Cauchy-féle ismétlődő integrálás lehetővé teszi egy függvény n antideriváltjának komprimálást egy integrálba. (vö. Cauchy-féle integráltétel)
Legyen ƒ egy folytonos függvény a valós síkon. Akkor az ƒ függvény n-ik ismétlődő integrálja a alapon:
- ,
egyszerű integrálással:
- .
A bizonyítás a teljes indukcióval:
Mivel ƒ folytonos, az integrálás alapjának figyelembe vételével
és így
- .
Most feltételezzük: ez igaz n-re; n+1-re bizonyítandó, alkalmazzuk a láncszabályt.
tekintsük a következő függvényt:
- ;
akkor :
és alkalmazva a “differenciálást integrálás jel alatt” módszert, kapjuk:
- .
így:
továbbá
- .
Ezért, ƒ függvény n-ik antideriváltja ƒ(-n), és ƒ(-k)(a)=0, az összes k-ra 1-től n-ig, megmutatva, hogy ƒ(-n)(x) egyenlő az eredeti ismételt integrállal.
A frakcionális számolásban, ez a formula használható a differintegrál fogalomhoz, lehetővé téve a differenciálást vagy az integrálást.
- Gerald B. Folland: Advanced Calculus. (hely nélkül): Prentice Hall. 2002. ISBN 0-13-065265-2