Izomorfia

Az izomorfia két matematikai struktúrának az a tulajdonsága (kölcsönös viszonya^[1]), hogy elemeik a strukturális tulajdonságokat megőrizve egymásra kölcsönösen egyértelműen (bijektíven) leképezhetők. A struktúramegőrző és kölcsönösen egyértelmű (bijektív) leképezést, amely az izomorfia létét bizonyítja, nevezzük izomorfizmusnak.

Szemléletesen ez azt jelenti, hogy a két struktúra „tulajdonképpen” ugyanaz, csak az elemeik másképp vannak elnevezve, jelölve.

Az izomorfia a modern algebra alapvető fogalma. Két halmaz, amelyeken ugyanolyan algebrai struktúra (például csoport, gyűrű stb.) van értelmezve, izomorf, ha megadható a két halmaznak olyan egymásra való kölcsönösen egyértelmű leképezése, amely a struktúra műveleteivel összhangban van.

Etimológia

Az „izomorf” szó az ógörög ἴσος [iszosz], am. „egyenlő”, és a μορφή [morfé], am. „forma” vagy „alak” szavak összetétele.

Példák

• Ha adott az ${\displaystyle {\bigl (}\mathbb {N} ,+{\bigr )}}$ struktúra, vagyis a természetes számok halmaza az összeadással, továbbá a ${\displaystyle {\big (}2\mathbb {N} ,+{\big )}}$ struktúra, vagyis a páros természetes számok halmaza az összeadással, akkor az ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow 2\mathbb {N} ,f(x):=2x}$ algebrai leképezés egy izomorfizmus, és így a két struktúra algebrailag izomorf. A leképezés ugyanis 1) kölcsönösen egyértelmű, hiszen minden természetes számnak van kétszerese, mégpedig pontosan egy; továbbá 2) művelettartó, vagyis struktúramegőrző, mert ${\displaystyle f(n+m)=2(n+m)=2n+2m=f(n)+f(m).}$ Tehát az f függvény „megőrzi” a műveletet: ha az egyik struktúrában két elem összege valami, akkor ennek képe a másik struktúrában a két elem képének összege.
• Két csoport, ${\displaystyle G}$ és ${\displaystyle G'}$ izomorf, ha megadható ${\displaystyle G}$-nek olyan ${\displaystyle G'}$-re való kölcsönösen egyértelmű leképezése, hogyha ${\displaystyle G}$ a, b és c elemeinek ${\displaystyle G'}$-ben megfelelő elemeket a', b' és c' jelölik és ab = c, akkor a'b' = c'. Más szóval ${\displaystyle G}$ két eleme szorzatának „képe” ${\displaystyle G'}$-ben a két elem ${\displaystyle G'}$-beli „képének” szorzatával egyenlő. Ha a képhalmaz azonos az eredeti halmazzal, az izomorfizmust automorfizmusnak nevezzük.

Jegyzetek

1. Ha a matematikai struktúrákat egy előre rögzített alaphalmazból vesszük, ez a viszony matematikai szempontból relációnak tekinthető.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK

További információk

• Alice és Bob - 13. rész: Alice és Bob eladósodik
• Alice és Bob - 18. rész: Alice és Bob felcsavarja a számegyenest

Kapcsolódó oldalak

• Gráfizomorfizmus

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap