geometriai fogalom From Wikipedia, the free encyclopedia
Az érintőnégyszög olyan konvex négyszög, amelynek oldalai egyazon kör érintői (más szóval van beírt köre). Az érintősokszög speciális esete.
Érintőnégyszög például a négyzet, a rombusz és a konvex deltoid. Ha egy érintőnégyszög egyben húrnégyszög is, akkor bicentrikus négyszögnek nevezzük.
Az érintőnégyszög-tétel (ld. lentebb) a definíciónál egyszerű kritériumot ad arra nézve, hogy egy négyszög mely esetben érintőnégyszög. Nevezetesen, egy négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha szemközti oldalainak összege egyenlő.
Az érintőnégyszög területe , ahol a, b, c és d az oldalak hossza, és r a beírt kör sugara. A bicentrikus négyszög területe: .
Egy érintőnégyszögben a szögfelezők a beírt kör középpontjában metszik egymást, és fordítva, ha egy négyszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, akkor az érintőnégyszög.
Bármely érintőnégyszögben a két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő: , ahol a félkerület.
A négyszöget a kör középpontjából háromszögekre bontva adódik, hogy . Ebből és a Bretschneider-formulából
ahol és az átlók hossza.
Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.[1]
A körhöz húzott érintő pontból húzott érintőszakaszok egyenlőek (érintő és szelőszakaszok tétele), vagyis és .
Indirekt bizonyítjuk:
Tegyük fel, hogy fennáll, de a négyszög nem érintőnégyszög. Legyen a leghosszabb oldal, ekkor és összetartó egyenesek. Ha van két egyenlő hosszúságú oldal ( és ), akkor nem helyezkedhetnek el egymással szemben a feltétel miatt, miszerint hosszabb a másik két oldalnál. Az oldal és a illetve oldal felé történő meghosszabbítása által meghatározott háromszög egyértelműen meghatároz egy kört. Tegyük fel, hogy nem érinti -t.
Ekkor két eset van:
1) metszi -t
vagy
2) -nek és -nak nincsen közös pontja
Mozgassuk el egyenesét párhuzamosan úgy, hogy érintse -t. Ekkor érintőnégyszög mindkét esetben.
1)-nél , de ekkor nem lenne igaz a feltevés, vagyis ellentmondáshoz jutottunk.
2)-nél ugyanígy ellentmondás, mivel .
Egy konvex négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha az átlói által meghatározott négy háromszög beírt köreinek sugaraira teljesül .[2]
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.