Funkcionálanalízis

A funkcionálanalízis a matematikai analízis olyan részterülete, amely elsősorban olyan vektortereket vizsgál, melyek el vannak látva egy határértékhez köthető struktúrával, mint például skaláris szorzattal, normával vagy topológiával. Történelmileg a funkcionálanalízis kiindulópontja a függvényterek és a rajtuk definiált transzformációk (mint például a Fourier-transzformáció) tulajdonságainak elemzése volt. Ebből kiindulva vetődtek fel olyan kérdések, hogy funkcionálok és függvényterek közötti operátorok számára hogyan lehet általánosítani olyan fogalmakat, mint a folytonosság vagy a derivált. A modern funkcionálanalízist bevezető irodalom általában a topológiával ellátott vektorterek, főleg végtelen dimenziós terek, vizsgálatával foglalkozó területnek írja le.^[1][2]

A funkcionál szó a variációszámításból ered, melynek jelentése olyan függvény, melynek a változója is egy függvény. Ez a koncepció először Vito Volterra olasz matematikus által lett bevezetve 1887-ben, de a funkcionál kifejezés elsőként Jacques Hadamard 1910-as könyvében jelent meg.^[3][4] A funkcionálanalízis területét ezt követően olyan matematikusok bővítették ki, mint Fréchet, Lévy, továbbá a Banach körül szerveződött Lwówi matematikai iskola tagjai. Ismert magyar és magyar származású kutatói közé tartozik Riesz Frigyes, Neumann János, Haar Alfréd és Szőkefalvi-Nagy Béla.

Az analízisben fellelhető fogalmak általánosítása mellett a funkcionálanalízis a lineáris algebra, a mértékelmélet és a valószínűségszámítás bizonyos eredményeit is próbálja kiterjeszteni, kifejezetten végtelen dimenziós terekre. A függvényterek közötti operátorok vizsgálata különös fontossággal bír például differenciálegyenletek megoldásakor.

Topologikus vektorterek

Általánosságban, a funkcionálanalízis a topologikus vektorterek leírásával foglalkozik. Az egyik leggyakrabban alkalmazott feltétel, hogy a vektortér lokálisan konvex legyen, mely definiálható félnormák családjával. A lokálisan konvex topologikus vektortereknek egy jelentős alosztálya a Fréchet-terek osztálya. A funkcionálanalízis topologikus vektortereket illető fontosabb eredményei közé tartozik a Hahn–Banach-tétel, a Baire-tétel és a Banach–Steinhaus-tétel.

Normált-terek

Bővebben: Normált tér

A lokálisan konvex topologikus vektorterek legfontosabb alosztálya, továbbá időrendben az első struktúra, melyet a funkcionálanalízis kezdett vizsgálni, az olyan normált vektorterek valós vagy komplex számtestek felett, melyek teljesek, tehát melyekben minden Cauchy-sorozat konvergens. Az ilyen tereket Banach tereknek hívjuk. A Banach-terek egy fontos alosztálya a Hilbert-terek osztálya, ahol a normát egy skaláris szorzat indukálja. A Hilbert-terek rendkívül fontosak a kvantummechanika matematikai leírásában, a gépi tanulásban, a parciális differenciálegyenletek és a Fourier-analízis területén.

Hilbert-terek

Bővebben: Hilbert-tér

Egy Hilbert-tér szerkezetét egyértelműen meghatározza a dimenziója: az ortonormált bázis minden számosságához tartozik egy olyan Hilbert tér, mely izomorfizmusig bezárólag egyedi.^[5] A véges dimenziós Hilbert-terek teljesen leírhatóak a lineáris algebra segítségével, míg például bármely végtelen dimenziós szeparálható Hilbert-tér izomorf az ${\displaystyle \ell ^{\,2}(\aleph _{0})}$ sorozattérrel.

A funkcionálanalízis egyik fő nyílt kérdése annak a feltételezésnek a bizonyítása, hogy bármely szeparálható Hilbert-téren definiált korlátos lineáris operátornak van-e nem-triviális invariáns altere. A probléma megoldására 2023–24-ben több bizonyítás is megjelent.^[6][7][8]

Általános Banach-terek

Bővebben: Banach-tér

Általánosságban a Banach-terek összetettebbek, mint a Hilbert terek, és nem lehet őket ilyen egyszerű módon osztályozni. Ennek fő oka, hogy a Banach-terek nem feltétlen rendelkeznek ortonormált bázissal.

A Banach-terek ismertebb példái az ${\displaystyle L^{p}}$-terek bármely ${\displaystyle p\geq 1}$ természetes számra. Adott ${\displaystyle X}$ halmazon egy ${\displaystyle \mu }$ mérték, akkor ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$ (vagy más jelöléssel ${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$ vagy ${\displaystyle L^{p}(X)}$) vektorai olyan ${\displaystyle f}$ mérhető függvények ekvivalenciaosztályai, melyekre teljesül

${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<\infty ,}$

tehát ${\displaystyle p}$-edik hatványuk Lebesgue-integrálható. Amennyiben ${\displaystyle \mu }$ egy számlálómérték, az integrál helyettesíthető összeggel, tehát

${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<\infty .}$

Ebben az esetben nem szükséges ekvivalenciaosztályokat vizsgálni, továbbá a teret ${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$-ként jelöljük.

A Banach-terek vizsgálatában egy rendkívül fontos eszköz a duális tér, mely azon folytonos lineáris leképezések tere, melyek értelmezési tartománya a Banach-tér, értékkészlete pedig a számtest, ami felett a Banach-teret definiáltuk. Ezeket a leképezéseket hívjuk funkcionálnak. Egy Banach-tér kanonikusan beágyazható a biduális terébe, tehát a duális terének duális terébe. Viszont ez nem zárja ki annak lehetőségét, hogy a biduális térben legyen olyan vektor, melynek az eredeti Banach-térben nincs megfelelője. Ez a lehetőség akkor zárható ki, ha a Banach-tér reflexív, tehát ha a beágyazás szürjektív.

Banach-tereken definiált függvényekre általánosítható a derivált fogalma, melyet Fréchet-deriváltnak hívunk.

Operátorok és Banach-algebrák

Egy kör alakú idealizált dobbőr rezgésének egy lehetséges módusa, melyet egy függvénytéren definiált lineáris operátor sajátvektorával le lehet írni.

A funkcionálanalízis hasonlóan fontos területe a topologikus vektortereken definiált folytonos lineáris operátorok vizsgálata. Míg a Banach-terek a véges dimenziós vektorterek általánosításaként szolgálnak, addig a rajtuk definiált folytonos lineáris operátorok a lineáris algebrában alkalmazott mátrixok fogalmát terjesztik ki. Egy mátrix diagonalizálása, tehát felbontása sajátvektorainak és sajátértékeinek segítségével a funkcionálanalízisben a spektrális tétel alkalmazásaként jelenik meg Hilbert-tereken definiált önadjungált operátorokon. Ez az általánosítás rendkívül fontos a kvantummechanika matematikai leírásában, ugyanis az operátorok megfigyelhető mennyiségeknek, a spektrális felbontásukban megjelenő sajátvektorok pedig a rendszer kvantumállapotainak felelnek meg.

Mivel az operátorok tere vektorteret alkot, a kompozíciójuk pedig szintén egy operátor, így az operátorok egy asszociatív algebrát alkotnak. Az operátorok tere teljes az operátornormára tekintve, így Banach-tér. Mivel az operátornormára és az operátorkompozícióra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, tehát bármely ${\displaystyle A}$ és ${\displaystyle B}$ operátorra teljesül ${\displaystyle \|A\circ B\|\leq \|A\|\cdot \|B\|}$, így az operátorok Banach-algebrát alkotnak. A Banach-algebrák egy fontos alosztálya a C*-algebrák osztálya, mely további struktúrával van ellátva.

