Bázis (lineáris algebra)

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.

Hasonló cikkcímek és megnevezések: Bázis (egyértelműsítő lap)

Ugyanaz a vektor, több bázisban reprezentálva, lila és piros nyilakkal

A bázis elemei a bázisvektorok. Ha egy vektort egy bázis vektorainak lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor az együtthatók rendre a vektor koordinátái az adott bázisban. Függvényterekben a bázis elemeit bázisfüggvényeknek nevezzük. Egy vektortérben általában több bázis is van; a bázisváltást koordinátatranszformációnak is nevezzük. Ha más bázisokról is szó van, akkor ezt a bázist Hamel-bázisként említik. Nem tévesztendő össze egy koordináta-rendszer bázisával, ami egy másik fogalom.

Definíció

Vektorok egy B ⊆ V halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

Adva legyen a ${\displaystyle V}$ vektortér, és legyen ${\displaystyle B}$ egy részhalmaz ${\displaystyle V}$-ben! A következő definíciók egyenértékűek:

• ${\displaystyle V}$ minden eleme előáll ${\displaystyle B}$ elemeinek lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű
• ${\displaystyle B}$ minimális generátorrendszere ${\displaystyle V}$-nek; azaz ${\displaystyle V}$ minden eleme előáll ${\displaystyle B}$ elemeinek lineáris kombinációjaként, de ez ${\displaystyle B}$ egy részhalmazára sem teljesül
• ${\displaystyle B}$ maximális lineárisan független halmaz ${\displaystyle V}$-ben, azaz nincs ${\displaystyle V}$-ben olyan vektor, melyet hozzávéve ${\displaystyle B}$ független maradna.
• ${\displaystyle B}$ lineárisan független generátorrendszer ${\displaystyle V}$-ben.

Alkalmas ${\displaystyle I}$ indexhalmaz segítségével egy bázis írható úgy, mint ${\displaystyle B=\{b_{i}:\;i\in I\}}$; egy véges bázis úgy, mint ${\displaystyle B=\{b_{1},\dotsc ,b_{n}\}}$. Egy ${\displaystyle I}$ indexhalmaz bevezetésekor gyakran a család írásmódot használják; például ahelyett, hogy ${\displaystyle B=\{b_{i}:\;i\in I\}}$, azt írják, hogy ${\displaystyle b=(b_{i})_{i\in I}}$. Ha az ${\displaystyle I}$ indexhalmaz rendezett, akkor az a bázist is sorba rendezi. Ekkor ${\displaystyle b}$ rendezett bázis. Például ${\displaystyle b=(b_{1},\dotsc ,b_{n})=(b_{i})_{i\in \{1,\dotsc ,n\}}}$ véges bázis, ${\displaystyle b=(b_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ megszámlálhatóan végtelen bázis. Ez lehetővé teszi az irányok definiálását vektorterekben.

Habár a bázisokat többnyire halmazként írjuk fel, praktikusabb indexelést használni. Ekkor a koordinátavektorok alakja ${\displaystyle x=(x_{i})_{i\in I}}$; a koordinátatér ${\displaystyle K^{I}}$. Rendezett ${\displaystyle I}$ indexhalmaz esetén a bázis is rendezett. Például ha ${\displaystyle I=\{1,\dotsc ,n\}}$, akkor ${\displaystyle x=(x_{1},\dotsc ,x_{n})}$ (a koordináták számozása). A koordinátatér ${\displaystyle K^{n}}$; valós, illetve komplex esetben ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, illetve ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

A definíció kibontása véges dimenzióban

Legyen ${\displaystyle V}$ egy ${\displaystyle K}$ feletti vektortér (jelben: ${\displaystyle _{K}V}$), ${\displaystyle B=(v_{1},v_{2},...,v_{n})}$ a vektortér bázisa, ha

1.)   a ${\displaystyle B}$ generátorrendszere ${\displaystyle V}$- nek:

Bármely ${\displaystyle _{K}V}$ ${\displaystyle v}$ vektora esetén egyértelműen léteznek ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}K}$- beli skalárok úgy, hogy ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}=v}$

Ebben az esetben a ${\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}}$ skalárokat a vektor ${\displaystyle B}$ bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.) ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}}$ egymástól lineárisan független vektorok:

Ha ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}=0}$, akkor ${\displaystyle k_{1}=k_{2}=...=k_{n}=0}$.

