Injektív leképezés

A matematikában injekciónak, injektív leképezésnek, egy-egy értelmű leképezésnek vagy kölcsönösen egyértelmű leképezésnek nevezzük azokat a függvényeket, melyek az értelmezési tartomány különböző elemeihez az értékkészlet különböző elemeit rendelik. (Nem tévesztendő össze a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetéssel, mely a bijektív függvény.)

Egy injektív függvény

Egy másik injektív függvény, ami ráképezés is

Egy nem-injektív függvény

Definíció

Legyen ${\displaystyle A,B}$ tetszőleges halmazok és ${\displaystyle f:A\to B}$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy ${\displaystyle f}$ injekció, ha

• tetszőleges ${\displaystyle a,b\in A}$ és ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ esetén ${\displaystyle a=b}$.

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezett ${\displaystyle f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto 2a}$ függvény injekció.
• A természetes számok halmazán értelmezett ${\displaystyle f:\mathbf {N} \to \mathbf {N} ,a\mapsto a+1}$ függvény injekció.
• Az egész számok halmazán értelmezett ${\displaystyle f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto a+1}$ függvény injekció.
• Tetszőleges ${\displaystyle X}$ halmazra az ${\displaystyle id:X\to X,x\mapsto x}$ identikus megfeleltetés injektív leképezés.

(Az utolsó két példa, mivel nem csak injekció, hanem egyúttal szürjekció is, ezért bijekció. Az első két példa nem szürjekció.)

Ellenpéldák

• A valós számok halmazán értelmezett ${\displaystyle g:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,g(x)=x^{n}-x}$ függvény nem injekció, ugyanis , például, ${\displaystyle g(0)=g(1)}$.

Az injekció megfordítható

Egy másik definíció az injekcióra az, hogy olyan leképezés, melynek a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény, bár az így kapott új függvény értelmezési tartománya az eredeti függvény képhalmazának csak egy részhalmaza. (Csak akkor egyezik meg vele, ha a kérdéses függvény egyúttal szürjekció, és ezáltal így bijekció is).

Lásd még

• Szürjekció
• Bijekció
• Izomorfizmus
• Automorfizmus
• Permutáció

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik