egy halmaz valamely elemeinek a halmaza From Wikipedia, the free encyclopedia
A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul.
Legyenek és tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy részhalmaza a halmaznak, és így jelöljük ,[1] ha az a halmaz összes elemét tartalmazza a halmaz, azaz .
Ha , de , azaz -nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme -nak, akkor azt mondjuk, hogy valódi részhalmaza-nek, és ezt így jelöljük: .[1]
A részhalmazok mai jelölését először Ernst Schröder használta 1890-ben „Algebra der Logik“ című művében.[2]
A patkó jelölést fordított irányban is szokták használni. A patkó a tartalmazó halmaz irányába nyitott. Mivel a halmazelméleti tartalmazás kapcsolódik a logikai implikációhoz, azért a patkót az implikáció jelölésére is használják. Néhány szerző a és jelek helyett a és jeleket használja, és nem vezet be külön jelölést a valódi részhalmazra;[3][4] sőt, nem is használja a valódi részhalmaz fogalmat.
A legtöbb szerző rendre a és jeleket használja a valódi részhalmaz és a valódi tartalmazó halmaz számára és helyett.[2] Ez hasonló a és jelekhez. Mivel ezeket akkor használják, ha ez a különbségtétel fontos, az és jelek ritkán kerülnek elő.
A jel változatai , és . Hogyha nem részhalmaza -nek, akkor használható is. Megfelelői és , és , illetve , és a nem tartalmazó halmazra.
A megfelelő Unicode szimbólumok: ⊂, ⊃, ⊆, ⊇, ⊄, ⊅, ⊈, ⊉, ⊊, ⊋.
Minden halmaz önmagának részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges halmazra teljesül, hogy .
Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza (de nem valódi részhalmaza), azaz tetszőleges halmazra teljesül, hogy .
Ha és , akkor .
Ha és , akkor .
pontosan akkor áll fenn, ha .
pontosan akkor áll fenn, ha .
pontosan akkor áll fenn, ha .
A karakterisztikus függvényre:
Két halmaz megegyezik, ha mindkettő része a másiknak:
Ezt gyakran használják két halmaz egyenlőségének belátására.
A komplementerképzés megfordítja a tartalmazást:
{1, 2} valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
{1, 2, 3} nem valódi részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
{1, 2, 3, 4} nem részhalmaza az {1, 2, 3} halmaznak.
{1, 2, 3} nem részhalmaza az {2, 3, 4} halmaznak.
{} nem valódi részhalmaza az {1, 2} halmaznak.
{1, 2, 3} valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
{1, 2} nem valódi tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
{1} nem tartalmazó halmaza az {1, 2} halmaznak.
A prímszámok halmaza valódi részhalmaza a természetes számok halmazának (a természetes számok számelmélete szerint).
= racionális számok halmaza ( alakú számok, ahol )
= irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel alakban)
= valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége ())
Ekkor: , továbbá .
A tartalmazási reláció reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív:
,
ahol is azt jelenti, hogy és .
Ezért a tartalmazási reláció részben rendezés.
Ha halmazok halmaza (halmazrendszer), akkor részben rendezett.
Ha halmazrendszer, és bármely elemére teljesül, hogy tartalmazza a rendszer egy elemét, vagy a rendszer egy eleme tartalmazza, akkor tartalmazási lánc. Ilyen például a balról nem korlátos nyílt valós intervallumok halmaza, .
Megkülönböztetünk felszálló és leszálló tartalmazási láncokat:
felszálló tartalmazási lánc
leszálló tartalmazási lánc
Egy halmazrendszer lamináris, ha bármely két elemére teljesül a kettő közül valamelyik:
Az egyik tartalmazza a másikat
A két halmaz diszjunkt.
Ezzel szemben a Sperner-rendszerekben nincs két olyan egymástól különböző halmaz, amelyek egyike tartalmazza a másikat. Például egy alaphalmaz összes adott elemszámú részhalmaza Sprener-rendszert alkot.
Véges halmazok összes részhalmaza véges, és méretükre teljesül, hogy:
Végtelen halmazt tartalmazó halmaz is végtelen. Végtelen halmaz esetén a méretre tejesül, hogy:
Végtelen halmazok esetén lehet a részhalmaz mérete ugyanakkora, mint a tartalmazó halmazé. Például a természetes számok és az egész számok halmaza is megszámlálható végtelen.
Cantor tétele szerint, ha halmaz, akkor hatványhalmazának számossága nagyobb, mint az halmaz számossága:
Egy véges, elemű halmaz hatványhalmazának eleme van.
Egy véges, elemű halmaz elemszámú részhalmazainak számát az binomiális együttható adja meg.
John L. Kelley. General Topology.Berlin / Heidelberg / New York:Springer-Verlag(1975)
Ez a szócikk részben vagy egészben a Teilmenge című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.