A ${\displaystyle _{K}V}$ vektortér dimenzióját a ${\displaystyle B}$ bázis számossága adja meg:

${\displaystyle \dim _{K}V=|B|}$

Ennek következménye, hogy ha ${\displaystyle _{K}Vn}$ dimenziós vektortérnek ${\displaystyle B}$ és ${\displaystyle B'}$ vektorlisták egyaránt bázisai, akkor ${\displaystyle |B|=|B'|=n}$.^[1]

Az ekvivalens definíciók egyenértékűségének bizonyítása

• Ha minden vektor egyértelműen kifejezhető ${\displaystyle B}$ elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor ${\displaystyle B}$ generátorrendszer. Ha ${\displaystyle B}$ nem minimális generátorrendszer, akkor van egy ${\displaystyle B'}$ valódi részhalmaza, ami szintén generátorrendszer. Legyen most ${\displaystyle b^{*}\in B\setminus B'}$; ekkor ${\displaystyle b^{*}}$ kifejezhető ${\displaystyle B'}$ elemeinek lineáris kombinációjaként, tehát kétféleképpen is felírható ${\displaystyle B}$ elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond az egyértelműségnek. Ennélfogva ${\displaystyle B}$ minimális.
• A minimális generátorrendszerek lineárisan függetlenek. Ha ${\displaystyle B}$ nem lineárisan független, akkor van egy ${\displaystyle b^{*}\in B}$, ami kifejezhető ${\displaystyle B\setminus \{b^{*}\}}$ lineáris kombinációjaként. Ekkor ${\displaystyle B}$ vektorainak minden lineáris kombinációja behelyettesítéssel átírható ${\displaystyle B\setminus \{b^{*}\}}$ lineáris kombinációjára, így ${\displaystyle B}$ nem minimális.
• Egy lineárisan független generátorrendszernek maximális független halmaznak kell lennie. Ha nem maximális, akkor van egy ${\displaystyle b^{*}}$ vektor, ami lineárisan független ${\displaystyle B}$-től. De ${\displaystyle b^{*}}$ kifejezhető ${\displaystyle B}$ elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond a lineáris függetlenségnek.
• Minden maximálisan független rendszer generátorrendszer is: Legyen ${\displaystyle b^{*}}$ tetszőleges vektor! Ha ${\displaystyle b^{*}}$ eleme ${\displaystyle B}$-nek, akkor kifejezhető ${\displaystyle B}$ lineáris kombinációjaként. Ha ${\displaystyle b^{*}}$ nincs benne ${\displaystyle B}$-ben, akkor ${\displaystyle B\ \cup \{b^{*}\}}$ valódi tartalmazó halmaza ${\displaystyle B}$-nek, így lineárisan összefüggő. Ekkor vannak olyan együtthatók, hogy ${\displaystyle a_{1}b_{1}+\dotsb +a_{n}b_{n}=0}$. Itt nem lehet az összes ${\displaystyle b_{i}\in B}$, mivel ${\displaystyle B}$ lineárisan független; így az egyik megegyezik ${\displaystyle b^{*}}$-gal. Feltehetjük, hogy ez ${\displaystyle b_{1}}$, és együtthatója a nullától különböző ${\displaystyle a_{1}}$. Ekkor ${\displaystyle b^{*}=-{\tfrac {1}{a_{1}}}(a_{2}b_{2}+\dotsb +a_{n}b_{n})}$. Az ábrázolás egyértelműsége ${\displaystyle B}$ lineáris függetlenségéből következik.

A létezés bizonyítása

A Zorn-lemmával igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.

Legyen ${\displaystyle V}$b vektortér! Bázis, azaz maximálisan lineárisan független részhalmazt keresünk benne. Vesszük az

${\displaystyle P:=\{X\subseteq V:\;X{\text{ lineárisan független}}\}\,}$

halmazrendszert, ami részben rendezett a ${\displaystyle \subseteq }$ relációra. megmutatható, hogy:

• ${\displaystyle P}$ nem üres, hiszen benne van az üres halmaz. Ha ${\displaystyle V}$ nem üres, akkor az összes nullvektortól különböző vektora szerepel benne egyelemű halmazként.
• minden ${\displaystyle C\subseteq P}$ lánc ${\displaystyle \bigcup C=\bigcup _{X\in C}X=\{v:\exists X\in C:v\in X\}}$ is ${\displaystyle P}$-ben.

A Zorn-lemmából következik, hogy ${\displaystyle P}$-nek van maximális eleme. A maximális elemek azonban maximális lineárisan független részhalmazok ${\displaystyle V}$-ben, vagyis ${\displaystyle V}$ bázisai. Tehát ${\displaystyle V}$-nek van bázisa, és minden lineárisan független vektorból álló halmaz egy bázis része.

Egy ${\displaystyle q}$ elemű véges test fölötti ${\displaystyle d}$ dimenziós vektortérben

${\displaystyle {\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}\left(q^{d}-q^{k}\right)}$

különböző bázis van.

Kiegészítési tétel

Adva legyen vektorok lineárisan független ${\displaystyle T\subset V}$ részhalmaza, és a létezés bizonyítása szakasz jelölésével legyen

${\displaystyle P:=\{X\subseteq V:\;T\subset X,\,X{\text{ lineárisan független}}\}\,}$

és felhasználjuk azt az eredményt, hogy ${\displaystyle T}$-t tartalmazza ${\displaystyle P}$ egy maximális eleme, ami bázis ${\displaystyle V}$-ben. Így minden lineárisan független vektorhalmaz kiegészíthető bázissá.

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_n generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely f_i-hez található olyan g_j, hogy

${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\ldots ,\mathbf {f} _{i-1},\mathbf {g} _{j},\mathbf {f} _{i+1},\ldots ,\mathbf {f} _{n}}$

is lineárisan független rendszer.

Bizonyítás

Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f₁-re ez nem igaz, vagyis az f₂,…,f_n vektorokhoz akármelyik g_j-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f₂,…,f_n független rendszerből előállítható g₁,..., g_n generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f₂,…,f_n bázis. Így V minden eleme, speciálisan f₁ is előáll f₂,…,f_n lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f₁,…,f_n lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel

Legyen f₁,…,f_n lineárisan független rendszer és g₁,…,g_k generátorrendszer egy V vektortérben.

Ekkor n ≤ k.

Bizonyítás

Első lépésben f₁-et cseréljük ki valamelyik g_j-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f₂-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az f_i-k el nem fogynak.

Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.

Következmény

Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok

• Minden vektortérnek van bázisa.
• Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
• Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a szám, ami lehet végtelen kardinális szám is, a vektortér dimenziója.
  • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
  • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.^[2]
• Legyen ${\displaystyle _{K}V}$ , ${\displaystyle _{K}S}$ résztere ${\displaystyle _{K}V}$-nek. Legyen ${\displaystyle B'}$ a ${\displaystyle _{K}S}$ nek bázisa, ekkor a ${\displaystyle B'}$ bázist ki lehet egészíteni úgy ${\displaystyle V}$- beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen ${\displaystyle V}$-nek.^[1]
• Minden vektortér szabad objektum bázisa fölött. Ez a vektorterek univerzális tulajdonsága a kategóriaelmélet értelmében. Ez azt jelenti, hogy:

• Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatározza egy bázis elemeinek képei. Legyen ${\displaystyle V}$ vektortér a ${\displaystyle K}$ test fölött! Ekkor a ${\displaystyle \{b_{1},\dotsc ,b_{k}\}}$ részhalmaz egyértelműen definiál egy ${\displaystyle K^{k}\to V,\quad e_{i}\mapsto b_{i}}$ lineáris leképezést, ahol ${\displaystyle e_{i}}$ az ${\displaystyle i}$-edik standard bázisvektor. Ez a leképezés:
• pontosan akkor injektív, ha a ${\displaystyle b_{i}}$ vektorok lineárisan függetlenek
• szürjektív, ha ${\displaystyle b_{i}}$-k generátorrendszert alkotnak
• bijektív, ha a ${\displaystyle b_{i}}$ vektorok bázist alkotnak

Egy bázis tetszőleges leképezése a képtérben lineáris leképezést definiál.

Mindez a jellemzés átvihető modulusokra is.

Koordináták

Egy V vektortérben, egy rögzített b₁,…,b_n bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel

${\displaystyle \mathbf {v} =\alpha _{1}\mathbf {b} _{1}+\ldots +\alpha _{n}\mathbf {b} _{n}}$

alakban.
Ekkor az ${\displaystyle \alpha _{i}\ }$ skalárok a v vektor koordinátái, a b₁,…,b_n bázisra vonatkozólag. Egy vektortérben a vektorok koordinátái a vektortér alaptestének elemei. Ezek együtt alkotják a ${\displaystyle x=(x_{i})_{i\in B}}$ koordinátavektort, ami egy másik vektortér, a ${\displaystyle K^{B}}$ koordinátatér eleme. Lényeges, hogy melyik koordináta melyik vektorhoz tartozik. Ha a bázis nincs indexelve, akkor az egyes vektorokat indexben jelölni kell.

Báziscsere

Legyen ${\displaystyle _{K}V}$ vektortérben ${\displaystyle B=(v_{1},v_{2},...,v_{n})}$ és ${\displaystyle B'=(v'_{1},v'_{2},...,v'_{n})}$ bázis.

a.) Ha ${\displaystyle v}$ a ${\displaystyle V}$ egyik vektora, úgy, hogy ${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}}$, akkor a ${\displaystyle [v]_{B}=(k_{1},k_{2},...,k_{n})}$ a ${\displaystyle v}$ vektor felírása a ${\displaystyle B}$ bázisban

b.) Legyen ${\displaystyle t_{i}jK}$-beli elem minden ${\displaystyle i}$-re és ${\displaystyle j}$-re. Felírható a következő egyenletrendszer:

${\displaystyle v'_{1}=t_{11}v_{1}+t_{21}v_{2}+...+t_{n1}v_{n}}$

${\displaystyle v'_{2}=t_{12}v_{1}+t_{22}v_{2}+...+t_{n2}v_{n}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle v'_{n}=t_{1n}v_{1}+t_{2n}v_{2}+...+t_{nn}v_{n}}$

Ekkor a ${\displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}}$ vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a ${\displaystyle B'}$ bázisból ${\displaystyle B}$ bázisba való áttérési mátrix lesz.

${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}t_{11}&t_{12}&\cdots &t_{1n}\\t_{21}&t_{22}&\cdots &t_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n1}&t_{n2}&\cdots &t_{nn}\end{pmatrix}}}$^[1]

Példák

e₁ és e₂ a sík egy bázisa

• a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
• a standard bázis az ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ euklidészi síkban, vagyis az ${\displaystyle \{(1,0),(0,1)\}}$ vektorpár
• két, nem egyazon, vagy ellentétes irányba mutató vektor az euklidészi síkban
• hasonlóan ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas

${\displaystyle \mathbf {i} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\mathbf {j} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\mathbf {k} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ben ortonormált bázist alkot az

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\ldots ,\mathbf {e} _{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}$

vektorhalmaz, mely ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ standard bázisa.

• ${\displaystyle \mathrm {F} ^{n\times k}}$ -ban bázis

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{n\times k},{\begin{pmatrix}0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}_{n\times k},\ldots ,{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &1\end{pmatrix}}_{n\times k}}$

ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.

• az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az

${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\ldots \}}$

vektorok.

• a polinomok vektorterében vannak más bázisok, amelyek konkrét alkalmazásokban hasznosabbak, mint a monomok, például a Legendre-polinomok
• a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa: ${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{k}\}}$
• a ${\displaystyle \{0\}}$ nullvektortérben az üres halmaz
• a ${\displaystyle \mathbb {C} }$, mint ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fölötti vektortérben az ${\displaystyle \{1,i\}}$ halmaz
• a ${\displaystyle \mathbb {C} }$, mint ${\displaystyle \mathbb {R} }$ fölötti vektortérben egy olyan számpár, melyek hányadosa nem valós
• a valós számsorozatok körében az ${\displaystyle \{(1,0,0,0,\dotsc ),(0,1,0,0,\dotsc ),(0,0,1,0,\dotsc ),\dotsc \}}$ vektorok lineárisan függetlenek, de nem alkotnak bázist, mivel például ${\displaystyle (1,1,1,1,\dotsc )}$ nem fejezhető ki véges sok elem lineáris kombinációjaként

• ${\displaystyle \mathbb {R} }$, mint ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ fölötti vektortér esetén van bázis, amit nem lehet explicit megadn

Speciális vektorterekben

Valós és komplex vektorterek további topológiai struktúrával bírnak. A fent bevezetett bázisfogalomtól eltérő bázisok is definiálhatók bennük.

Bázis és duális bázis a háromdimenziós valós vektortérben

A klasszikus mechanikában a megfigyelési teret skalárszorzatos háromdimenziós valós vektortérrel, azaz a (V³, ·) vektortérrel modellezik. A skalárszorzat megléte a vektorteret további tulajdonságokkal ruházza fel.

Háromdimenziós valós vektortérben minde ${\displaystyle {\vec {b}}_{1,2,3}}$ bázishoz tartozik pontosan egy ${\displaystyle {\vec {b}}^{1,2,3}}$ duális bázis úgy, hogy ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j},}$ ahol δ a Kronecker-delta. A skalárszorzattal definiálható a vektorok normája és szöge, így előállíthatók ortonormált bázisok, melyek elemei páronként ortogonálisak, és normájuk egységnyi. Ortonormált bázisok esetén a duális bázis megegyezik a bázissal.

Minden ${\displaystyle {\vec {v}}}$ vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:

${\displaystyle {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {v}}\cdot {\vec {b}}^{i}){\vec {b}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}({\vec {v}}\cdot {\vec {b}}_{i}){\vec {b}}^{i}}$

A skalárszorzattal ellátott háromdimenziós valós vektortér teljes is, azaz Hilbert-tér.

Hamel- és Schauder-bázisok skalárszorzatos terekben

Valós és komplex skalárszorzatos vektorterekben, különösen a Hilbert-terekben az elemek előállíthatók más, bizonyos céloknak megfelelőbb módon. Ebben az előállításban ortonormált bázist használunk, de megengedünk végtelen összegeket is. A végtelen összeg megengedése miatt ez nem bázis a fenti értelemben, így egy másik nevet kap: ez a Schauder-bázis. A fent leírt bázist ekkor Hamel-bázisnak hívják.

Auerbach-bázis

Egy Auerbach-bázis egy normált vektortér sűrű alterének Hamel-bázisa; úgyhogy minden bázisvektor távolsága a többi vektor által generált altértől megegyezik a bázisvektor normájával.

A különböző bázisfogalmak elhatárolása

• A Hamel- és a Schauder-bázis is lineárisan független vektorokból áll.
• Egy Hamel-bázis, röviden bázis vektorok véges lineáris kombinációjával fejezi ki a tér vektorait.
• Véges dimenziós valós, illetve komplex skalárszorzatos vektorterekben egy ortonormált bázis egyszerre Hamel- és Schauder-bázis.
• Végtelen dimenziós, teljes valós vagy komplex skalárszorzatos vektortérben, speciálisan végtelen dimenziós Hilbert-térben a Hamel- és a Schauder-bázisok sosem esnek egybe. Végtelen dimenziós esetben egy Hamel-bázis nem mindig ortonormálható.
• Végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert-tér Hamel-bázisa nem megszámlálható; ezzel szemben egy Schauder-bázis megszámlálható. Nem létezik ${\displaystyle \aleph _{0}}$ Hamel-dimenziós Hilbert-tér.
• Hilbert-terekben bázison többnyire Schauder-bázist értenek; skalárszorzat nélküli vektorterekben mindig Hamel-bázist.

Általánosítás

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.^[3]

Források

1. Marcus, Andrei. Algebra [2005]
2. Csernák Tamás: Zorn-lemma és alkalmazásai. ELTE TTK. (Hozzáférés: 2021. március 9.)
3. Weisstein, Eric W.: Free Module (angol nyelven). Wolfram MathWorld

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschaft, Mannheim u. a. 1990, ISBN 978-3-411-14101-2.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Basis (Vektorraum) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap