Համաչափություն

Սիմետրիա (հին հունարեն՝ συμμετρία համաչափություն), որոշակի փոփոխության (ձևափոխության) նկատմամբ օբյեկտի անփոփոխ մնալու հատկությունը։ Լայն (բովանդակային) առումով սիմետրիա ասելով հասկանում են որոշակի կառուցվածք, համակարգի կազմակերպվածություն, նրա տարրերի կարգավորվածություն, մասերի ներդաշնակ միավորում ամբողջի մեջ^[1][2]։ Մաթեմատիկայում սիմետրիան ունի ավելի ճշգրիտ բնորոշում. այն նշանակում է, որ օբյեկտը դրսևորում է համաչափ հատկություններ տարբեր ձևափոխությունների, պտույտների կամ մասշտաբայնության ժամանակ։ Սիմետրիայի այսպիսի ըմբռնումը սերտորեն առնչվում է նմանության, կրկնության, ռիթմի, ներդաշնակության հասկացությունների հետ։ Չնայած սիմետրիայի այս երկու ընկալումները տարբերակվում են, սակայն նրանք կապված են իրար, այդ իսկ պատճառով այս հոդվածում դրանք կդիտարկվեն միասնաբար։

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Սիմետրիա (այլ կիրառումներ)

Սիմետրիկ և ասիմետրիկ պատկերներ

Օկտաէդալ պտտական սիմետրիա ներկայացնող սֆերիկ խումբ

Լեոնարդո դա Վինչիի Վիտրուվյան մարդը (1487 թվական), որը հաճախ կիրառվում է որպես մարդկային մարմնի սիմետրիայի պատկերում

Ֆրակտալանման ձև, որն օժտված է անդրադարձման սիմետրիայով, ինքնասիմետրիայով և պտտական սիմետրիայով:

Մաթեմատիկական համաչափություն կարող է դիտարկվել ժամանակի, տարածության հարաբերությամբ, երկրաչափական ձևափոխություններում, գործառական փոփոխությունների այլ տեսակներում, ինչպես նաև վերացական օբյեկտի տեսանկյունից, լեզվական, երաժշտական և նույնիսկ գիտելիքի տեսական հնարավոր մոդելներում^[3]։

Կախված հետազոտվող օբյեկտի բնույթից, սիմետրիայի հատկություններն ուսումնասիրվում են տարբեր գիտակարգերում, որոնցից յուրաքանչյուրում սիմետրիային տրվում է կոնկրետ բնորոշում։ Այս հոդվածում սիմետրիան նկարագրվում է երեք տեսանկյունից` մաթեմատիկական (ներառյալ երկրաչափականը), որը համաչափության առավել ծանոթ եղանակն է շատերի համար, գիտության ու բնության և արվեստի, որը ներառում է ճարտարապետությունը, երաժշտությունը։

Սիմետրիայի հակառակ երևույթը ասիմետրիան է։

Պատմություն

Սիմետրիայի մասին պատկերացումները սկիզբ են առնում դեռևս մարդկային մշակույթի ակունքներում, արդեն պալեոլիթի արվեստում առկա է սիմետրիա (բավականին կատարյալ երկրաչափական զարդապատկերները փոքր ձևերի արվեստում)։ Նեոլիթյան զարդապատկերներում օգտագործվել է հայելային անդրադարձում, տրանսլյացիա, նմանություն և այլն։ Սիմետրիային առանձնահատուկ ուշադրություն են դարձրել Հին Հունաստանում, ուր այն ստացել է գերազանցապես համաչափության, համամասնության, կարգավորվածության, գեղեցկության և կատարելության գեղագիտական իմաստ։ Պյութագորականները, պլատոնականները սիմետրիկ ձևեր են վերագրել բոլոր օբյեկտներին, գտնելով, որ դրանց հիմքում ընկած են կանոնավոր բազմանիստերը՝ քառանիստ բուրգը, խորանարդը, օկտաեդրը, իկոսաեդրը, որոնք կազմված են հավասարակողմ եռանկյուններից։ Սիմետրիայի գաղափարներն օգտագործվել են միջնադարի և Վերածննդի դարաշրջանի գիտության մեջ և արվեստում (Նիկոլայ Կուզանացի, Յոհան Կեպլեր, Նիկոլայ Կոպեռնիկոս, Ջորդանո Բրունո և ուրիշներ)։ XIX դարում սկսվեցին օրգանական աշխարհի, այդ թվում՝ բույսերի (Օ․ Պ․ Դեկանդոլ, Օ․ Բրավո), կենդանիների (է․ Հեկել), կենսածին մոլեկուլների (Ա․ Բեշան, Լուի Պաստյոր) սիմետրիկ հատկությունների հետազոտությունները։ Այդ և հետագա աշխատանքների շնորհիվ էր, որ մեկ դար անց` 1961 թվականին, սիմետրիայի տեսության մեջ ստեղծվեց հատուկ ուղղություն՝ կենսասիմետրիկան։

Սիմետրիան մաթեմատիկայում

Երկրաչափություն

Տրիսկելիոնն ունի եռակի պտույտի սիմետրիա

Երկրաչափական օբյեկտները համարվում են սիմետրիկ, եթե որոշակի ձևափոխությունից հետո համընկնում են իրենք իրենց հետ։ Այդպիսի ձևափոխություն կարող է լինել տարածական տեղափոխությունը որևէ կետի (կենտրոնային սիմետրիա), առանցքի (առանցքային սիմետրիա), հարթության (հայելային սիմետրիա) նկատմամբ։ Կետը, առանցքը, հարթությունն այդ դեպքում համապատասխանաբար կոչվում են սիմետրիայի կենտրոն, սիմետրիայի առանցք, սիմետրիայի հարթություն։ Տարբերում են նաև տրանսլյացիոն սիմետրիա, երբ որևէ ուղղի (տեղափոխության առանցքի) երկարությամբ կատարվում է պատկերի տեղափոխություն որոշակի հատվածով։ Եթե տվյալ պատկերն այնպիսին է, որ որևէ կետի նկատմամբ 360°/n (n-ը ամբողջ թիվ է, ≥2) անկյունով պտույտից հետո պատկերը համընկնում է ինքն իր հետ, ապա այդ պատկերն ունի n–րդ կարգի սիմետրիա (օրինակ, գունդն ունի սիմետրիայի անվերջ կարգ, որովհետև համընկնում է ինքն իր հետ՝ ցանկացած անկյունով պտտելիս)։ Սիմետրիայի կենտրոնը, առանցքը, հարթությունը և այլն, որոնց օգնությամբ իրականացվում են սիմետրիկ ձևափոխությունները (այսինքն դրանց միջոցով պատկերը համընկնում է ինքն իր հետ), կոչվում են սիմետրիայի տարրեր։ Հետևաբար սիմետրիկ է այն օբյեկտը, որն ունի սիմետրիայի գոնե մեկ տարր։

Սիմետրիայի տեսակը որոշվում է մասերի կազմավորմամբ կամ ձևափոխության բնույթով։

• Հայելային համաչափությունը այն տեսակն է, երբ պատկերով անցնող ուղիղը այն բաժանում է երկու մասերի, որոնցից ամեն մեկը մյուսի հայելային արտացոլումն է^[4] :
• Պտտման համաչափությունը այն տեսակն է, երբ օբյեկտը կարող է պտտվել ֆիքսված կետի շուրջ` առանց ընդհանուր ձևը փոխելու<sup>[5]</sup>։
• Տրանսլյացիոն համաչափությունը այն տեսակն է, երբ զուգահեռ տեղափոխություն կարելի է իրականացնել` առանց պատկերի ձևը խախտելու^[6]։
• Զսպանակաձև համաչափությունը այն տեսակն է, եթե պատկերը եռաչափ տարածության մեջ, իր առանցքի շուրջը պտտվելով, անփոփոխ է պահում իր ձևը^[7]։
• Օբյեկտն ունի մասշտաբային համաչափություն, եթե այն չի փոխում իր ձևը այն մեծացնելիս կամ փոքրացնելիս։ Ֆրակտալները նույնպես մասշտաբային համաչափություն են դրսևորում, որտեղ ֆրակտալի ոչ մեծ մասերը նման են մեծ մասերին^[8][9]։

Համաչափության մյուս տեսակները ներառում են հայելային արտացոլման և ռոտոռեֆլեկցիոն համաչափություն։

Տրամաբանություն

Հարաբերությունների R շառավիղը համաչափ է միայն այն ժամանակ, երբ ինչ ճիշտ է x-ի համար, ուրեմն ճիշտ է և y-ի համար^[10]։ Այսպես, տարիքը համաչափ է, քանի որ Պետրոսն ունի նույն տարիքը, ինչ Մերին, ուրեմն Մերին ունի նույն տարիքը, ինչ Պետրոսը։ Համաչափ տրամաբանական գործողություններն են կոնյունկցիա, դիզյունկցիա, մոդուլավորված ասույթները։

Մաթեմատիկայի այլ ոլորտներ

Ընդհանրացնելով երկրաչափական համաչափությունները` կարելի է ասել, որ մաթեմատիկական օբյեկտը համաչափ է մաթեմատիկական որոշակի գործողության նկատմամբ, եթե օբյեկտի նկատմամբ այն կիրառելիս օբյեկտը պահպանում է իր որոշակի հատկությունները^[11]։ Գործողությունների ամբողջությունը, որը պահպանում է տվյալ օբյեկտի հատկությունները, ձևավորում է խումբ։

Ընդհանուր առմամբ, մաթեմատիկայում ամեն կառուցվածք ունի իր սեփական համաչափությունը։ Դրա օրինակ են հաշվելի ու անհաշվելի ֆունկցիաները վերլուծական մաթեմատիկայում, համաչափ խմբերը աբստրակտ հանրահաշվում, համաչափ մատրիցաները գծային հանրահաշվում, Գալուայի խումբը Գալուայի թեորեմում։ Վիճակագրության մեջ այն ներկայացվում է որպես հավանականությունների համաչափ բաշխում և որպես կոեֆիցիենտ ասիմետրիա, ասիմետրիայի բաշխում^[12]։

Համաչափությունը գիտության և բնության մեջ

Հիմնական հոդված՝ Բնության օրինաչափություններ

Ֆիզիկա

Հիմնական հոդված՝ Սիմետրիա (ֆիզիկա)

20-րդ դարի ֆիզիկայում սիմետրիայի սկզբունքները երևան են եկել 1905-ին՝ պայմանավորված տարածություն-ժամանակի ինվարիանտության խմբի այնշթայնյան ըմբռնմամբ^[13]։ Այդ ժամանակից սկսած` սիմետրիան ֆիզիկոսների համար դարձել է բնության պարզությունը ամենատարբեր մակարդակներում արտահայտելու միջոց։ Սիմետրիկ կարող են լինել իրերը, գործընթացներն ու փոխազդեցությունները, երկրաչափական պատկերները, մաթեմատիկական հավասարումները, կենդանի օրգանիզմները, արվեստի ստեղծագործությունները և այլն։ Տեսական ֆիզիկայում ակնհայտ է դարձել, որ բնության գրեթե բոլոր օրենքները բխում են համաչափությունից։ Ֆիզիկայում համաչափությունը ներշնչանքի առարկա է հանդիսացել Նոբելյան մրցանակի դափնեկիր Ֆիլիպ Ուորեն Անդերսոնի համար, ով 1972 թվականին հրապարակել է մեծ լսարան ապահոված հոդված. այնտեղ ֆիզիկոսն այն տեսակետն է հայտնել, որ ամեն ինչ ստիպում է մտածել, որ «ֆիզիկան համաչափության ուսումնասիրություն է»^[14]։

Նյոթերի թեորեմը պնդում է, որ ֆիզիկական համակարգի յուրաքանչյուր անընդհատ սիմետրիայի համապատասխանում է որոշակի պահպանման օրենք, իսկ Վիգների դասակարգումը հաստատում է, որ ֆիզիկական օրենքների համաչափությունը բնորոշում է բնության մեջ մասնիկների շարժումը^[15][16]։

Սիմետրիկ ձևափոխությունների հիմքում ընկած է մաթեմատիկական (ֆիզիկական) օբյեկտի՝ ձևափոխությունների որոշակի խմբերի (ավտոմորֆիզմների խմբերի) նկատմամբ ինվարիանտության ընդհանուր գաղափարը։ Այն օրթոգոնալ ձևափոխությունները, որոնք որևէ պատկեր համատեղում են ինքն իր հետ, կազմում են խումբ և կոչվում տվյալ կառուցվածքի սիմետրիայի խումբ։ Սիմետրիայի այսպիսի ընդհանրական–մաթեմատիկական ըմբռնումը հնարավորություն է տալիս հայտնի և ակնառու ձևերից զատ հայտնաբերել սիմետրիայի ոչ բացահայտ ձևեր, որոնք կիրառվում են ֆիզիկայի տարբեր բնագավառներում, հատկապես տարրական մասնիկների ֆիզիկայում։

Սիմետրիայով օժտված են նաև տարածության ու ժամանակի հատկությունները՝ տարածության համասեռությունը (տարածության բոլոր կետերը հավասարազոր են) և իզոտրոպությունը (տարածության մեշ բոլոր ուղղությունները հավասարազոր են), ժամանակի համասեռությունը (ժամանակի բոլոր պահերը հավասարազոր են)։ Թվարկված հատկություններից յուրաքանչյուրին համապատասխանում են որոշակի ձևափոխություններ (տարածության համասեռությանը՝ տարածական տեղափոխությունը, իզոտրոպությանը՝ տարածական պտույտը, ժամանակի համասեռությանը՝ ժամանակի հաշվարկման սկզբի փոփոխությունը), որոնց նկատմամբ ֆիզիկայի օրենքները մնում են անփոփոխ (ինվարիանտ), այսինքն՝ ֆիզիկայի օրենքները ևս սիմետրիկ են։ Ֆիզիկայի օրենքները սիմետրիկ են նաև հաշվարկման իներցիալ համակարգերի կամ, այլ կերպ ասած, ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման նկատմամբ (տես հարաբերականության սկզբունք)։ Ֆիզիկայի օրենքներին բնորոշ է նաև հայելային սիմետրիան, որը նշանակում է կոորդինատների ձախ և աջ համակարգերի համազորություն։

Քվանտային մեխանիկայում բացահայտվեցին սիմետրիայի նոր տեսակներ, մասնավորապես, տարածական ինվերսիան (P), լիցքի համալուծությունը (C), Т-ինվերսիան և դրանց համակցությունը (CPT-U․, տես Լյուդերս-Պաուլիի թեորեմ)։

Գրաֆիտի բյուրեղացանցը

Արդի ֆիզիկայում մեծ տեղ է հատկացվում տրամաչափված սիմետրիային (դաշտի քվանտային տեսության շարժման հավասարումների սիմետրիաների ընդհանուր դասի անվանումը), որը հնարավորություն է տալիս միավորելու թույլ և էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունները։ Սիմետրիայի այս տեսակի ընդհանրացումը՝ գերտրամաչափված սիմետրիան կամ ուղղակի՝ գերսիմետրիան, հույս է ներշնչում այդ սխեմայում ներառնել նաև ուժեղ և գրավիտացիոն փոխազդեցությունները։

Ֆիզիկական համակարգում սիմետրիայի առկայությունը պայմանավորում է ֆիզիկական մեծության պահպանումը (Նյոթերի թեորեմ)։ Անընդհատ ձևափոխությունները դասական մեխանիկայում հանգեցնում են պահպանման օրենքների, իսկ ընդհատուն ձևափոխությունները, պահպանման հայտնի օրենքներից բացի, քվանտային մեխանիկայում հանգեցնում են պահպանման նոր օրենքների (օրինակ, CPT-U․), որոնք, սակայն, դասական նմանակը չունեն։

Ֆիզիկայում կարևոր համաչափությունները ներառում են անընդհատ համաչափություններ և տարածություն-ժամանակի դիսկրետային համաչափություններ, մասնիկների ներքին համաչափություն, ֆիզիկական տեսությունների գերհամաչափություն։

Բյուրեղագիտություն

Երկրաչափական սիմետրիայի հատկությունները կարևոր են բյուրեղների սիմետրիաների ուսումնասիրման համար։ Այս բնագավառում մեծ է Պիեռ Կյուրիի դերը, որն ընդհանրացրեց սիմետրիայի սկզբունքը և այն տարածեց ֆիզիկական երևույթների ընդարձակ դասի նկատմամբ՝ սիմետրիան կապելով պատճառական և կառուցվածքային խնդիրներին։

Կենսաբանություն

Շատ կենդանիներ հայելային համաչափություն ունեն, չնայած ներքին օրգանները հաճախ ասիմետրիկ են:

Ի տարբերություն բյուրեղների, օրգանական աշխարհում 2-րդ, 3-րդ, 4-րդ, 6-րդ կարգի սիմետրիայի հետ մեկտեղ տարածում է գտել 5-րդ կարգի սիմետրիան։ Հնգակի համաչափություն է հանդիպում փշամորթների կենդանական տիպում, օրինակ` ծովոզնիների, ջրաշուշանների, ծովային աստղերի մոտ<sup>[17]</sup>։ Ընդհանրապես, օրգանական աշխարհում բացահայտվել են սիմետրիայի նոր տարրեր, որոնք բացառվում են անօրգանական աշխարհում, չնայած տարբեր սահմանափակումների պատճառով հանդիպում են սիմետրիայի շատ ավելի պակաս տեսակներ, քան հնարավոր է տեսականորեն։ Կենսաբանության մեջ «համաչափություն» եզրն օգտագործվում է հիմնականում մարմինների ձևերի նկարագրության մեջ։ Օրգանական աշխարհում առավել տարածված է երկկողմանի (բիլատերալ) սիմետրիա, որը հատուկ է կենսաօբյեկտների (մարդու, անողնաշարավոր և ողնաշարավոր կենդանիների մարմնի) արտաքին ձևին։ Այսպիսի սիմետրիան հավանաբար պայմանավորված է այդ օրգանիզմների վերև-ներքև, ետ–առաջ շարժումների տարբերությամբ, այնինչ ձախ և աջ շարժումները չեն տարբերվում<sup>[18]</sup>։ Երկկողմանի սիմետրիկ է մարմինը` մկանային, ոսկրային համակարգով, չնայած ներքին օրգանները հաճախ լինում են ասիմետրիկ^[19]։

Բույսերը և նստակյաց կյանք վարող ծովային օրգանիզմները, օրինակ` ակտինիաները, հաճախ ունենում են ճառագայթային կամ պտույտային համաչափություն, ինչը հարմար է նրանց, քանի որ ինչպես սնունդը, այնպես էլ վտանգները կարող են հայտնվել ցանկացած կողմից։

Կենսաբանության մեջ, ինչպես և ֆիզիկայում, համաչափությունը դարձյալ կիրառվում է նկարագրելու համար ուսումնասիրվող օբյեկտներին ու նրանց փոխազդեցությունը։ Կենսաբանական էվոլյուցիայի ինքնատիպ առանձնահատկություն է համաչափությունների փոփոխությունը` պայմանավորված համապատասխանաբար նոր մասերի ու զարգացման ի հայտ գալու հետ^[20][21]։

Քիմիա

Համաչափությունը կարևոր է քիմիայում, քանի որ նրանից գործնականում կախված է մոլեկուլների փոխազդոցությունը բնության մեջ։ Մոլեկուլների սիմետրիայի հսկողությունը, որն առկա է ներկայիս քիմիական միացություններում, նպաստում է գիտնականների` կենսաբանական ակտիվ նյութերի նվազագույն կողմնակի ազդեցությամբ առաջարկություններին։ Սիմետրիայի խիստ ընկալումը բացատրում է քվանտային քիմիայի հիմնավոր օրինաչափությունները սպեկտրասկոպիայի և բյուրեղագիտության բնագավառներում։ Այս ոլորտներում սիմետրիայի տեսության կիրառումը զգալի կերպով հենվում է մաթեմատիկական ոլորտի տեսությունների խմբի վրա, մինչդեռ իշխանությունների հարաբերությունները հիմնված են ասիմետրիայի վրա^[22]։

Սիմետրիան բնության մեջ

Ձյան փաթիլը նույնպես օժտված է սիմետրիայով։

Բնության մեջ սիմետրիան ամենուր հանդես է գալիս միայն ասիմետրիայի հետ համատեղ։ Սիմետրիայի և ասիմետրիայի հարաբերակցությունը տարբեր է մատերիայի կառուցվածքային տարբեր մակարդակներում, այսպես, անօրգանական աշխարհում գերակշռում է սիմետրիան, իսկ մատերիայի կազմակերպման ավելի բարդ ձևերում (օրինակ, կենսամոլեկուլներում) գերակշռում է ասիմետրիան։ Իմացության պրոցեսում բացահայտվում են սիմետրիայի ավելի ընդհանուր տեսակներ, և արդի բնագիտությունն ավելի հաճախ է դիմում սիմետրիայի սկզբունքին՝ նոր օրինաչափություններ հայտնաբերելու նպատակով։

Սոցիալական փոխազդեցություններ

Սիմետրիայի էությունը, որը հաճախ ներառում է ասիմետրիկ հավասարակշռություն, դիտարկվում է նաև սոցիալական փոխհարաբերությունների տարբեր իրադրություններում։ Դրանցից են փոխադարձ գնահատումները, էմպաթիան, համակրանքը (սիմպատիա), բաժանումը, երկխոսությունը, հարգանքը, արդարությունը, վրեժը։ Բնազդային հավասարակշռությունը այն իրադրությունն է, որին կարելի է հասնել ընդհանուր սկզբունքների և կոնկրետ վճիռների միջև փոխադարձ խելամիտ որոշումների կայացումով։ Սիմետրիկ հարաբերությունները միտվում են բարոյական հղմանը` «մենք բոլորս հավասար ենք», մինչդեռ ասիմետրիկ փոխհարաբերություններն առաջնոդվում են «ես յուրահատուկ եմ, ես ձեզնից լավն եմ» մտքով^[23]։ Հավասար փոխհարաբերությունները, որոնք առաջնորդվում են, օրինակ, ոսկե կանոնով, հիմնված են սիմետրիայի վրա։ Սիմետրիկ հարաբերություններն ինչ-որ չափով կարող են պահպանվել խաղերի տեսության ռազմավարությամբ, որոնք դիտարկվում են սիմետրիկ խաղերում, ինչպիսին, օրինակ, Tit for tat խաղն է^[24]։

Արվեստ

Ճարտարապետություն

Սիմետրիան ճարտարապետության մեջ․ Անիի Հովվի եկեղեցու հատակագիծը։

Արվեստի բնագավառում սիմետրիան ըմբռնվում է որպես ամբողջի առանձին մասերի համապատասխանություն և համամասնություն, տարածության մեջ դրանց ներդաշնակ դասավորվածություն։ Այդպիսի սիմետրիան տարածում է գտել ճարտարապետության մեջ, դեկորատիվ–կիրառական արվեստում։ Ճարտարապետության մեջ սիմետրիան կարող է դրսևորվել արտաքին ընդհանուր տեսքից (գոթական տաճարներ, Սպիտակ տուն) մինչև շենքի առանձին հատվածների նախագծումը (օրինակ` խճանկարչություն)։ Իսլամական կառույցներում, օրինակ` Թաջ Մահալում կամ Շեյխ Լոթֆոլայի մզկիթում, սիմետրիան մանրակրկիտ կիրառվել է ինչպես ընդհանուր կառուցվածքում, այնպես էլ զարդապատկերներում^[25][26]։ Մավրիտանական շինությունները, օրինակ` Ալ-Համբրան, զարդարված են բարդ նախշերով, որոնք ունեն հայելային և տարածական, ինչպես նաև պտույտի սիմետրիա^[27]։ Սիմետրիան օգտագործվում է նաև որպես եզրազարդերի և զարդապատկերների կառուցման հիմնական միջոց։

Կա տեսակետ, որ միայն վատ ճարտարապետներն են հիմնվում կառույցների սիմետրիկ դասավորվածության վրա, մինչդեռ ժամանակակից ճարտարապետությունը դրա փոխարեն հիմնվում է «թևերի և զանգվածի հավասարակշռության վրա»^[28][28]։

Կավե և մետաղե անոթներ

Կավե անոթները, որոնք պատրաստվում են բրուտի անիվի վրա, ձեռք են բերում պտույտի սիմետրիա:

Բրուտի անիվի ամենավաղ կիրառումից ի վեր խեցեգործությունը սերտ առնչություն է ունեցել սիմետրիայի հետ։ Բրուտի անիվի միջոցով ստեղծված առարկաներն իրենց ուղիղ հատումով օժտված են պտույտի սիմետրիայով` դրանով հանդերձ թույլ տալով ձևի լիակատար ազատություն ուղղահայաց ուղղությամբ։ Այս անբաժան սիմետրիայի կետում բրուտները վաղնջական ժամանակներից ավելացրել են կաղապարներ, որոնք փոխում են պտույտի սիմետրիան` հասնելու համար տեսանելի կատարյալ սիմետրիկության։

Մետաղե անոթներին բնորոշ չի եղել բրուտի անիվին հատուկ սիմետրիան, սակայն այս դեպքում հնարավորություն է եղել անոթների մակերեսը պատել զանազան նախշերով։ Օրինակ` հին չինացիները դեռևս մ. թ. ա. 17-րդ դարից բրոնզե անոթներում կիրառել են համաչափ նախշեր։ Բրոնզե անոթները նախշազարդվել են ինչպես երկկողմ սիմետրիայով, այնպես էլ եզրերի կրկնվող, փոփոխվող դիզայնով^[29]։

Ծածկոցներ

Քանի որ մգդակած կտորները պատրաստվում են քառակուսի հատվածներից (սովորաբար 9, 16 կամ 25 մաս ամեն հատվածում) ամեն փոքր հատված, որ սովորաբար բաղկացած է լինում կտորե եռանկյուններից, հեշտությամբ տրվում է սիմետրիայի կիրառմանը։

Գորգագործություն

Պարսկական գորգ ուղղանկյուն սիմետրիայով

Բազմաթիվ մշակույթներում սիմետրիայի կիրառումը դրսևորվել է գորգագործության մեջ։ Ամերիկյան նավահո ցեղի հնդկացիները կիրառել են հոծ անկյունագծեր և ուղղագիծ մոտիվներ։ Արևելյան շատ ժողովուրդների մոտ կան խրթին կենտրոններ ու եզրազարդեր, որոնք խորհրդանշում են տարբեր գաղափարներ։ Զարմանալի չէ, որ ուղղանկյուն գորգերը սովորաբար ներկայացնում են ուղղանկյան սիմետրիա, այսինքն այնպիսի մոտիվներ, որոնք արտահայտված են ինչպես ուղղահայաց, այնպես էլ հորիզոնական առանցքով^[30][31]։

Երաժշտություն

Սիմետրիան չի սահմանափակվում տեսողական արվեստով։ Երաժշտության պատմությունը անդրադառնում է երաժշտության ստեղծման և ընկալման բազմաթիվ տեսանկյունների։

Երաժշտական ձև

Շատ կոմպոզիտորների ստեղծագործություններում, ինչպիսիք են օրինակ` Սթիվեն Ռայխը, Բելա Բարտոկը, Ջեյմս Թենեյը, սիմետրիան դրսևորվել է երաժշտական ձևի կրկնումով։ Դասական երաժշտության մեջ Բախը կիրառել է փոխարինման և կոնցեպտի սիմետրիա հասկացությունները^[32]։

Ձայնի բարձրություն

Մաժորային և մինորային եռահնչյունները սպիտակ ստեղների վրա սիմետրիկ են D ստեղնին

Սիմետրիան նաև կարևորվում է հնչյունաշարքերի և ակորդների ձևավորման մեջ։ Ավանդական կամ տոնային երաժշտությունը կազմված է ձայնի բարձրության ոչ սիմետրիկ խմբերից, ինչպիսիք են դիատոնիկ հնչյունաշարը և եռահնչյունները։ Սիմետրիկ հնչյունաշարերն ու ակորդները, օրինակ` մեծացված լադերը և եռահնչյունները, ինչպես ասում են, զուրկ են ուղղությունից կամ առաջ շարժումից։ Դրանք միանշանակ չեն բանալու կամ տոնային կենտրոնի հարաբերությամբ։ Սակայն կոմպոզիտորներ Ալբան Բերգը, Բելա Բարտոկը, Ջորջ Պերլը կիրառել են սիմետրիայի առանցքները կամ ինտերվալային փուլերը ստեղների կամ տոնային և ոչ տոնային կենտրոնների համաբանությամբ<sup>[33]</sup>։ Այսպես` "C–E, D–F♯, [և] Eb–G նույն ինտերվալի տարբեր դրսևորումներն են, նույնության տարբեր տեսակներ։ C–E-ն սիմետրիկություն է դրսևորում հետևյալ եղանակով.

D

D♯

E

F

F♯

G

G♯

D

C♯

C

B

A♯

A

G♯

Այսպիսով, բացի նրանից, որ C–E-ն 4-րդ ինտերվալի ընտանիքի մաս է հանդիսանում, այն նաև մաս է կազմում sum-4 ընտանիքի (C-ն համարժեք է 0-ին)։

+	2		3		4		5		6		7		8
	2		1		0		11		10		9		8
	4		4		4		4		4		4		4

Ինտերվալային փուլերը սիմետրիկ են և հետևաբար ոչ դիատոնիկ։ Դրանով հանդերձ, C5-ի քայլերի յոթ հատվածները հանգեցնում են դիատոնիկ ավելի խոշոր սանդղակի։ Ռոմանտիկ կոմպոզիտորների, օրինակ` Գուստավ Մալերի, Ռիխարդ Վագների փուլային տոնայնությունների առաջընթացը կապ է ձևավորում մոդեռն երաժիշտների (Բարտոկ, Ալեքսանդր Սկրյաբին, Էդգար Վարեզ) և Վիեննայի դպրոցի ներկայացուցիչների ոչ տոնային երաժշտության հետ։ Միևնույն ժամանակ այդ առաջընթացը ազդանշան է տոնայնության ավարտի։

Առաջին ծավալուն կոմպոզիցիան, որը հիմնված է եղել հիմնական տոնի սիմետրիկ հարաբերությունների վրա, հավանաբար եղել է Ալբան Բերգի Քառյակը Op. 3 (1910)^[34]:

Համարժեքություն

Երաժշտական շարքը (բաղկացած է տարբեր բարձրության 12 հնչյուններից) կամ հնչյունային բարձրությունների բազմությունը, որոնք ինվարիանտ են, հորիզոնական սիմետրիկ են հարմոնիկ հարաբերությունների փոփոխություններում։

Դեկորատիվ-կիրառական այլ արվեստներ

Կելտական հանգույց

Սիմետրիան դրսևորվում է բոլոր տեսակի օբյեկտների դիզայնում։ Դրա օրինակներ են ուլունքագործությունը, կահույքը, ավազային նկարները, գործվածքները, դիմակները, երաժշտական գործիքները։ Սիմետրիան առանցքային դեր ունի Մաուրից Կոռնելիս Էշերի արվեստում։ Սիմետրիան լայն տարածում ունի գեղարվեստական ու արհեստագործական ձևերում, օրինակ` պաստառներ, կերամիկական սալիկներ, բատիկ, իկատ, գորգագործություն, տեքստիլի ու գործվածքների նախշեր։

Էսթետիկա

Բարդ է սիմետրիայի կապը էսթետիկայի հետ։ Մարդիկ երկկողմ համաչափություն են գտնում ֆիզիկական գրավչություն ունեցող դեմքերում. այն դարձել է առողջության ու գենետիկ պիտանելության նշան։ Ի հակադրություն այս երևույթի` չափազանց սիմետրիկությունը միապաղաղության ու անհետաքրքրության տպավորություն է թողնում։ Մարդիկ նախընտրում են այնպիսի ձևեր, որոնք ունեն որոշակի սիմետրիա, սակայն բավական բարդ են անհետաքրքիր լինելու համար։

Գրականություն

Սիմետրիայի կարելի է հանդիպել գրականության տարբեր ձևերում։ Դրա պարզագույն օրինակը դյուրադարձուկն է (պալինդրոմ), որտեղ կարճ տեքստը նույնությամբ կարդացվում է տարբեր ուղղություններով։ Պատմվածքները կարող են ունենալ սիմետրիկ կառուցվածք ինչպես զարգացման, այնպես էլ լուծման ժամանակ, ինչպես օրինակ` «Բեովուլֆը»։

Ծանոթագրություններ

1. Zee, A. (2007). Fearful Symmetry. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13482-6.
2. Symmetry and the Beautiful Universe, Christopher T. Hill and Leon M. Lederman, Prometheus Books (2005)
3. Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 981-256-192-7.
4. Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
5. Singer, David A. (1998). Geometry: Plane and Fancy. Springer Science & Business Media.
6. Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.
7. Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)
8. Tian Yu Cao Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press p.154-155
9. Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
10. Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790
11. Christopher G. Morris (1992) Academic Press Dictionary of Science and Technology Gulf Professional Publishing
12. Petitjean, M. (2003). «Chirality and Symmetry Measures: A Transdisciplinary Review». Entropy. 5 (3): 271–312 (see section 2.9). Bibcode:2003Entrp...5..271P. doi:10.3390/e5030271.{{cite journal}}: CS1 սպաս․ չպիտակված ազատ DOI (link)
13. Costa, Giovanni; Fogli, Gianluigi (2012). Symmetries and Group Theory in Particle Physics: An Introduction to Space-Time and Internal Symmetries. Springer Science & Business Media. էջ 112.
14. Anderson, P.W. (1972). «More is Different» (PDF). Science. 177 (4047): 393–396. Bibcode:1972Sci...177..393A. doi:10.1126/science.177.4047.393. PMID 17796623.
15. Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6.
16. Wigner, E. P. (1939), «On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group», Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456
17. Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. էջեր 64–65.
18. Valentine, James W. «Bilateria». AccessScience. Արխիվացված է օրիգինալից 2008 թ․ հունվարի 18-ին. Վերցված է 2013 թ․ մայիսի 29-ին.
19. Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). «Animal Diversity (Third Edition)» (PDF). Chapter 8: Acoelomate Bilateral Animals. McGraw-Hill. էջ 139. Արխիվացված է օրիգինալից (PDF) 2016 թ․ մայիսի 17-ին. Վերցված է 2012 թ․ հոկտեմբերի 25-ին.
20. Longo, Giuseppe; Montévil, Maël (2016). Perspectives on Organisms: Biological time, Symmetries and Singularities (English). Springer. ISBN 978-3-662-51229-6.{{cite book}}: CS1 սպաս․ չճանաչված լեզու (link)
21. Montévil, Maël; Mossio, Matteo; Pocheville, Arnaud; Longo, Giuseppe (2016). «Theoretical principles for biology: Variation». Progress in Biophysics and Molecular Biology. From the Century of the Genome to the Century of the Organism: New Theoretical Approaches. 122 (1): 36–50. doi:10.1016/j.pbiomolbio.2016.08.005. PMID 27530930.
22. Lowe, John P; Peterson, Kirk (2005). Quantum Chemistry (Third ed.). Academic Press. ISBN 0-12-457551-X.
23. Emotional Competency: Symmetry
24. Lutus, P. (2008). «The Symmetry Principle». Վերցված է 2015 թ․ սեպտեմբերի 28-ին.
25. Williams: Symmetry in Architecture. Members.tripod.com (1998-12-31). Retrieved on 2013-04-16.
26. Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture. Math.nus.edu.sg. Retrieved on 2013-04-16.
27. Derry, Gregory N. (2002). What Science Is and How It Works. Princeton University Press. էջեր 269–. ISBN 978-1-4008-2311-6.
28. Dunlap, David W. (2009 թ․ հուլիսի 31). «Behind the Scenes: Edgar Martins Speaks». New York Times. Վերցված է 2014 թ․ նոյեմբերի 11-ին. «"My starting point for this construction was a simple statement which I once read (and which does not necessarily reflect my personal views): 'Only a bad architect relies on symmetry; instead of symmetrical layout of blocks, masses and structures, Modernist architecture relies on wings and balance of masses.'»
29. The Art of Chinese Bronzes Արխիվացված 2003-12-11 Wayback Machine. Chinavoc (2007-11-19). Retrieved on 2013-04-16.
30. Marla Mallett Textiles & Tribal Oriental Rugs. The Metropolitan Museum of Art, New York.
31. Dilucchio: Navajo Rugs Արխիվացված 2006-12-09 Wayback Machine. Navajocentral.org (2003-10-26). Retrieved on 2013-04-16.
32. see ("Fugue No. 21," pdf Արխիվացված 2006-09-07 Wayback Machine or Shockwave Արխիվացված 2007-01-08 Wayback Machine)
33. Perle, George (1992). «Symmetry, the twelve-tone scale, and tonality». Contemporary Music Review. 6 (2): 81–96. doi:10.1080/07494469200640151.
34. Perle, George (1990). The Listening Composer. University of California Press.

Տե'ս նաև

• Իզոտրոպություն
• Դյուրադարձուկ

Գրականություն

• Вейль Г․, Симметрия, пер․ с англ․, М․, 1968
• Вигнер Е․, Этюды о симметрии, пер․ с англ․, М․, 1971
• Шубников А․ В․, Копцик В․ А․, Симметрия в науке и искусстве, 2 изд․, М․, 1972
• Урманцев Ю․ А․, Симметрия природы и природа симметрии, М․, 1974
• Акопян И․ Д․, Симметрия и асимметрия в познании, Е․, 1980
• Узоры симметрии, пер․ с англ․, М․, 1980
• Эллиот Дж․, Добер П․, Симметрия в физике, т․ 1–2, пер․ с англ․, М․, 1983
• * The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry, Mario Livio, Souvenir Press 2006, 0-285-63743-6

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանի «Սիմետրիա» հոդվածից (հ․ 10, էջ 375 )։

Արտաքին հղումներ

• Սիմետրիայի էսթետիկա Արխիվացված 2017-09-25 Wayback Machine
• ISIS սիմետրիա Արխիվացված 2009-09-22 Wayback Machine

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Համաչափություն» հոդվածին։