Bijekció

A matematikában bijekciónak vagy bijektív leképezésnek nevezzük azokat a leképezéseket, amelyek egyidejűleg injektívek és szürjektívek. Más szavakkal azt is mondhatjuk, hogy a bijektív leképezések kölcsönösen egyértelmű ráképezések. Amennyiben emellett a leképezés értelmezési tartománya megegyezik azzal a halmazzal, amiből képez le (tehát a halmaz összes eleméhez rendel elemet), akkor bijekció olyan megfeleltetést létesít két halmaz között, aminél az egyik halmaz minden egyes elemének a másik halmaz pontosan egy eleme felel meg, és fordítva.

bijektív függvény

Definíció

Legyen ${\displaystyle A,B}$ tetszőleges halmazok és ${\displaystyle f:A\to B}$ képező leképezés. Akkor mondjuk, hogy ${\displaystyle f}$ bijekció, ha

• tetszőleges ${\displaystyle a,b\in A}$ és ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ esetén ${\displaystyle a=b}$, valamint
• minden ${\displaystyle b\in B}$-re létezik ${\displaystyle a\in A}$ úgy, hogy ${\displaystyle f(a)=b}$,

azaz ha injekció és szürjekció is egyszerre.

Példák

• Az egész számok halmazán értelmezett ${\displaystyle f:\mathbf {Z} \to \mathbf {Z} ,a\mapsto a+1}$ függvény bijekció.
• Tetszőleges ${\displaystyle X}$ halmazra az ${\displaystyle id:X\to X,x\mapsto x}$ identikus megfeleltetés bijektív leképezés.

Tulajdonságok

Injekcióból és szürjekcióból képezett bijekció.

• Ha az ${\displaystyle f}$ függvény bijektív, akkor a megfeleltetésként (relációként) vett inverze szintén függvény és egyúttal bijektív leképezés.
• Ha az ${\displaystyle f,g}$ leképezések bijektívek, akkor a kompozíciójuk is bijektív leképezés.
• Ha az ${\displaystyle g\circ f}$ függvénykompozíció bijektív leképezés, akkor a ${\displaystyle g}$ leképezés szürjekció és az ${\displaystyle f}$ leképezés injekció.
• Ha ${\displaystyle X,Y}$ véges halmazok és ${\displaystyle |X|=|Y|}$, továbbá ${\displaystyle f:X\to Y}$ leképezés, akkor a következő állítások ekvivalensek:
  • ${\displaystyle f}$ bijekció.
  • ${\displaystyle f}$ szürjekció.
  • ${\displaystyle f}$ injekció.

Kapcsolódó szócikkek

• Injekció
• Szürjekció
• Izomorfizmus
• Automorfizmus
• Permutáció

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)