Az egyszerű sokszögeknél a következő tulajdonságok mind egyenértékűek a konvexitással:
- Minden belső szög kisebb vagy egyenlő 180 foknál.
- A sokszög minden belső pontján vagy határán lévő bármely két pont közötti egyenes szakasz minden pontja a sokszög belsejében vagy határán marad.
- A sokszöget bármely oldalegyenese által definiált két félsík valamelyike teljesen tartalmazza.
- A sokszög belső pontjai mind a tetszőleges oldal által meghatározott egyenes ugyanazon oldalán fekszenek.
- Bármely csúcs által meghatározott szögön belül fekszik az összes többi csúcs is.
- A sokszög megegyezik éleinek konvex burkával.
A konvex sokszögek további jellemzői közé tartoznak:
- Két konvex sokszög metszete is konvex sokszög.
- Egy konvex sokszög lineáris időben háromszögekre bontható legyezőszerű felosztással, tehát valamely csúcs összes átlójának behúzásával.
- Helly-tétel: tekintsünk legalább három konvex sokszögből álló gyűjteményt. Ekkor, ha közülük bármely három metszete nem üres, akkor a teljes gyűjtemény metszete sem üres.
- Krein–Milman-tétel: egy konvex sokszög megegyezik csúcsainak konvex burkával. Tehát csúcsainak halmaza teljesen meghatározza a sokszöget, kizárólag a csúcsokból teljesen előállítható a teljes konvex sokszög.
- Hipersík-szeparációs tétel: Bármely két, közös ponttal nem rendelkező konvex sokszög közé elválasztó egyenes húzható. Ha a sokszögek zártak és legalább az egyik kompakt, akkor két párhuzamos egyenes is húzható, közöttük réssel.
- Beírt háromszög tulajdonság: a konvex sokszög által tartalmazott háromszögek között létezik egy olyan, maximális területű háromszög, melynek csúcsai az eredeti sokszögnek is csúcsai.[2]
- Köré írt háromszög tulajdonság: minden A területű konvex sokszög köré rajzolható olyan háromszög, melynek területe legfeljebb 2A. Az egyenlőség kizárólag paralelogramma esetén lép föl.[3]
- Beírt/köré írt téglalap tulajdonság: a sík bármely C konvex alakzatába beírható egy olyan r téglalap, hogy az r homotétikus kópiája, R a C köré van írva, és a pozitív homotétikus arány legfeljebb 2 és
.[4]
- Egy konvex sokszög átlagos szélessége megegyezik kerületének és a pínek a hányadosával. Tehát szélessége éppen annyi, mint a vele megegyező kerületű kör átmérője.[5]
Minden körbe írt, önmagát nem metsző sokszög konvex. Azonban nem minden konvex sokszög körbe írható.
