Elektronmobilitás

Az elektronmobilitás a szilárdtestfizikában az a jellemző, amellyel az elektronok fémekben vagy félvezetőkben, elektromos mező hatására kialakuló mozgását írhatjuk le. Félvezetőkben ezzel analóg módon létezik elektronlyuk-mobilitás is, mely az elektronlyukak mozgását jellemzi. Az elektronmobilitást és a lyukmobilitást összefoglaló néven töltéshordozó-mobilitásnak is nevezik.

Az elektron- és elektronlyuk-mobilitás a közegben elektromos tér hatására elmozduló töltéseket leíró elektromos mobilitás speciális esetei.

Elektromos térben a közegbeli elektronok a tér irányának megfelelően elmozdulnak és átlagosan ${\displaystyle \,v_{d}}$ sebességre tesznek szert. Ezt nevezzük driftsebességnek. Ennek segítségével a μ elektronmobilitás megadható:

${\displaystyle \,v_{d}=\mu E}$.

Az elektronmobilitás SI egysége m²/(V·s), azonban a gyakorlatban gyakran cm²/(V·s) mértékegységgel adják meg.

A konduktivitás a mobilitás és a töltéshordozó-koncentráció szorzatával arányos. Két anyag konduktivitása például megegyezhet, ha az egyikben kevés, de nagyobb mobilitású elektron található, míg a másikban sok elektron található, melyek mobilitása kisebb. Fémek esetében a két eset közti különbség nem számottevő, hiszen a vezetési tulajdonságokat a konduktivitás, mint anyagjellemző jól leírja. Így a fémek esetében a mobilitás kevéssé lényeges jellemző. Más a helyzet a félvezetők esetében, melyekből készült eszközök (például tranzisztorok) jellemzői nagyban függnek attól, hogy bennük milyen a töltéshordozók mobilitása illetve koncentrációja. A félvezető eszközök gyártásakor a jobb jellemzők eléréséhez általában a nagyobb mobilitás elérése a cél.

A félvezetőkben érvényes töltéshordozó-mobilitás sok tényezőtől függ, többek között a szennyezők (beleértve ebbe a donor és akceptor szennyezőket is), a hibahelyek koncentrációjától, a hőmérséklettől illetve az elektron- és elektronlyuk-koncentrációtól. Az elektromos térerősségtől is függhet, például a tranzisztorok telítési tartományban. A mobilitás kísérleti meghatározásához az elvi hátteret például a Hall-effektus adhatja.

Bevezető

Driftsebesség elektromos térben

Bővebben: Driftsebesség

Külső elektromos tér hiányában a szilárd anyag elektronjai (félvezetők esetén elektronjai és elektronlyukai) véletlenszerű mozgást végeznek. Így az összes töltéshordozó átlagos elmozdulása az időben nulla.

Ellenben külső tér alkalmazása esetén a töltéshordozók a töltésüknek megfelelően gyorsulni fognak. Vákuumban ez a sebesség elvben állandóan nőne, ezt nevezzük ballisztikus transzportnak. Szilárdtest belsejében azonban a töltéshordozók folyamatos szóródások során leadják mozgási energiájukat, melynek következtében beáll egy egyensúly, a töltéshordozók pedig átlagosan egy állandó, ún. driftsebességgel haladnak. A driftsebesség lehet jóval kisebb is, mint az egyes töltéshordozók sebessége.

Félvezetőkben célszerű az elektronok és elektronlyukak tárgyalásának szétválasztása, mivel ezek driftsebessége azonos elektromos tér esetén különbözhet.

Kváziballisztikus transzport esetén - amikor a szilárdtest töltéshordozói az átlagos szabad úthosszal összemérhető úton gyorsulnak, - a driftsebesség és a mobilitás nem megfelelő anyagjellemzők.

Definíció

Az elektronmobilitást az alábbi egyenlettel adjuk meg:

${\displaystyle \,v_{d}=\mu E}$,

ahol:

E az elektromos térerősség,

v_d a driftsebesség, azaz a töltéshordozók elektromos tér hatására létrejövő átlagos sebessége,

µ az elektronmobilitás.

Az elektronlyukak mobilitása a fentiekkel analóg módon történik. Mind az elektron-, mind az elektronlyuk-mobilitás a definícióból adódóan pozitív mennyiség.

Az elektron driftsebesség általában egyenesen arányos az alkalmazott elektromos térerősséggel, így a mobilitás értéke a térerősségtől független állandó. Ha ez nem teljesül (például nagy elektromos terek esetén), akkor a mobilitás függ a térerősség nagyságától.

A mobilitás SI-mértékegysége m²/(V·s), ami a sebesség m/s és az elektromos tér V/m egységeiből a fenti egyenlet segítségével származtatható. A gyakorlatban gyakran adják meg a mobilitást a praktikusabb cm²/(V·s) = 10⁻⁴ m²/(V·s) egységben.

A mobilitás jellemzően nagyban függ az anyag szennyeződéseitől és a hőmérséklettől és tapasztalati úton adható meg. Félvezetőkben az elektronok és elektronlyukak mobilitása általában különbözik.

A mobilitás kapcsolata a konduktivitással

A mobilitás egyszerűen kifejezhető a konduktivitással, ha felhasználjuk a töltéssűrűséget. Legyen n az elektronok térfogati számsűrűsége (azaz az elektronok egységnyi térfogatra eső darabszáma) és μ_e az elektronok mobilitása. Egy E erősségű elektromos térben az elektronok sebességvektora így ${\displaystyle -\mu _{e}\mathbf {E} }$, mellyel az összes elektron áramsűrűsége ${\displaystyle ne\mu _{e}\mathbf {E} }$ (ahol e az elemi töltés). Így a σ elektromos konduktivitásra fennáll, hogy:^[1]

${\displaystyle \sigma =ne\mu _{e}}$.

A fenti összefüggés akkor érvényes, ha a konduktivitás megadásakor csak az elektronokat vesszük figyelembe, például n típusú félvezetők esetében, ahol a vezetést jellemzően az elektronok mozgása alakítja ki. P típusú félvezetőkben, ahol a konduktivitás az elektronlyukak mozgásából következik, a fentihez hasonló összefüggés áll fenn. Ha p az elektronlyukak térfogati számsűrűsége és μ_h a lyukmobilitás, akkor

${\displaystyle \sigma =pe\mu _{h}}$.

Ha egy félvezetőben az elektronokat és a lyukakat egyaránt figyelembe vesszük, a konduktivitás az alábbi összefüggéssel adható meg:^[1]

Példák

Szobahőmérsékleten (300 K) a szilícium tipikus elektronmobilitása 1400 cm²/ (V·s), az elektronlyuk-mobilitása pedig 450 cm²/ (V·s).^[2]

Bizonyos alacsony dimenziós rendszerekben igen nagy mobilitás is létrejöhet. Például kétdimenziós elektrongázok (2DEG-ek) mobilitása alacsony hőmérsékleten lehet 35 000 000 cm²/(V·s),^[3] szén nanocsövek esetén szobahőmérsékleten is lehetséges 100 000 cm²/(V·s),^[4] grafénben alacsony hőmérsékleten létrejöhet 200 000 cm²/ V·s,^[5] míg a szerves félvezetők mobilitása ennél tipikusan jóval kisebb, 10 cm²/(V·s) alatti.^[6]

Függés a térerősségtől és a sebességtelítési tartomány

Kis térerősségek esetén a v_d driftsebesség arányos az E elektromos térerősséggel, így a μ mobilitás állandó.

Nagyobb térerősségek esetén viszont a töltéshordozók sebessége egyre kevésbé nő a térerősség növelésének hatására és egy maximális határértékhez tart, telítésbe megy. A driftsebesség határértékét telítési driftsebességnek nevezzük. A telítési sebesség szilíciumban (mind elektronokra, mind lyukakra) tipikusan 1×10⁷ cm/s, germánium esetén pedig jellemzően 6×10⁶ cm/s körüli. A telítési sebesség olyan anyagjellemző, ami erősen függ a dópolástól, a szennyezésektől és a hőmérséklettől. A gyakorlatban gyakran alkalmazzák félvezető eszközök jellemzésére, ugyanis például tranzisztorok esetében ettől függ, hogy az eszköz milyen frekvencián üzemeltethető illetve milyen a válaszideje.

A telítődési jelenség a töltéshordozók optikai fononokon való szóródásával magyarázható. Ha az elektromos tér elég nagy, a töltéshordozók két ütközésük között elégséges mozgási energiához juthatnak ahhoz, hogy optikai fonon kibocsátása közben energiájuk egy részét leadják. A fononkibocsátás előtt az elektron sebességére az alábbi összefüggés áll fenn:

${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{ki}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{fonon(opt.)}}$,

ahol ω_fonon(opt.) az optikai fonon frekvenciája és m* a töltéshordozónak az elektromos tér irányában értelmezett effektív tömege. Az E_{fonon (opt.)} értéke Si-ban 0,063 eV, GaAs-ben és Ge-ban 0,034 eV. Ha az elektron ütközés utáni kezdősebességét nullának, ütközés előtti végsebességét pedig v_emit-nek tekintjük, akkor egy igen egyszerűsített képben megbecsülhető, hogy a telítési sebesség nagyjából v_emit felének felel meg.^[7]

A sebesség telítődésén kívül a nagy térerősségek más hatásokat is hozhatnak. Például a Gunn-effektus létrejöttekor, ha a vezetési elektronok számára több energiasáv is rendelkezésre áll és a térerősség elég nagy ahhoz, hogy az elektronok a sávok között ennek hatására átlépjenek, a driftsebesség akár csökkenthet is a térerősség növelésével. Ezt az anomális viselkedést nevezzük negatív differenciális ellenállásnak, mely a Gunn-dióda működési elvét is adja.

Mivel nagy elektromos terek esetén (például sebességtelítés létrejöttekor) a mobilitás erősen függ a térerősségtől, ilyen esetekben a folyamatok leírására a driftsebesség célszerűbb, mint a mobilitás.

A mobilitás kapcsolata a szóródási folyamatokkal

A mobilitás a definíciójából adódóan függ a driftsebességtől. A driftsebességet (az effektív tömegen kívül) a szóródási folyamatok befolyásolják, vagyis az, hogy a töltéshordozó mekkora utat jár be két ütközés között (azaz mekkora a szabad úthossza, amin ballisztikusan gyorsul a tér hatására). Az ütközések során a töltéshordozók irányt változtathatnak és energiájuk jellemzően csökken. A driftsebességre, és ennek folyományaként a mobilitásra tehát hatással vannak a szóródási folyamatok. Félvezetőkben a legjellemzőbb szóródást befolyásoló tényezők az ionizált szennyezők és az akusztikus fononok (azaz a rácson való szóródás), továbbá jelen lehet még más szóródást okozó jelenség is mint a semleges szennyezők, az optikai fononok illetve a felületi állapotokon és hibahelyeken való szóródás.^[8]

Szóródás ionizált szennyezőkön

A dópolt félvezetőben levő donor és akceptor szennyezők jellemzően ionizált állapotban vannak, így töltésük nem nulla. A szennyező atom és a szintén töltött elektronok vagy elektronlyukak között így Coulomb kölcsönhatás léphet fel, a töltéshordozók eltérülnek. Az eltérülés mértéke attól függ, hogy a szennyező atomhoz a töltéshordozó milyen sebességgel közeledik és milyen közel halad el mellette. A nagyobb rendszámú szennyezőkkel az ütközés esélye nagyobb, így ezek jobban csökkentik a két ütközés között eltelt időt, az átlagos szabad úthosszat és így a mobilitást. A szabad térben történő Coulomb-szórástól eltérően (egyéb szennyezőkkel és más töltéshordozókkal való kölcsönhatás miatt) a szilárdtest belsejében a Coulomb-szórás hatótávolsága kisebb.

Ha a töltéshordozók transzportja a felülethez közel történik, további hatásokra lehet számítani. A felületek gyakran sok kristályhibát, felületi struktúrát, diszlokációt tartalmaznak. Hiányzó kötések trap állapotokként viselkedhetnek, melyek töltések becsapdázása után töltötté válva Coulomb-szórócentrumként viselkednek. Félvezető eszközökben (például tranzisztorokban) gyakran alkalmaznak felületi inverziós rétegeket, ahol a töltéshordozók gyakorlatilag csak egy kétdimenziós felület mentén mozdulhatnak el. Ezek a kézdimenziós közegek a töltéshordozók tömbitől eltérő viselkedését eredményezik. Továbbá ilyen szerkezetekben fontos szerepe van a felületi szennyezőknek és a felület érdességének is, melyek mind szóródást okozhatnak.^[9]

Szóródás rácson

Abszolút nulla feletti hőmérsékleten a rács atomjai vibráló hőmozgást végeznek, a rácson akusztikus rezgések terjednek. A rácsrezgések leírása a szilárdtestfizikában a fononokkal történik, melyek az atomok kollektív elmozdulását jellemző kvázirészecske. Ezzel a koncepcióval a rácson szóródás felfogható a töltéshordozó és egy fonon kölcsönhatásaként. A hőmérséklet emelésével a fononokkal való kölcsönhatás valószínűsége növekszik, ami jellemzően a mobilitás csökkenéséhez vezet.

