From Wikipedia, the free encyclopedia
A matematikában, ezen belül az analízis területén, az antiderivált vagy primitív függvény, vagy más néven határozatlan integrál, az integrálszámítás nevű részterület egyik legfontosabb fogalma. Egy f függvény antideriváltja az az F függvény, melynek deriváltja egyenlő f függvénnyel, azaz F ′ = f. A primitív függvény, ha létezik, mint függvény, sosem egyértelmű (ezért a „határozatlan” integrál elnevezés); egyes szerzők az antideriváltat így függvények egy bizonyos halmazának tekintik.
Ezt a szócikket át kellene olvasni, ellenőrizni a szöveg helyesírását és nyelvhelyességét, a tulajdonnevek átírását. Esetleges további megjegyzések a vitalapon. |
Magyar nyelvterületen sokkal használatosabb a „primitív függvény” elnevezés („primitív” = eredeti, megelőző).[1][2]
Azt az eljárást (a konkrét számítási módszertől eltekintve), amikor kiszámítjuk egy függvény antideriváltját, határozatlan integrálásnak is hívják (ez néha csak közelítő módszerek alkalmazásával lehetséges).
A határozatlan integrálás (antiderivált) szorosan kapcsolódik a határozott integrálhoz a Newton–Leibniz-tételen keresztül (amelyet néha az integrálszámítás alaptételének is neveznek): Egy intervallumban egy függvény határozott integrálja egyenlő a primitív függvényeknek (antideriváltaknak) az intervallum végpontjain felvett értékeinek különbségével.
Az f(x) = x2. függvény antideriváltja a F(x) = x3/3 függvény.
x2 antideriváltjait úgy kaphatjuk, ha változtatjuk a C-t a F(x) = (x3/3) + C függvényben, ahol C tetszőleges konstans, más néven az integrálási konstans. Lényegében egy függvény antideriváltjainak görbéi egymás vertikális változatai; minden egyes görbe helyzete a C értékétől függ.
Fizikában, a gyorsulás integrálása adja a sebességet, plusz egy konstanst. A konstans a kezdeti érték, mely elveszik, ha deriváljuk a sebességet, mert egy konstans deriváltja zéró. Hasonló séma érvényes további integrálás esetén és a mozgás deriválásánál (helyzet, sebesség, gyorsulás, stb.)
Az antideriváltak fontosak, mert a határozott integrálok számításánál jól felhasználhatók, alkalmazva a Newton–Leibniz-tételt: ha F egy integrálható f függvény antideriváltja, akkor:
Ezért az adott f függvény végtelenül sok antideriváltját néha f "általános integráljának", vagy “végtelen integráljának" is hívják, és határok nélküli integrál jellel jelölik:
Ha F, az f egy intervallumon definiált függvény egy antideriváltja, akkor f bármely G antideriváltja F-től csupán egy konstansban különbözik. Így létezik egy C úgy, hogy: G(x) = F(x) + C. C az integrálás során indifferens, így az integrál Newton–Leibniz-formulával való kiszámításakor bármely primitív függvényt használhatjuk, vagyis C értéke tetszőleges lehet. Ha F tartománya kettő vagy több intervallum diszjunkt uniója, akkor különböző konstansok választhatók minden egyes intervallumra. Például:
A fenti függvények, antideriváltja a természetes tartományában.
Minden f folytonos függvénynek van antideriváltja; egy F antiderivált meghatározható f egy határozott integráljával, változtatható felső határral:
Az alsó határ változtatásával további antideriváltat kapunk (de nem szükségszerűen az összeset). Ez egy másik formája a Newton–Leibniz-tételnek. Számos antiderivált létezik, melyeket nem lehet kifejezni elemi függvényként (mint polinomok, exponenciális polinomok, logaritmusok, trigonometrikus függvények és ezek kombinációi). Például:
További részletes tárgyalás a differenciális Galois-elméletnél található.
Elemi függvények antideriváltjainak megtalálása nehezebb feladat, mint a deriváltjai megtalálása (kiszámítása). Néhány elemi függvény esetén lehetetlen megtalálni más elemi függvények segítségével az antideriváltjait. Néhány módszer rendelkezésre áll:
Nem folytonos függvényeknek is lehetnek antideriváltjaik. Miközben vannak még nyílt kérdések ezen a területen, azt tudjuk, hogy:
Tegyük fel, hogy a függvények tartományai nyílt intervallumok:
Ahhoz, hogy ezt lássuk, legyen f antideriváltja F, és tekintsük a folytonos g(x) = F(x) – dx függvényt egy zárt [a, b] intervallumban. Ekkor g-nek vagy maximumnak kell lennie, vagy minimum c a nyílt (a, b) intervallumban, és így 0 = g′(c) = f(c) – d.
Azonban, ha f nem korlátos, vagy f korlátos, de az f diszkontinuitásainak van pozitív Lebesgue mértéke, az minta pontok egy különböző választéka, szignifikánsan más értéket adhat a Riemann szummára, függetlenül attól, milyen finom a partíció.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.