selesai.^[2][3] Melalui percobaannya untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat, Germain mengembangkan hasil yang kini dikenal sebagai teorema Germain, yang mengatakan bahwa jika ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima ganjil dan ${\displaystyle 2p+1}$ bilangan prima pula, maka ${\displaystyle p}$ harus membagi ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, atau ${\displaystyle z}$; jika tidak, ${\textstyle x^{n}+y^{n}\neq z^{n}}$. Kasus yang menyatakan ${\displaystyle p}$ tidak membagi ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, atau ${\displaystyle z}$ disebut kasus pertama. Karya Sophie Germain’s memberikan kemajuan terbesar mengenai teorema terakhir Fermat pada kala itu.^[2] Karya selanjutnya oleh Kummer dan matematikawan lainnya selalu membagi permasalahan tersebut menjadi kasus pertama dan kedua. Bilangan prima Sophie Germain dan bilangan prima aman memiliki penerapan dalam kriptografi kunci publik dan uji primalitas. Adapun konjektur yang mengatakan bahwa terdapat tak berhingganya banyaknya bilangan prima Sophie Germain, tetapi masih belum terbuktikan.

Masalah yang belum terpecahkan dalam matematika:

Adakah tak berhingga banyaknya bilangan prima Sophie Germain?

(lebih banyak masalah yang belum terpecahkan dalam matematika)

Referensi

1. Lebih lanjutnya, Germain membuktikan bahwa kasus pertama Teorema Terakhir Fermat, dengan eksponen membagi salah satu basis, adalah benar untuk setiap bilangan prima Sophie Germain. Ia menggunakan argumen yang serupa untuk membuktikan hal yang sama untuk semua bilangan prima lainnya hingga mencapai 100. Untuk detail lebih lanjut, lihat Edwards, Harold M. (2000), Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, 50, Springer, hlm. 61–65, ISBN 9780387950020.
2. Dalmedico, Amy (1991). "Sophie Germain". Scientific American. 265 (6): 116–123. doi:10.1038/scientificamerican1291-116. JSTOR 24938838 – via JSTOR.
3. Laubenbacher, Reinhard; Pengelley, David (2010-11-01). ""Voici ce que j'ai trouvé:" Sophie Germain's grand plan to prove Fermat's Last Theorem". Historia Mathematica (dalam bahasa Inggris). 37 (4): 641–692. doi:10.1016/j.hm.2009.12.002 . ISSN 0315-0860.

Pranala luar

• (Inggris) The Ten Largest Known Sophie Germain Primes from The Prime Pages
• (Inggris) Maximally Periodic Reciprocals R.A.J. Matthews Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications vol 28 pp 147-148 1992