Piezoelektromos szóródás

A piezoelektromos hatás olyan félvezetőkben léphet fel, melyek elemi cellájában az összetevők ill. a szerkezet mechanikai hatással polarizálható. Ha piezoelektromos tulajdonságú anyagra mechanikai feszültséget terhelünk, az elemi cella atomjai úgy mozdulnak el, hogy lokális elektromos erőterek alakulnak ki. Ezek a terek szórócentrumként viselkednek a közegben haladó töltéshordozók számára. A piezoelektromos szóródás tipikusan kis hőmérsékleten számottevő, ahol más szóródási folyamatok valószínűsége kisebb.^[9]

Felületi érdesség miatti szóródás

Felület közelében, a kvázi kétdimenziós tartományban terjedő töltéshordozókra nagy hatással lehetnek a felületi rácshibák. Rendkívül sík kristályfelület is tartalmazhat néhány atomsíknyi hibát, így a felület közelében az energiaszint kicsit ingadozhat. A terjedő töltéshordozók számára ezek a fluktuációk szórócentrumként viselkednek.^[9]

Szóródás ötvözőkön

Többkomponensű félvezetőkben az egyes ötvözők véletlenszerű eloszlása perturbációt okoz a kristály potenciáljában. Főként három- és többkomponensű rendszerek jellemzője, ahol bizonyos komponensek olykor egymást helyettesítik a rácsban, és a komponensek aránya nem sztöchiometrikus. Ettől a hatástól gyakran eltekinthetünk, ha tömbi viselkedést vizsgálunk, azonban egyes esetekben (például alacsonydimenziós vagy nanoméretű szerkezeteknél) figyelembe kell venni a hatását.^{[9][10][11][12][13]}

Rugalmatlan szóródás

A rugalmatlan szóródási folyamatok jellemzője, hogy ezek közben számottevő energiacsere jön létre a kölcsönható részecskék között. Hasonlóan a rugalmas fononszóráshoz, a rugalmatlan szóródások oka is a rácsrezgések okozta energiaszint fluktuáció. A rugalmatlan szóródásban részt vevő optikai fononok energiája nagyjából 30-50 meV, míg a rugalmas szóródásban részt vevő akusztikai fononok jellemző energiája ennél kisebb, 1-10 meV körüli. A rugalmatlan szóródás történhet optikai vagy nagyenergiás akusztikai fononokon, melyek következménye energiaszint ugrás, mely olykor sávok vagy alsávok közötti ugráshoz is vezethet.^[9]

Elektron–elektron szóródás

A Pauli-féle kizárási elv értelmében az elektronok közti kölcsönhatások nem számottevőek, amíg elég sok különböző kvantumállapot áll rendelkezésükre az adott fizikai rendszerben, viszont ha például - egy gyakorlati esetben - a térfogati sűrűségük meghaladja a 10¹⁷ cm⁻³-t, vagy az elektromos térerősség a 10³ V/cm-t, az elektronon egymás közti kölcsönhatásai egyre jelentősebbek lesznek.^[9][10][11]

A mobilitás és a szóródási idő kapcsolata

Egyszerűsítéssel megbecsülhetjük, hogy közelítőleg milyen kapcsolatban áll a mobilitás és a szóródási idő (azaz két szóródási folyamat között eltelő átlagos idő). A feltételezés szerint a töltéshordozók sebessége az ütközés után véletlenszerű, azaz az összes töltéshordozóra átlagosan nulla. Az ütközés után az állandó és homogén külső tér egyformán gyorsítja a töltéshordozókat a következő ütközésig. Ezzel a mobilitás a következő:^[14]

${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$,

ahol q az elemi töltés, m* az (adott irányban értelmezett) effektív tömeg és τ az átlagos szóródási idő.

Matthiessen-szabály

Ha több szórási jelenség egyszerre van jelen (ami a valós esetekben igen gyakori), akkor általában jó közelítést ad a különféle jelenségek együttes hatására a Mathiessen-szabály alkalmazása:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {szennyez{\tilde {o}}k}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {r{\acute {a}}cs}}}}}$,

ahol µ az effektív mobilitás, ${\displaystyle \mu _{\rm {szennyez{\tilde {o}}k}}}$ a pusztán szennyezőkből származó szóródás esetén érvényes mobilitás és ${\displaystyle \mu _{\rm {r{\acute {a}}cs}}}$ pedig a pusztán rácson szóródás miatt kialakuló mobilitás. Ha még több folyamat is létrejön, a további mobilitás tagok a fentiekhez hasonló módon reciprokosan összegződnek:

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {szennyez{\tilde {o}}k}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {r{\acute {a}}cs}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {hib{\acute {a}}k}}}}+\cdots }$.

A Matthiessen-szabály az átlagos szóródási időkre hasonlóképpen írható fel:

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {szennyez{\tilde {o}}k}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {r{\acute {a}}cs}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {hib{\acute {a}}k}}}}+\cdots }$.

ahol τ az effektív átlagos szórási idő, τ_szennyezők pusztán a szennyezőkön szóródásból adódik, és így tovább.

A Matthiessen-szabály nem általános érvényű törvény, csak egy közelítési mód. Alkalmazásához feltételezni kell, hogy a különféle, mobilitást befolyásoló szóródási jelenségek egymástól függetlenek, mivel a szóródási valószínűségek összege csak ekkor egyenlő az együttes hatás szóródási valószínűségével.^[13] Az átlagos szóródási idő és így a relaxációs idő fordítottan arányos a szóródási valószínűséggel.^[9][10][12] Például a rácson szóródás befolyásolja az elektronoknak a tér irányába eső sebességeloszlását, ami viszont befolyásolja, hogy milyen a szennyezőkön történő szóródás valószínűsége. Ilyen folyamatok leírására összetettebb modell szükséges.^[15]

Hőmérsékletfüggés

Néhány félvezető mobilitásának jellemző hőmérsékletfüggése^[1]

	Si	Ge	GaAs
Elektron	∝T −2.4	∝T −1.7	∝T −1.0
Lyuk	∝T −2.2	∝T −2.3	∝T −2.1

A hőmérséklet emelkedésével nő a szilárdtest fononkoncentrációja, ami növeli a fononokon való szóródás valószínűségét is. Tehát a rácsrezgések hatására a hőmérséklet emelkedésével a mobilitás csökken. Elméleti számítással belátható, hogy az apoláris félvezetőkben (mint a Si és a Ge) a mobilitásra az akusztikus fononokon szóródás van a legnagyobb hatással, az akusztikus fononok miatti hőmérsékletfüggés elméletileg T ^−3/2, míg az optikai fononok miatti hőmérsékletfüggés csupán T ^−1/2. A kísérletileg mért hőmérsékletfüggéseket a táblázat foglalja össze.^[1]

Tudjuk, hogy ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$, ahol ${\displaystyle \Sigma }$ a szórócentrum szórási hatáskeresztmetszete elektronokra és lyukakra, ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ pedig az összes elektron és lyuk sebességátlaga a Boltzmann-eloszlás alapján a vezetési sáv alján és a vegyértéksáv tetején, így a mobilitás hőmérsékletfüggése meghatározható. A Boltzmann-eloszlás ilyen feltételezése olyan félvezetőkre érvényes, melyekben ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Electron mobility című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Jegyzetek

1. Chapter 2: Semiconductor Fundamentals Archiválva 2009. január 21-i dátummal a Wayback Machine-ben.
2. Electrical properties of silicon, Ioffe Institute Database
3. Umansky, V.; Heiblum, M.; Levinson, Y.; Smet, J.; Nübler, J.; Dolev, M. (2009).
4. Dürkop, T.; Getty, S. A.; Cobas, Enrique; Fuhrer, M. S. (2004).
5. Bolotin, K; Sikes, K; Jiang, Z; Klima, M; Fudenberg, G; Hone, J; Kim, P; Stormer, H (2008).
6. McCulloch, I., Heeney, M., Bailey, C., Genevicius, K., MacDonald, I., Shkunov, M., ... & Toney, M. F. (2006). Liquid-crystalline semiconducting polymers with high charge-carrier mobility. Nature materials, 5(4), 328-333.
7. Vladimir Vasilʹevich Mitin; Vi︠a︡cheslav Aleksandrovich Kochelap; Michael A. Stroscio (1999).
8. Singh, J. (2007). Semiconductor devices: basic principles. John Wiley & Sons.
9. Ferry, D. (2000). Semiconductor transport. CRC Press.
10. Ibach, H., & Lüth, H. (2003). Solid-state physics: an introduction to principles of material science. Advanced Texts in Physics, Springer-Verlag berlin Heidelberg New York,.
11. Bulusu, A., & Walker, D. G. (2008). Review of electronic transport models for thermoelectric materials. Superlattices and Microstructures, 44(1), 1-36.
12. Bhattacharya, P. (1994). Semiconductor optoelectronic devices. Prentice-Hall, Inc..
13. Y. Takeda and T.P. Pearsall, "Failure of Mattheissen's Rule in the Calculation of Carrier Mobility and Alloy Scattering Effects in Ga0.47In0.53As", Electronics Lett. 17, 573-574 (1981).
14. Yu, P. Y., & Cardona, M. (2010). Electronic Band Structures. Fundamentals of Semiconductors, 17-106.
15. Luque, A., & Hegedus, S. (Eds.). (2011). Handbook of photovoltaic science and engineering. John Wiley & Sons.