Ֆրակտալ

Ֆրակտալ (լատ.՝ fractus - մանրացված, կոտրված), բազմություն, որն ունի ինքնանմանության հատկություն (օբյեկտ, որը ճշգրիտ կամ մոտավորապես համապատասխանում է ինքն իր մի մասին, այսինքն՝ ամբողջը ունի նույն ձևը, ինչ մեկ կամ մի քանի մաս)։ Մաթեմատիկայում ֆրակտալը նշանակում է էվկլիդեսյան տարածության կետերի բազմություն, որոնք ունեն կոտորակային մետրական չափականություն (Մինկովսկու կամ Հաուսդորֆի իմաստով) կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական չափականություն^[4], այդ պատճառով դրանք պետք է տարբերվեն այլ երկրաչափական պատկերներից, որոնք սահմանափակված են սահմանափակ թվով կապերով։ Ինքնանման պատկերները, որոնք կրկնվում են վերջավոր թվով արտահայտվող անգամ, կոչվում են նախաֆրակտալներ։

Մանդելբրոտի բազմությունը ֆրակտալի դասական օրինակ է^[1][2][3]

Ռմանեսկո տեսակի (Brassica oleracea) կաղամբի գլխի ֆրակտալ ձևը

Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմությունների առաջին օրինակները հայտնվել են 19-րդ դարում՝ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունկցիաների ուսումնասիրության արդյունքում (օրինակ՝ Բոլցանոյի ֆունկցիան, Վեյերշտրասի ֆունկցիան, Կանտորի բազմությունը)^[5]։ «Ֆրակտալ» տերմինը ներմուծել է Բենուա Մանդելբրոտը 1975 թվականին։ Այն լայն տարածում է գտել 1977 թվականին Մանդելբրոտի «Բնության ֆրակտալ երկրաչափություն» գրքի հրատարակումով։ Ֆրակտալները հատկապես մեծ ժողովրդականություն են արժանացել համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ, ինչը հնարավորություն է տվել արդյունավետորեն պատկերել այս կառույցները։

«Ֆրակտալ» բառը օգտագործվում է ոչ միայն որպես մաթեմատիկական տերմին։ Ֆրակտալ կարող է կոչվել այն առարկան, որն ունի հետևյալ հատկություններից առնվազն մեկը.

• Այն բոլոր մասշտաբներում ունի ոչ տրիվիալ կառուցվածք։ Դրանով այն տարբերվում է կանոնավոր պատկերներից (օրինակ՝ շրջան, էլիպս, հարթ ֆունկցիայի գրաֆիկ)։ Եթե շատ մեծ մասշտաբով դիտեք սովորական ձևի փոքր հատվածը, ապա դա կարծես ուղիղ գծի հատված է։ Ֆրակտալի համար մասշտաբի բարձրացումը չի հանգեցնում կառուցվածքի պարզեցման, այսինքն՝ բոլոր մասշտաբների վրա կարելի է տեսնել հավասարապես բարդ պատկեր։
• Այն ինքնանման կամ մոտավորապես ինքնանման է։
• Այն ունի կոտորակային մետրական չափականություն կամ տոպոլոգիականից տարբերվող մետրական չափականություն։

Բնության շատ օբյեկտներ ունեն ֆրակտալ հատկություններ, օրինակ՝ ծովափ, ամպեր, ծառի սաղարթ, ձյան փաթիլներ, արյան շրջանառության համակարգ, ալվեոլներ։ Սակայն ֆրակտալները չեն սահմանափակվում միայն երկրաչափական նախշերով, այլ կարող են վերաբերել նաև ժամանակի ընթացքում կատարվող գործընթացներին^{[6][7][8][9][10][11]}։ Տարբեր աստիճանի ինքնանմանություն ունեցող ֆրակտալ նախշեր ներկայացվել կամ ուսումնասիրվել են պատկերների, կառուցվածքների և հնչյունների մեջ^[12] և գտնվել բնության մեջ^{[13][14][15][16][17]}, տեխնոլոգիայի բնագավառում^{[18][19][20][21][22]}, արվեստում^[23][24], ճարտարապետության^[25] և իրավունքի^[26] բնագավառներում։ Ֆրակտալները հատուկ նշանակություն ունեն քաոսի տեսության ոլորտում, քանի որ քաոսային գործընթացների մեծամասնության գրաֆիկները ֆրակտալներ են^[27]։

Օրինակներ

Արտասովոր հատկություններով ինքնանման բազմություններ մաթեմատիկայում

19-րդ դարի վերջից սկսած՝ մաթեմատիկայում հայտնվում են դասական վերլուծության տեսանկյունից պաթոլոգիական հատկություններ ունեցող ինքնանման առարկաների օրինակներ։ Դրանց թվին կարելի է դասել.

• Կանտորի հավաքածուն ոչ մի տեղ խիտ կենտ կատարյալ բազմություն է։ Ընթացակարգը փոփոխելով՝ կարելի է ստանալ նաև ոչ մի տեղ խիտ դրական երկարության բազմություն,
• Սերպինսկու եռանկյունին («սփռոց») և Սերպինսկու գորգ, Կանտորի բազմության անալոգները հարթության վրա,
• Մենգերի սպունգ^[6], Կանտորի բազմության անալոգը եռաչափ տարածության մեջ,
• Ոչ մի տեղ չդիֆերենցվող անընդհատ ֆունցկաների՝ Վայերշտրասի և Վան դեր Վարդենի օրինակները,
• Կոխի կոր, անսահման երկարության ոչ ինքնահատվող շարունակական կոր, որը չունի շոշափող ոչ մի կետում,
• Պեանոյի կոր, շարունակական կոր, որն անցնում է խորանարդի բոլոր կետերով,
• Բրոունյան մասնիկի հետագիծը նույնպես 1 հավանականությամբ ոչ մի կետում չի դիֆերենցվում։ Նրա Հաուսդորֆի չափը հավասար է երկուսի։

Ֆրակտալ կորեր ստանալու ռեկուրսիվ ընթացակարգ

Կոխի կորի կառուցումը

Գոյություն ունի հարթության վրա ֆրակտալ կորերի ստացման պարզ ռեկուրսիվ ընթացակարգ։ Որոշենք վերջավոր թվով հանգույցներով կամայական բեկյալ, որը կոչվում է գեներատոր։ Հաջորդիվ դրա մեջ յուրաքանչյուր հատվածը փոխարինենք գեներատորով (ավելի ճիշտ՝ գեներատորի նման բեկյալով)։ Արդյունքում ստացված բեկյալի յուրաքանչյուր հատվածը նորից փոխարինենք գեներատորով։ Շարունակելով մինչև անսահմանություն՝ ստանում ենք ֆրակտալ կոր։ Աջ կողմում գտնվող նկարում ցույց է տրված Կոխի կորի համար այդ ընթացակարգի առաջին, երկրորդ և չորրորդ քայլերը։

Նման կորերի օրինակներն են.

• Կոխի կոր (Կոխի փաթիլ),
• Լևիի կոր,
• Մինկովսկու կոր,
• Հիլբերտի կոր,
• Վիշապի բեկյալ (կոր) (Հարթեր-Հեյթուեյի ֆրակտալ),
• Պեանոյի կոր,
• Մյակիշևի կոր։

Նմանատիպ ընթացակարգի կիրառմամբ է ստացվում Պյութագորասի ծառը։

Ֆրակտալները որպես սեղմիչ արտացոլումների անշարժ կետ

Ինքնանմանության հատկությունը կարող է մաթեմատիկորեն խստորեն արտահայտվել հետևյալ կերպ։ Դիցուք ${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}$ հարթության սեղմիչ արտացոլումներն են։ Դիտարկենք հետևյալ արտացոլումը հարթության բոլոր կոմպակտ (փակ և սահմանափակ) ենթաբազմությունների վրա. ${\displaystyle \Psi \colon K\mapsto \cup _{i=1}^{n}\psi _{i}(K)}$

Կարելի է ցույց տալ, որ ${\displaystyle \Psi }$ արտացոլումը սեղմիչ արտացոլում է հաուսդորֆյան մետրիկի հետ կոմպակտների բազմության վրա։ Հետևաբար, Բանախի թեորեմի համաձայն, այս արտացոլումն ունի եզակի անշարժ կետ։ Այս ֆիքսված կետը կլինի մեր ֆրակտալը։

Վերևում նկարագրված ֆրակտալ կորերի ստացման ռեկուրսիվ ընթացակարգը տվյալ կառուցվածքի մասնավոր դեպքն է։ Դրանում բոլոր արտացոլումները ${\displaystyle \psi _{i},\,i=1,\dots ,n}$ նմանության արտացոլումն են, իսկ ${\displaystyle n}$-ը՝ գեներատորի հանգույցների թիվը։

Սերպինսկու եռանկյան համար ${\displaystyle n=3}$ և ${\displaystyle \psi _{1}}$, ${\displaystyle \psi _{2}}$, ${\displaystyle \psi _{3}}$ արտացոլումները հեմոտետիաներ են կանոնավր եռանկյան գագաթներում գտնվող կենտրոններվ և 1/2 գործակիցով։ Հեշտ է տեսնել, որ Սերպինսկու եռանկյունին անցնում է իրեն ${\displaystyle \Psi }$ արտացոլման դեպքում։

Այն դեպքում, երբ ${\displaystyle \psi _{i}}$ արտացոլումները նմանության վերափոխումներ են ${\displaystyle r_{i}>0}$ գործակիցներով, ${\displaystyle s}$ ֆրակտալի չափականությունը (որոշ լրացուցիչ տեխնիկական պայմաններում) կարող է հաշվարկվել որպես ${\displaystyle r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1}$ հավասարման լուծում։ Այսպիսով, Սերպինսկու եռանկյան համար ստանում ենք՝ ${\displaystyle s=\ln 3/\ln 2}$։

Ըստ նույն Բանախի թեորեմի՝ սկսելով ցանկացած կոմպակտ բազմությունից և դրա նկատմամբ կիրառելով ${\displaystyle \Psi }$ արտացոլման իտերացիաները, կստանանք մեր ֆրակտալին մոտ (Հաուսդորֆի մետրիկայի իմաստով) կոմպակտների հաջորդականություն։

Ֆրակտալները կոմպլեքս դինամիկայում

Ժյուլիայի բազմություն

Ժյուլիայի մեկ այլ բազմություն

Ֆրակտալները բնական կերպով առաջանում են ոչ գծային դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության ժամանակ։ Առավել ուսումնասիրվել է այն դեպքը, երբ դինամիկ համակարգը սահմանվում է բազմանդամի կամ հոլոմորֆիկ ֆունկցիայի իտերացիաներով կոմպլեքս բեկյալով հարթության վրա։ Այս ոլորտում առաջին հետազոտությունները վերաբերում են 20-րդ դարի սկզբին և կապված են Ֆաթուի և Ժուլիայի անունների հետ։

Դիցուք ${\displaystyle F(z)}$ բազմանդամ է, ${\displaystyle z_{0}}$-ը՝ կոմպլեքս թիվ։ Դիտարկենք հետևյալ հաջորդականությունը.

${\displaystyle z_{0},z_{1}=F(z_{0}),z_{2}=F(F(z_{0}))=F(z_{1}),z_{3}=F(F(F(z_{0})))=F(z_{2}),...}$

Մեզ հետաքրքրում է այս հաջորդականության փոփոխությունը, երբ n-ը ձգտում է անսահմանության։ Այս հաջորդականությունը կարող է.

• ձգտել անսահմանության,
• ձգտել վերջնական սահմանին,
• ցույց տալ ցիկլային վարք որոշակի սահմաններում, օրինակ՝ ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{1},z_{2},z_{3},...}$
• վարվել քաոսային կերպով, այսինքն՝ չցուցավերել վարքի նշված 3 տեսակներից որևէ մեկ։

${\displaystyle z_{0}}$-ի արժեքների բազմությունը, որոնց համար հաջորդականությունը ցույց է տալիս վարքի մեկ կոնկրետ տեսակ, ինչպես նաև կետերի բազմության երկատում տարբեր տիպերի միջև, հաճախ ունեն ֆրակտալ հատկություններ։

Այսպես, Ժուլիայի բազմությունը երկատման կետերի բազմության է ${\displaystyle F(z)=z^{2}+c}$ բազմանդամի համար (կամ այլ նման ֆունկցիայի), այսինքն՝ ${\displaystyle z_{0}}$ - ի այն արժեքները, որոնց համար ${\displaystyle z_{n}}$ հաջորդականության վարքը կարող է կտրուկ փոխվել ${\displaystyle z_{0}}$–ի կամայական փոքր փոփոխությունների դեպքում։

Ֆրակտալ ազմության ստացման մեկ այլ տարբերակ է պարամետրի ներմուծումը ${\displaystyle F(z)}$ բազմանդամում և պարամետրի այն արժեքների բազմության դիտարկումը, որոնց դեպքում ${\displaystyle z_{n}}$ հաջորդականությունը ցույց է տալիս որոշակի վարք ֆիքսված ${\displaystyle z_{0}}$ դեպքում։ Այսպես, Մանդելբրոտի բազմությունը բոլոր այն ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$ բազմություն է, որոնց դեպքում ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle F(z)=z^{2}+c}$-ի և ${\displaystyle z_{0}}$-ի համար չի ձգտում անսահմանության։

Այս տեսակի ևս մեկ հայտնի օրինակ է Նյուտոնի լողավազանները։

Տարածված է գեղեցիկ գրաֆիկական պատկերների ստեղծումը, որը հիմնված է կոմպլեքս դինամիկայի վրա՝ հարթության կետերը գունավորելու միջոցով՝ կախված համապատասխան դինամիկ համակարգերի վարքից։ Օրինակ, Մանդելբրոտի բազմութքյան լրացման համար կարելի է գունավորել կետերը՝ կախված ${\displaystyle z_{n}}$-ի անսահմանության ձգտման արագությունից (որը սահմանվում է, օրինակ, ամենափոքր ${\displaystyle n}$ համարը, որի դեպքում ${\displaystyle |z_{n}|}$ կգերազանցի ${\displaystyle A}$ ֆիքսված մեծությանը)։

Բիոմորֆները ֆրակտալներ են, որոնք կառուցված են բարդ դինամիկայի հիման վրա և նման են կենդանի օրգանիզմների։

Ստոխաստիկ ֆրակտալներ

Պատահական ձևով կառուցված ֆրակտալ Ժյուլիայի բազմության հիման վրա

Բնական օբյեկտները հաճախ ունենում են ֆրակտալ ձև։ Դրանց մոդելավորման համար կարող են օգտագործվել ստոխաստիկ (պատահական) ֆրակտալները։ Ստոխաստիկ ֆրակտալների օրինակներ.

• Բրոունյան շարժման հետագիծը հարթության վրա և տարածության մեջ,
• Բրոունյան շարժման հետագծի սահմանը հարթության վրա։ 2001 թվականին Լոուլերը, Շրամը և Վերները ապացուցել են Մանդելբրոտի ենթադրությունն այն մասին, որ դրա չափականությունը 4/3 է։
• Շրամ-Լյովներիի էվոլյուցիաները Կոնֆորմ արտապատկերվող ֆրակտալ կորեր են, որոնք ծագում են Վիճակագրական մեխանիկայի կրիտիկական երկչափական մոդելներում, օրինակ՝ Իզինգի մոդելում և պերկոլյացիայում։
• Տարբեր տեսակների պատահական ֆրակտալներ, այսինքն՝ ռեկուրսիվ ընթացակարգի միջոցով ստացված ֆրակտալներ, որտեղ ամեն քայլափոխի մտցվում է պատահական պարամետր։ Պլազման նման ֆրակտալի օգտագործման օրինակ է համակարգչային գրաֆիկայում։

Բնական օբյեկտներ, որոնք ունեն ֆրակտալ հատկություններ

Շնչափողի և բրոնխների տեսքն առջևից

Բնական օբյեկտները (քվազիֆրակտալները) իդեալական վերացական ֆրակտալներից տարբերվում են ոչ լիարժեքությամբ և կառուցվածքի կրկնության անճշտությամբ։ Բնության մեջ հանդիպող ֆրակտալանման կառույցների մեծ մասը (ամպերի սահմանները, ափերի գիծը, ծառերը, բույսերի տերևները, մարջանները) քվազիֆրակտալներ են, քանի որ որոշ փոքր մասշտաբում ֆրակտալ կառուցվածքը անհետանում է։ Բնական կառույցները չեն կարող լինել իդեալական ֆրակտալներ կենդանի բջիջների չափսերի սահմանափակումների և մոլեկուլների չափերի պատճառով։

• Կենդանի բնության մեջ։
  • Կորալներ
  • Ծովային աստղեր և ծովոզնիներ
  • Ծովային խեցիներ
  • Ծաղիկներ և բույսեր (բրոկկոլի, ծաղկակաղամբ)
  • Ծառերի սաղարթներ և բույսերի տերևներ
  • Մրգեր (արքայախնձոր)
  • Մարդկանց և կենդանիների արյան շրջանառության
• Clouds and rainfall areas^[28] և բրոնխների համակարգեր
  • Միկրոֆիլամենտներ^[29]
  • Ջրիմուռներ
  • Սպիտակուցներ^[30]
• Անկենդան բնություն.
  • Աշխարհագրական օբյեկտների սահմաններ (երկրներ, շրջաններ, քաղաքներ)
  • Ջրափնյա գիծ
  • Լեռնաշղթաներ
  • Ձյան փաթիլներ^[31]
  • Ամպեր
  • Կայծակ
  • Ձյան նախշեր պատուհանի ապակու վրա
  • Բյուրեղներ^[32]
  • Երկրաշարժներ^[33][34]
  • Խզումային խախտումներ
  • Օվկիանոսի ալիքներ^[35]
  • Սատուրնի օղակներ^[36][37]
  • Ստալակտիտներ, ստալագմիտներ, հելիկտիտներ։

Կիրառություն

Արվեստ

1999 թվականից ավելի քան 10 գիտական խմբեր իրականացրել են ֆրակտալ վերլուծություն Ջեքսոն Փոլոքի (1912-1956) ավելի քան 50 գեղանկարների վերաբերյալ, որոնք ստեղծվել են ներկն ուղղակիորեն հորիզոնական կտավների վրա լցնելով^{[38][39][40][41][42][43][44][45][46][47][48][49][50]}։ Կոգնիտիվ նեյրոկենսաբանները ցույց են տվել, որ Փոլոքի ֆրակտալները նույնքան են նվազեցնում սթրեսը դիտորդների մոտ, որքան համակարգչի կողմից ստեղծված ֆրակտալներն ու բնության ֆրակտալները^[51]։

Բնական գիտություններ

Ֆիզիկայում ֆրակտալները բնականորեն ձևավորվում են ոչ գծային գործընթացների մոդելավորման ժամանակ, ինչպիսիք են հեղուկի մրրկային հոսքը, դիֆուզիոն-ադսորբման բարդ գործընթացները, կրակը, ամպերը և այլն։ Ֆրակտալներն օգտագործվում է ծակոտկեն նյութերի մոդելավորման մեջ, օրինակ՝ նավթաքիմիական նյութերում։ Կենսաբանության մեջ դրանք օգտագործվում են պոպուլյացիաների մոդելավորելու և ներքին օրգանների համակարգերը (արյունատար անոթների համակարգը) նկարագրելու համար։ Կոխի կորի ստեղծումուց հետո առաջարկվել է այն օգտագործել ափագծի երկարությունը հաշվարկելու համար։

Ռադիոտեխնիկա

Ֆրակտալ ալեհավաքներ

Ֆրակտալ երկրաչափության օգտագործումը ալեհավաքների նախագծման ժամանակ առաջին անգամ կիրառվել է ամերիկացի ինժեներ Նաթան Քոենի կողմից, որն այն ժամանակ ապրում էր Բոստոնի կենտրոնում, որտեղ արգելված էր արտաքին ալեհավաքների տեղադրումը շենքի վրա։ Նաթանն ալյումինե փայլաթիթեղից կտրել է Կոխի կորի տեսքով կազմվածքը և այն փակցրել թղթի վրա, այնուհետև միացրել ռադիոընդունիչին։

Քոենը հիմնել է իր սեփական ընկերությունը և սկսել իր ալեհավաքների սերիական թողարկումը։ Այդ ժամանակներից ի վեր ֆրակտալ ալեհավաքները տեսությունը շարունակում է ինտենսիվորեն զարգանալ^{[52][53] [54]}։ Նման ալեհավաքների առավելությունն այն է, որ դրանք բազմաբնույթ են և համեմատաբար լայնաշերտ։

Ինֆորմատիկա

Պատկերի սեղմում

Ֆրակտալ ծառ

Գոյություն ունեն ֆրակտալների միջոցով պատկերի սեղմման ալգորիթմներ։ Դրանք հիմնված են այն գաղափարի վրա, որ պատկերի փոխարեն կարելի է պահպանել սեղմող արտացոլումը, որի համար այդ պատկերը (կամ դրան մոտ պատկեր) անշարժ կետ է։ Այս ալգորիթմի տարբերակներից մեկն օգտագործվել է^[55] Microsoft ընկերության կողմից իր հանրագիտարանը հրատարակելիս, սակայն այդ ալգորիթմները մեծ տարածում չեն ստացել։

Համակարգչային գրաֆիկա

Ֆրակտալ ծառ

Ֆրակտալները լայնորեն կիրառվում են համակարգչային գրաֆիկայում բնական օբյեկտների պատկերներ կառուցելու համար, ինչպիսիք են ծառերը, թփերը, լեռնային լանդշաֆտները, ծովերի մակերևույթները և այլն։ Կան բազմաթիվ ծրագրեր, որոնք ծառայում են Ֆրակտալ պատկերների գեներացման համար։

Ապակենտրոնացված ցանցեր

Netsukuku ցանցում IP հասցեների նշանակման համակարգն օգտագործում է տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը ցանցի հանգույցների մասին տեղեկատվության կոմպակտ պահպանման համար։ Netsukuku ցանցի յուրաքանչյուր հանգույց պահպանում է միայն 4 ԿԲ տեղեկատվություն հարևան հանգույցների կարգավիճակի մասին, միևնույն ժամանակ, ցանկացած նոր հանգույց միանում է ընդհանուր ցանցին առանց IP-հասցեների բաշխման կենտրոնական կարգավորման անհրաժեշտության, ինչը, օրինակ, բնորոշ է ինտերնետին։ Այսպիսով, տեղեկատվության ֆրակտալ սեղմման սկզբունքը երաշխավորում է ամբողջովին ապակենտրոնացված, և, հետևաբար, ամբողջ ցանցի առավել կայուն աշխատանքը։

Նկարներ

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Ծանոթագրություններ

1. Mandelbrot, Benoît B. (1983). The fractal geometry of nature. Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5.
2. Falconer, Kenneth (2003). Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. John Wiley & Sons. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
3. Briggs, John (1992). Fractals:The Patterns of Chaos. London: Thames and Hudson. էջ 148. ISBN 978-0-500-27693-8.
4. Mandelbrot, Benoît B. (2004). Fractals and Chaos. Berlin: Springer. էջ 38. ISBN 978-0-387-20158-0. «A fractal set is one for which the fractal (Hausdorff-Besicovitch) dimension strictly exceeds the topological dimension»
5. Segal, S. L. (1978 թ․ հունիս). «Riemann's example of a continuous 'nondifferentiable' function continued». The Mathematical Intelligencer. 1 (2): 81–82. doi:10.1007/BF03023065.
6. Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
7. Vicsek, Tamás (1992). Fractal growth phenomena. Singapore/New Jersey: World Scientific. էջեր 31, 139–146. ISBN 978-981-02-0668-0.
8. Peters, Edgar (1996). Chaos and order in the capital markets : a new view of cycles, prices, and market volatility. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-13938-6.
9. Krapivsky, P. L.; Ben-Naim, E. (1994). «Multiscaling in Stochastic Fractals». Physics Letters A. 196 (3–4): 168. Bibcode:1994PhLA..196..168K. doi:10.1016/0375-9601(94)91220-3.
10. Hassan, M. K.; Rodgers, G. J. (1995). «Models of fragmentation and stochastic fractals». Physics Letters A. 208 (1–2): 95. Bibcode:1995PhLA..208...95H. doi:10.1016/0375-9601(95)00727-k.
11. Hassan, M. K.; Pavel, N. I.; Pandit, R. K.; Kurths, J. (2014). «Dyadic Cantor set and its kinetic and stochastic counterpart». Chaos, Solitons & Fractals. 60: 31–39. arXiv:1401.0249. Bibcode:2014CSF....60...31H. doi:10.1016/j.chaos.2013.12.010.
12. Brothers, Harlan J. (2007). «Structural Scaling in Bach's Cello Suite No. 3». Fractals. 15 (1): 89–95. doi:10.1142/S0218348X0700337X.
13. Tan, Can Ozan; Cohen, Michael A.; Eckberg, Dwain L.; Taylor, J. Andrew (2009). «Fractal properties of human heart period variability: Physiological and methodological implications». The Journal of Physiology. 587 (15): 3929–41. doi:10.1113/jphysiol.2009.169219. PMC 2746620. PMID 19528254.
14. Buldyrev, Sergey V.; Goldberger, Ary L.; Havlin, Shlomo; Peng, Chung-Kang; Stanley, H. Eugene (1995). «Fractals in Biology and Medicine: From DNA to the Heartbeat». In Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (eds.). Fractals in Science. Springer. Արխիվացված է օրիգինալից 2020 թ․ հոկտեմբերի 1-ին. Վերցված է 2020 թ․ մայիսի 24-ին.
15. Liu, Jing Z.; Zhang, Lu D.; Yue, Guang H. (2003). «Fractal Dimension in Human Cerebellum Measured by Magnetic Resonance Imaging». Biophysical Journal. 85 (6): 4041–4046. Bibcode:2003BpJ....85.4041L. doi:10.1016/S0006-3495(03)74817-6. PMC 1303704. PMID 14645092.
16. Karperien, Audrey L.; Jelinek, Herbert F.; Buchan, Alastair M. (2008). «Box-Counting Analysis of Microglia Form in Schizophrenia, Alzheimer's Disease and Affective Disorder». Fractals. 16 (2): 103. doi:10.1142/S0218348X08003880.
17. Jelinek, Herbert F.; Karperien, Audrey; Cornforth, David; Cesar, Roberto; Leandro, Jorge de Jesus Gomes (2002). «MicroMod-an L-systems approach to neural modelling». In Sarker, Ruhul (ed.). Workshop proceedings: the Sixth Australia-Japan Joint Workshop on Intelligent and Evolutionary Systems, University House, ANU. University of New South Wales. ISBN 9780731705054. OCLC 224846454. Վերցված է 2012 թ․ փետրվարի 3-ին. «Event location: Canberra, Australia»
18. Hu, Shougeng; Cheng, Qiuming; Wang, Le; Xie, Shuyun (2012). «Multifractal characterization of urban residential land price in space and time». Applied Geography. 34: 161–170. doi:10.1016/j.apgeog.2011.10.016.
19. Karperien, Audrey; Jelinek, Herbert F.; Leandro, Jorge de Jesus Gomes; Soares, João V. B.; Cesar Jr, Roberto M.; Luckie, Alan (2008). «Automated detection of proliferative retinopathy in clinical practice». Clinical Ophthalmology (Auckland, N.Z.). 2 (1): 109–122. doi:10.2147/OPTH.S1579. PMC 2698675. PMID 19668394.{{cite journal}}: CS1 սպաս․ չպիտակված ազատ DOI (link)
20. Losa, Gabriele A.; Nonnenmacher, Theo F. (2005). Fractals in biology and medicine. Springer. ISBN 978-3-7643-7172-2.
21. Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). «Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing». Earth and Planetary Science Letters. 262 (3–4): 413. Bibcode:2007E&PSL.262..413V. doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056.
22. Sornette, Didier (2004). Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools. Springer. էջեր 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6.
23. Wallace, David Foster (2006 թ․ օգոստոսի 4). «Bookworm on KCRW». Kcrw.com. Արխիվացված է օրիգինալից 2010 թ․ նոյեմբերի 11-ին. Վերցված է 2010 թ․ հոկտեմբերի 17-ին.
24. Eglash, Ron (1999). «African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design». New Brunswick: Rutgers University Press. Արխիվացված է օրիգինալից 2018 թ․ հունվարի 3-ին. Վերցված է 2010 թ․ հոկտեմբերի 17-ին.
25. Ostwald, Michael J., and Vaughan, Josephine (2016) The Fractal Dimension of Architecture. Birhauser, Basel. doi:10.1007/978-3-319-32426-5.
26. Stumpff, Andrew (2013). «The Law is a Fractal: The Attempt to Anticipate Everything». Vol. 44. Loyola University Chicago Law Journal. էջ 649. SSRN 2157804.
27. Baranger, Michael. «Chaos, Complexity, and Entropy: A physics talk for non-physicists» (PDF).
28. Lovejoy, Shaun (1982). «Area-perimeter relation for rain and cloud areas». Science. 216 (4542): 185–187. Bibcode:1982Sci...216..185L. doi:10.1126/science.216.4542.185. PMID 17736252.
29. Sadegh, Sanaz (2017). «Plasma Membrane is Compartmentalized by a Self-Similar Cortical Actin Meshwork». Physical Review X. 7 (1): 011031. arXiv:1702.03997. Bibcode:2017PhRvX...7a1031S. doi:10.1103/PhysRevX.7.011031. PMC 5500227. PMID 28690919.
30. Enright, Matthew B.; Leitner, David M. (2005 թ․ հունվարի 27). «Mass fractal dimension and the compactness of proteins». Physical Review E. 71 (1): 011912. Bibcode:2005PhRvE..71a1912E. doi:10.1103/PhysRevE.71.011912. PMID 15697635.
31. Meyer, Yves; Roques, Sylvie (1993). Progress in wavelet analysis and applications: proceedings of the International Conference "Wavelets and Applications", Toulouse, France – June 1992. Atlantica Séguier Frontières. էջ 25. ISBN 978-2-86332-130-0. Վերցված է 2011 թ․ փետրվարի 5-ին.
32. Carbone, Alessandra; Gromov, Mikhael; Prusinkiewicz, Przemyslaw (2000). Pattern formation in biology, vision and dynamics. World Scientific. էջ 78. ISBN 978-981-02-3792-9.
33. Vannucchi, Paola; Leoni, Lorenzo (2007). «Structural characterization of the Costa Rica décollement: Evidence for seismically-induced fluid pulsing». Earth and Planetary Science Letters. 262 (3–4): 413. Bibcode:2007E&PSL.262..413V. doi:10.1016/j.epsl.2007.07.056.
34. Sornette, Didier (2004). Critical phenomena in natural sciences: chaos, fractals, selforganization, and disorder: concepts and tools. Springer. էջեր 128–140. ISBN 978-3-540-40754-6.
35. Addison, Paul S. (1997). Fractals and chaos: an illustrated course. CRC Press. էջեր 44–46. ISBN 978-0-7503-0400-9. Վերցված է 2011 թ․ փետրվարի 5-ին.
36. Takayasu, H. (1990). Fractals in the physical sciences. Manchester: Manchester University Press. էջ 36. ISBN 9780719034343.
37. Jun, Li; Ostoja-Starzewski, Martin (2015 թ․ ապրիլի 1). «Edges of Saturn's Rings are Fractal». SpringerPlus. 4, 158: 158. doi:10.1186/s40064-015-0926-6. PMC 4392038. PMID 25883885.{{cite journal}}: CS1 սպաս․ չպիտակված ազատ DOI (link)
38. Taylor, R. P.; և այլք: (1999). «Fractal Analysis of Pollock's Drip Paintings». Nature. 399 (6735): 422. Bibcode:1999Natur.399..422T. doi:10.1038/20833.
39. Mureika, J. R.; Dyer, C. C.; Cupchik, G. C. (2005). «Multifractal Structure in Nonrepresentational Art». Physical Review E. 72 (4): 046101–1–15. arXiv:physics/0506063. Bibcode:2005PhRvE..72d6101M. doi:10.1103/PhysRevE.72.046101. PMID 16383462.
40. Redies, C.; Hasenstein, J.; Denzler, J. (2007). «Fractal-Like Image Statistics in Visual Art: Similarity to Natural Scenes». Spatial Vision. 21 (1): 137–148. doi:10.1163/156856807782753921. PMID 18073055.
41. Lee, S.; Olsen, S.; Gooch, B. (2007). «Simulating and Analyzing Jackson Pollock's Paintings». Journal of Mathematics and the Arts. 1 (2): 73–83. CiteSeerX 10.1.1.141.7470. doi:10.1080/17513470701451253.
42. Alvarez-Ramirez, J.; Ibarra-Valdez, C.; Rodriguez, E.; Dagdug, L. (2008). «1/f-Noise Structure in Pollock's Drip Paintings». Physica A. 387 (1): 281–295. Bibcode:2008PhyA..387..281A. doi:10.1016/j.physa.2007.08.047.
43. Graham, D. J.; Field, D. J. (2008). «Variations in Intensity for Representative and Abstract Art, and for Art from Eastern and Western Hemispheres» (PDF). Perception. 37 (9): 1341–1352. CiteSeerX 10.1.1.193.4596. doi:10.1068/p5971. PMID 18986061.
44. Alvarez-Ramirez, J.; Echeverria, J. C.; Rodriguez, E. (2008). «Performance of a high-dimensional R/S method for Hurst exponent estimation». Physica A. 387 (26): 6452–6462. Bibcode:2008PhyA..387.6452A. doi:10.1016/j.physa.2008.08.014.
45. Coddington, J.; Elton, J.; Rockmore, D.; Wang, Y. (2008). «Multifractal Analysis and Authentication of Jackson Pollock Paintings». Proceedings of SPIE. 6810 (68100F): 1–12. Bibcode:2008SPIE.6810E..0FC. doi:10.1117/12.765015.
46. Al-Ayyoub, M.; Irfan, M. T.; Stork, D. G. (2009). «Boosting Multi-Feature Visual Texture Classifiers for the Authentification of Jackson Pollock's Drip Paintings». SPIE Proceedings on Computer Vision and Image Analysis of Art II. Computer Vision and Image Analysis of Art II. 7869 (78690H): 78690H. Bibcode:2011SPIE.7869E..0HA. doi:10.1117/12.873142.
47. Mureika, J. R.; Taylor, R. P. (2013). «The Abstract Expressionists and Les Automatistes: multi-fractal depth?». Signal Processing. 93 (3): 573. doi:10.1016/j.sigpro.2012.05.002.
48. Taylor, R. P.; և այլք: (2005). «Authenticating Pollock Paintings Using Fractal Geometry». Pattern Recognition Letters. 28 (6): 695–702. doi:10.1016/j.patrec.2006.08.012.
49. Jones-Smith, K.; և այլք: (2006). «Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings». Nature. 444 (7119): E9–10. Bibcode:2006Natur.444E...9J. doi:10.1038/nature05398. PMID 17136047.
50. Taylor, R. P.; և այլք: (2006). «Fractal Analysis: Revisiting Pollock's Paintings (Reply)». Nature. 444 (7119): E10–11. Bibcode:2006Natur.444E..10T. doi:10.1038/nature05399.
51. Taylor, R. P.; Spehar, B.; Van Donkelaar, P.; Hagerhall, C. M. (2011). «Perceptual and Physiological Responses to Jackson Pollock's Fractals». Frontiers in Human Neuroscience. 5: 1–13. doi:10.3389/fnhum.2011.00060. PMC 3124832. PMID 21734876.{{cite journal}}: CS1 սպաս․ չպիտակված ազատ DOI (link)
52. Вишневский В. М., Ляхов А. И., Портной С. Л., Шахнович И. В. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера. — 2005.- C. 498—569
53. Крупенин С. В. Фрактальные излучающие структуры и аналоговая модель фрактального импеданса. Дис. канд. физ.-мат. наук : 01.04.03, 01.04.04 / [Место защиты: Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. Физ. фак.].- Москва, 2009.- 157 с.
54. Бабичев Д. А. Разработка и исследование микрополосковой антенны на основе фрактального подхода. Дис. канд. техн. наук: - 05.12.07. [Место защиты: С.-Петерб. гос. электротехн. ун-т (ЛЭТИ)]. - Санкт-Петербург, 2016. - 104 с. Արխիվացված 2018-06-19 Wayback Machine
55. Фрактальное сжатие изображений на Computerworld Россия

Գրականություն

• А. А. Кириллов Повесть о двух фракталах. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2007.
• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Абачиев С. К. О треугольнике Паскаля, простых делителях и фрактальных структурах // В мире науки, 1989, № 9.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Цицин Ф. А. Фрактальная вселенная // «Дельфис» — № 11(3) — 1997.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Маврикиди Ф. И. Фракталы: постигая взаимосвязанный мир // «Дельфис» — № 23(3) — 2000.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории.
• Мандельброт Бенуа, Ричард Л. Хадсон (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах = The Misbehavior of Markets. — М.: «Вильямс», 2006. — 400 с. — ISBN 5-8459-0922-8
• Красивая жизнь комплексных чисел // Hard’n’Soft, № 9, 2002. Стр. 90.
• М. Г. Иванов, «Размер и размерность» // «Потенциал», август 2006.
• Маврикиди Ф. И. Фрактальная математика и природа перемен // «Дельфис» — № 54(2) — 2008.
• Липов А. Н. Фракталы. Памяти Бенуа Мандельброта // Философия и культура № 9 (33) 2010. № 8. С. 39-54.

Արտաքին հղումներ

• Системы Линденмайера (L-Системы). Онлайн инструмент для генерации геометрических фракталов.
• Фракталы в простых числах — Статья Сергея Герасимова на habrahabr
• Статья о фракталах. Приведены примеры расчёта и построения графической интерпретации некоторых алгебраических и геометрических фракталов. Имеются ссылки на онлайн генераторы и исходные коды на C#.
• Надежда Атаева, Фрактальные множества Արխիվացված 2011-06-16 Wayback Machine (Санкт-Петербургский государственный университет: ПМ-ПУ)
• Обаяние самоподобия. Лампочка Мандельброта и многое другое в галерее фракталов от Ленты. Ру // Лента. Ру, 27 фото.
• Фракталы — геометрия природы. Реализация фракталов в delphi и многое другое в Клубе программистов.
• «Фракталы. Поиски новых размерностей» (անգլ.՝ Fractals. Hunting The Hidden Dimension) — научно-популярный фильм, снятый в 2008 г.
• Фракталы на Элементы.ру
• J. J. O'Connor, E. F. Robertson (2009-02). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland History of Fractal Geometry http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/fractals.html%7Ctitle=A History of Fractal Geometry. {{cite web}}: Check |url= value (օգնություն); Missing or empty |title= (օգնություն)(չաշխատող հղում)

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Ֆրակտալ» հոդվածին։