From Wikipedia, the free encyclopedia
Ութանիստ (հունարեն՝ οκτάεδρον, հունարեն՝ οκτώ, «ութ» и греч. հունարեն՝ έδρα — «հիմք»), Պլատենյան հինգ հայտնի ուռուցիկ կանոնավոր բազմանիստերից մեկը[1]։
Ութանիստ | |
---|---|
Տեսակ | Կանոնավոր բազմանիստ |
Նիստ | եռանկյուն |
Նիստեր | |
Կողեր | |
Գագաթներ | |
Մի գագաթից ելնող նիստեր | |
Գագաթի անկյունը | ստեռ |
Կետային համաչափության խումբ | Օկտաեդրական (Oh) |
Երկակի բազմանիստ | Խորանարդ |
Ութանիստն ունի 8 եռանկյունաձև նիստեր, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագաթից ելնում են 4 նիստեր։
Եթե ութանիստի կողի երկարությունը а է, ապա լրիվ մակերևույթի մակերեսը (S) և օկտաեդրի ժավալը (V) հաշվվում են հետևյալ բանաձևերով՝
Ութանիստին արտագծված գնդի շառավիղը հավասար է՝
Ութանիստին ներգծված գնդի շառավիղը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
երկնիստ անկյուն։ , где .
Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 8 եռանկյուն նիստ, 12 կող, 6 գագաթ, յուրաքանչյուր գագթից դուրս է գալիս 4 նիստ։
Եթե օկտաէդրի կողի երկարությունը հավասար է а, ապա օկտաէդրին արտագծած գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է.
Օկտաէդրին ներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հաշվում են հետևյալ բանաձևով.
Երկնիստ անկյունը. , որտեղ :
Բոլոր կողերը շոշափող կիսաներգծյալ գնդային մակերևույթի շառավիղը հավասար է
Օկտաէդրն ունի չորս հատուկ օրթոգոնալ պրոյեկցիաներ՝ կենտրոնադրած կողով, գագաթով, նիստով և նիստի նորմալով։ Երկրորդ և երրորդ դեպքը համապատասխանում են Կոքսետերի B2 և A2 հարթություններին։
Օկտաէդրը կարելի է ներկայացնել որպես գնդային խճանկար և հարթության վրա պրոյեկտել տարածագրական պրոյեկցիայի օգնությամբ։ Այդ պրոյեկցիան կոնֆորմ է, պահպանում է անկյունները, բայց ոչ երկարություններն ու մակերեսը։ Գնդի վրայի հատվածները հարթության վրա արտապատկերվում են շրջանագծի աղեղների։
Եռանկյունա-կենտրոնադրած | |
Օրթոգոնալ պրոյեկցիա | Տարածագրական պրոյեկցիա |
---|
երկարությամբ կողով օկտաէդրը կոորդինատների սկզբնակետից կարող է տեղադրվել այնպես, որ նրա բարձրություններն ընկած լինեն կոորդինատային առանցքների վրա։ Այդ դեպքում գագաթների դեկարտյան կոորդինատները կլինեն.
x-y-z ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում օկտաէդրը դա (a, b, c) կետով կենտրոնով և r շառավղով բոլոր (x, y, z) կետերի բազմությունն է, այնպես, որ
a երկարությամբ կողով կանոնավոր օկտաէդրի լրիվ մակերևույթի մակերեսը հավասար է
Օկտաէդրի ծավալը (V) հաշվարկվում է
Այսպիսով, նույն երկարությամբ կողով օկտաէդրի ծավալը չորս անգամ մեծ է տետրաէդրի ծավալից, իսկ մակերևույթի մակերեսը մեծ է երկու անգամ (քանի որ մակերևույթը կազմված է 8 եռանկյուններից, իսկ տետրաէդրը՝ 4):
Եթե օկտաէդրը ձգենք, որպեսզի տեղի ունենա հետևյալ հավասարությունը.
մակերեսի և ծավալի բանաձևերը վերածվում են՝
Բացի այդ, ձգված օկտաէդրի իներցիայի մոմենտների տենզորը հավասար կլինի.
Այն բերվում է կանոնավոր օկտաէդրի հավասարման, երբ. :
Երկու երկակի տետրաէդրերի ներքին (ընդհանուր) փոխդասավորվածության մաս է կազմում օկտաէդրը, իսկ հենց այդ փոխդասավորությունը կոչվում է աստղաձև օկտաէդր (լատ. stella octangula): Փոխդասավորվածությունը հանդիսանում է օկտաէդրի աստղաձև միակ ձևը։ Հետևաբար, կանոնավոր օկտաէդրը հանդիսանում է կանոնավոր տետրաէդրից կողի կեսի երկայնքով չորս կանոնավոր տետրաէդրերով հատույթ։ Օկտաէդրի գագաթները ընկած են տետրաէդրի կողերի մեջտեղում և օկտաէդրը տետրաէդրի հետ կապված է նույն ձևով, ինչպես խորանարդաօկտաէդրը և իկոսոդոեկտաէդրը կապված են պլատոնյան մնացած մարմինների հետ։
Օկտաէդրը պլատոնյան մարմինների շրջանակում յուրահատուկ է նրանով, որ միայն նա յուրաքանչյուր գագաթին կից ունի զույգ թվով նիստեր։
Օկտաէդրը համարվում է 4-կապանի։ Դա նշանակում է, որ պետք է հեռացնել չորս գագաթները, որպեսզի մնացածները հեռացնեն։ Դա 4-կապանի 4 սիմպլիցիալ լավ ծածկույթով բազմանիստերից մեկն է, որը նշանակում է, որ գագաթների ամենաշատ անկախ բազմությունները ունեն նույն չափը։ Այդ հատկություններով մնացած երեք բազմանիստերն են հնգանկյուն երկբուրգը, սիամական դոդեկաէդրը և 12 գագաթներով և 20 եռանկյուն նիստերով անկանոն բազմանիստը[2]։
Գոյություն ունի համասեռ գունավորմամբ 5 օկտաէդրեր, անվանված են ըստ իրենց նիստերի գույների. 1212, 1112, 1111:
Օկտաէդրի համաչափության խումբ է հանդիսանում 48 կարգի Oh հիպերօկտաէդրալ եռաչափ խումբը։ Այդ խմբի ենթախմբերի կազմի մեջ է մտնում D3d (12 կարգի)՝ եռանկյուն անտիպրիզմայի համաչափության խումբը, D4h (16 կարգի)՝ քառակուսային երկբուրգի համաչափության խումբը և Td (24 կարգի)՝ ամբողջությամբ հատած տետրաէդրի համաչափության խումբ։ Այդ համաչափությունները կարելի է ընդգծել նիստերի տարատեսակ գունավորման ճանապարհով։
Անվանում | Օկտաէդր | Ամբողջությամբ
հատած տետրաէդր |
Եռանկյունային անտիպրիզմա | Քառակուսային երկբուրգ | Շեղանկյունային երկբուրգ |
---|---|---|---|---|---|
Պատկեր (Նիստերի գունավորում) |
(1111) |
(1212) |
(1112) |
(1111) |
(1111) |
Շլեֆլիի սիմվոլ | {3,4} | r{3,3} | s{2,6} sr{2,3} |
ft{2,4} { } + {4} |
ftr{2,2} { } + { } + { } |
Վիտխոֆֆի սիմվոլ | 4 | 3 2 | 2 | 4 3 | 2 | 6 2 | 2 3 2 |
||
Համաչափություն | Oh, [4,3], (*432) | Td, [3,3], (*332) | D3d, [2+,6], (2*3) D3, [2,3]+, (322) |
D4h, [2,4], (*422) | D2h, [2,2], (*222) |
Կարգ | 48 | 24 | 12 6 |
16 | 8 |
Գոյություն ունի օկտաէդրի 12 փռվածք[3]։
Օկտաէդրը երկակի է խորանարդին։
Համասեռ տետրահեմիհեկսաէդրը համարվում է կանոնավոր օկտաէդրի տետրաէդրալ համաչափության հետ հատույթ, որը պահպանում է կողերի և գագաթների դասավորությունը։ Հատույթն ունի չորս եռանկյուն նիստեր և 3 կենտրոնական քառակուսի։
Օկտաէդր |
Տետրահեմիհեկսաէդր |
Հաջորդ բազմանիստերը կոմբինատոր համարժեք են կանոնավոր օկտաէդրին։ Նրանք բոլորն ունեն վեց գագաթ, ութ եռանկյուն նիստեր և տասներկու կողեր, ինչը համապատասխանում է կանոնավոր օկտաէդրի պարամետրերին։
Ընդհանուր առմամբ, օկտաէդր կարող է անվանվել ութ նիստ ունեցող բազմանիստը։ Կանոնավոր օկտաէդրն ունի 6 գագաթ և 12 կող՝ մինիմալ թիվ օկտաէդրի համար։ Ոչ կանոնավոր ութանիստերը կարող են ունենալ մինչև 12 գագաթ և 18 կող[3][4]։
Գոյություն ունի 257 տոպոլոգիապես տարբեր ուռուցիկ ութանիստեր, հայելային արտապատկերումները բացառած[3]։ Մասնավորապես, գոյություն ունի 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 ութանիստեր համապատասխանաբար 6-ից մինչև 12 գագաթների թվով[5][6]։
Որոշ ոչ կանոնավոր ութանիստեր.
Կրկնվող տետրաէդրերից և օկտաէդրերից կազմված կմախքը 1950-ական թվականներին հայտնաբերել է Ֆուլլերը և այն հայտնի է որպես տարածական շրջանակ և համարվում է ամուր կառույց։
Կանոնավոր օկտաէդր կարելի է ստանալ իրար հաջորդող նիստերի վրա ավելացնելով չորս տետրաէդրեր։ Բոլոր ութ նիստերին տետրադրեր ավելացնելը ձևավորում է աստղաձև օկտաէդր։
Տետրաէդր | Աստղաձև օկտաէդր |
---|
Կանոնավոր օկտաէդրը կարելի է դիտարկել որպես ամբողջական հատած տետրաէդր և կարող է անվանվել տետրատետրաէդր։ Դա կարելի է ցույց տալ երկու գույնով ներկված մոդելով։ Այդ գունավորմամբ օկտաէդրն ունենում է տետրաէդրալ համաչափություն։
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.