A Haar-mérték szerint integrálható függvények terét egy ${\displaystyle G}$ lokálisan kompakt csoporton ${\displaystyle L^{1}(G)}$-vel jelöljük, amely a konvolúció műveletével együtt Banach-algebrát alkot. Ez az algebra az alapja a harmonikus analízis kiterjesztésének a lokálisan kompakt csoportok elméletére. Ebben a megközelítésben a Fourier-transzformáció a Banach-algebraelméletben vizsgált Gelfand-transzformáció speciális esete.

Legfontosabb eredményei

A funkcionálanalízissel foglalkozó szakirodalom általában három tételt nevez meg a terület alappilléreinek: a Banach–Steinhaus-tételt, a Banach-féle nyílt leképezés tételt és a Hahn–Banach-tételt.^[9][10] Bizonyos szerzők a zárt gráftételt is a fundamentális tételek közé sorolják.^[11]

Banach–Steinhaus-tétel

A Banach–Steinhaus-tétel, vagy másképp az egyenletes korlátosság tétele kimondja, hogy egy folytonos és lineáris (tehát korlátos) operátorcsalád számára, melynek értelmezési tartománya egy Banach-tér, a pontonkénti korlátosság ekvivalens az egyenletes korlátossággal az operátornormában. A tételt először Banach és Steinhaus publikálta 1927-ben, viszont tőlük függetlenül Hans Hahn is bizonyította. A tétel pontos megfogalmazása a következő:

Legyen ${\displaystyle X}$ egy Banach-tér és ${\displaystyle Y}$ egy normált tér, ${\displaystyle F}$ egy korlátos operátorcsalád ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ között. Ha minden ${\displaystyle x\in X}$-re teljesül

${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty }$,

akkor

${\displaystyle \sup _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty }$.

Hahn–Banach-tétel

A Hahn–Banach-tétel a funkcionálanalízis egyik fő eszközének tekinthető, ugyanis azokat a feltételeket sorolja fel, melyek teljesülésével egy vektortér valamilyen lineáris alterén értelmezett korlátos lineáris funkcionált lehetséges az egész vektortérre kiterjeszteni. A tétel a következő:

Legyen ${\displaystyle V}$ egy valós vektortér, ${\displaystyle U\subseteq V}$ pedig egy lineáris altér. Ha ${\displaystyle p:V\to \mathbb {R} }$ egy szublineáris függvény és ${\displaystyle \varphi :U\to R}$ egy lineáris funkcionál, melyre teljesül ${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)}$ minden ${\displaystyle x\in U}$-ra, akkor létezik egy olyan ${\displaystyle \Phi :V\to \mathbb {R} }$ lineáris funkcionál, mely ${\displaystyle \varphi }$ kiterjesztése ${\displaystyle V}$ egészére (tehát ${\displaystyle \Phi (x)=\varphi (x)\quad \forall x\in U}$) úgy, hogy közben minden ${\displaystyle x\in V}$-re teljesül ${\displaystyle \Phi (x)\leq p(x)}$.

A tétel fontos következménye, hogy bármely (akár végtelen-dimenziós) normált vektortéren létezik nem-triviális folytonos funkcionál, mely lehetővé teszi tetszőleges normált terek duális terének vizsgálatát.

Nyílt leképezés tétel

A nyílt leképezés tétel, vagy más néven a Banach–Schauder-tétel kimondja, hogy ha egy Banach-terek közötti folytonos lineáris operátor szürjektív, akkor egy nyílt leképezés. Nyílt leképezésnek olyan leképezést hívunk topologikus terek között, ha az értelmezési tartományának minden nyílt részhalmazának képe is nyílt.

A tétel pontos megfogalmazása a következő: ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ Banach-tér, ${\displaystyle T:X\to Y}$ pedig egy szürjektív folytonos lineáris operátor, akkor ${\displaystyle T}$ egy nyílt leképezés.

Amennyiben ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ tetszőleges normált terek, a tétel nem teljesül általánosságban, viszont Fréchet-terekre igen.

A tétel bizonyításának alapja a Baire-féle kategóriatétel, mely kimondja, hogy egy teljes (pszeudo)metrikus térben megszámlálhatóan sok sűrű nyílt halmaz metszete is sűrű.^[12]

Zárt gráf tétel

Egy ${\displaystyle f:X\to Y}$ függvény grafikonja (vagy gráfja) a ${\displaystyle {\mathcal {G}}(f)=\{(x,f(x))|x\in X\}}$ halmaz. Legyenek ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ metrikus terek. Az ${\displaystyle f:X\to Y}$ függvényt akkor nevezzük zárt leképezésnek, ha ${\displaystyle {\mathcal {G}}(f)}$ zárt részhalmaza ${\displaystyle X\times Y}$-nak. A zárt gráf tétel kimondja, hogy ha ${\displaystyle X}$ és ${\displaystyle Y}$ Banach-terek és ${\displaystyle f:X\to Y}$ egy zárt lineáris operátor, akkor ${\displaystyle f}$ folytonos.

A tételnek létezik egy topológiában gyakrabban alkalmazott verziója is: legyen ${\displaystyle X}$ egy topologikus tér, ${\displaystyle Y}$ pedig egy kompakt Hausdorff-tér. Az ${\displaystyle f:X\to Y}$ függvény akkor és csak akkor zárt, ha folytonos.^[13]

Alkalmazása parciális differenciálegyenletek megoldásában

A funkcionálanalízis fontos alapot ad bizonyos parciális differenciálegyenletek megoldásához. Ezek az egyenletek gyakran írhatóak a ${\displaystyle Du=f}$ formába, ahol ${\displaystyle u}$ a keresett függvény, ${\displaystyle f}$ egy ismert függvény egy ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ halmazon, ${\displaystyle D}$ pedig egy differenciáloperátor. Az egyenlethez tartoznak peremfeltételek is, mely leírja az ${\displaystyle u}$ függvényt a vizsgált értelmezési tartomány peremén, azaz a ${\displaystyle \partial \Omega }$ halmazon. A peremfeltétel fizikai értelemben megfelelhet mondjuk egy húr két kifeszített végének vagy egy dobbőr peremének, ahol a rezgések mértéke elhanyagolhatóan kicsi. Differenciáloperátor például a Laplace-operátor, amely megjelenik többek között a hullámegyenletben vagy a hővezetési egyenletben.

A differenciáloperátor tekinthető egy differenciálható függvények tere közötti operátornak, például a Laplace-operátor a kétszer folytonosan differenciálható függvények terén értelmezett, értékkészlete pedig az ${\displaystyle \Omega }$-n értelmezett folytonos függvények tere. Egy általánosabb differenciálhatóság-fogalomra áttérve (például disztribúciókat vagy a gyenge derivált fogalmát alkalmazva) a differenciáloperátort értelmezhetjük Szoboljev-terek közötti operátorként. Ilyen operátorok számára fontos esetekben léteznek tételek, melyek a hozzájuk tartozó parciális differenciálegyenletek megoldásainak létezését és egyediségét bizonyítja. A funkcionálanalízis módszereivel olyan kérdéseket is lehetséges vizsgálni, hogy a megoldás hogyan függ az egyenletben található ${\displaystyle f}$ függvénytől. Ilyen például a regularitás kérdése, mely azt vizsgálja, hogy ${\displaystyle f}$ simasági tulajdonságai milyen hatással vannak ${\displaystyle u}$ simasági tulajdonságaira. Az ilyen jellegű problémák is általánosíthatóak a disztribúciók terére. Például, ha ${\displaystyle f}$ a delta-disztribúcióval egyenlő, és az egyenlet megoldása (ezt fundamentális megoldásnak hívják) ismert, akkor konvolúció segítségével számos más ${\displaystyle f}$ függvényre is levezethető a megoldás.

Ha egy differenciálegyenlet megoldása nem adható meg zárt formában, akkor hasznos numerikus módszerekkel közelítő megoldásokat keresni, például a végeselemes módszer segítségével. A funkcionálanalízis bizonyos módszerei (például a Galjorkin-módszer) alapvető szerepet játszanak a közelítő megoldások konstrukciójában és a közelítés minőségének meghatározásában.

Kapcsolata a matematika alapjaihoz

A funkcionálanalízisben vizsgált legtöbb tér végtelen dimenziós. Ahhoz, hogy ilyen tereken definiáljunk egy bázist, gyakran szükséges a Zorn-lemma, mely segítségével lehetséges végtelen dimenziós vektortereket Hamel-bázissal ellátni. Alternatívaként szolgál a Schauder-bázis, amely a funkcionálanalízisben gyakrabban alkalmazott. A Hahn–Banach-tétel bizonyításához általában a kiválasztási axióma használatos, bár elegendő hozzá a gyengébb Boole-féle prímideál tétel. A Baire-féle kategóriatételhez, mely a funkcionálanalízis több tételének bizonyításához szükséges, szintén szükséges a kiválasztási axióma.

Jegyzetek

1. An introductory course in functional analysis. Springer Science & Business Media, 1. o. (2014)
2. Kadets, Vladimir. A Course in Functional Analysis and Measure Theory. Springer Publishing, xvi. o. (2018)
3. Lawvere, F. William: Volterra's functionals and covariant cohesion of space. acsu.buffalo.edu . Proceedings of the May 1997 Meeting in Perugia. [2003. április 7-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2018. június 12.)
4. History of Mathematical Sciences. WORLD SCIENTIFIC, 195. o.. DOI: 10.1142/5685 (2004. október 1.). ISBN 978-93-86279-16-3
5. Riesz, Frigyes. Functional analysis, Béla Szőkefalvi-Nagy, Leo F. Boron, Dover, New York: Dover Publications, 195–199. o. (1990. november 4.). ISBN 0-486-66289-6. OCLC 21228994
6. Enflo, Per H. (2023-05-26). "On the invariant subspace problem in Hilbert spaces". arXiv:2305.15442 [math.FA].
7. Neville, Charles W. (2023-07-21). "a proof of the invariant subspace conjecture for separable Hilbert spaces". arXiv:2307.08176 [math.FA].
8. Khalil, Roshdi; Yousef, Abdelrahman; Alshanti, Waseem Ghazi; Hammad, Ma’mon Abu (2024. szeptember 2.). „The Invariant Subspace Problem for Separable Hilbert Spaces” (angol nyelven). Axioms 13 (9), 598. o. DOI:10.3390/axioms13090598. ISSN 2075-1680.
9. Krantz, Steven G.. A Guide to Functional Analysis. American Mathematical Society (2013). ISBN 978-0883853573
10. MacCluer, Barbara. Elementary Functional Analysis, Graduate Texts in Mathematics. Springer New York (2009). ISBN 978-0-387-85529-5
11. Edwin, Hewitt; Karl R., Stromberg. Real and Abstract Analysis – A modern treatment of the theory of functions of a real variable. Springer Verlag Berlin (1965). ISBN 978-3-662-29794-0
12. Kelley, John L.. General Topology, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer Science & Business Media (1975). ISBN 978-0-387-90125-1
13. Munkres, James R.. Topology (angol nyelven). Prentice Hall, Incorporated, 171. o. (2000. november 4.). ISBN 978-0-13-181629-9

Források

• V. Hutson, J. S. Pym, Michael J. Cloud. Applications of functional analysis and operator theory, Mathematics in science and engineering (angol nyelven). Amsterdam ; Boston: Elsevier (2005)
• Tarcsay, Zsigmond. Funkcionálanalízis (2018). ISBN 978-963-489-091-1

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Functional analysis című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Funktinalanalysis című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Lásd még

• Functional analysis az Encyclopedia of Mathematics oldalon angol nyelven (2001)
• Funkcionálanalízis témájú előadássorozat a University of Colorado, Colorado Springs egyetemen, Greg Morrow előadásában

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap