Transzcendens számok

A matematikában azokat a valós vagy komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0}$

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha majdnem minden szám transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β₁, ..., β_n egymástól, a₁, ..., a_n pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

${\displaystyle a_{1}e^{\beta _{1}}+\cdots +a_{n}e^{\beta _{n}}\neq 0.}$

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes e^iπ+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor a^b transzcendens, ilyen szám például a √2^√2.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α₁, ..., α_n nemnulla algebrai számok, amelyekre log α₁, ..., log α_n lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α₁, ..., log α_n lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.^[1]

Bizonyítottan transzcendens számok

Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

• e^a, ha a nullától különböző algebrai szám (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• π (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• e^π, a Gelfond-állandó(wd), továbbá e^−π/2=i ⁱ (a Gelfond–Schneider-tétel alapján).
• a^b, ahol a algebrai és nem 0 vagy 1, b pedig irracionális algebrai szám (a Gelfond–Schneider-tétel alapján), különösen:

${\displaystyle 2^{\sqrt {2}},}$ a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).

• A lánctört-állandó, Carl Ludwig Siegel (1929)

${\displaystyle {1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}$

• sin(a), cos(a) és tan(a), valamint multiplikatív inverzük: cosec(a), sec(a) és cot(a), bármely nem nulla a algebrai számon véve (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• a koszinuszfüggvény attraktív fixpontja, ami a ${\displaystyle cos(x)=x}$ egyenlet egyetlen megoldása (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).^[2]
• ln(a), ha a algebrai szám és nem 1, a logaritmusfüggvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• W(a), ha a algebrai szám és nem 0, a Lambert-féle W-függvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• Γ(1/3),^[3] Γ(1/4),^[4] és Γ(1/6).^[4] a Gamma-függvény adott értékei.
• ${\displaystyle C}$, a Cahen-állandó(wd) (0,64341054629...).^[5]
• ${\displaystyle C_{10}}$, a Champernowne-állandó (0,12345678910111213141516...) .^[6][7]
• ${\displaystyle \Omega }$, a Chaitin-állandó(wd) (ugyanis értékét nem lehet kiszámítani).^[8]
• a Fredholm-szám^[9][10]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-2^{n}}}$

vagy általánosabban bármely, a következő alakban felírható szám:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2^{n}}}$

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.^[11]

• ${\displaystyle L}$, a Liouville-állandó(wd)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!};}$

vagy általánosabban bármely, a következő formában felírható szám:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\beta ^{n!}}$

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.

• ${\displaystyle \tau }$, a Prouhet–Thue–Morse-állandó(wd).^[12][13]
• bármely szám, melynek számjegyei valamely számrendszerben Sturmian-szót(wd) képeznek.^[14]
• bármely β > 1-re

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };}$

ahol ${\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor }$ az egészrész-függvény.

Nem bizonyítottan transzcendens számok

Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:

• A π és az e legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + e, π − e, πe, π/e, π^π, e^e, π^e, π^√2, e^π2 nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + e^π, πe^π és az e^π√n (bármely pozitív egész n-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.^[15][16]
• A γ Euler–Mascheroni-állandó (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
• A Catalan-állandó, amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
• A ζ(3) Apéry-állandó, (amit Apéry irracionálisnak talált)
• A Riemann-féle zéta-függvény páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
• A δ és α Feigenbaum-állandók
• A Mills-állandó.

Kapcsolódó sejtések:

• Schanuel-sejtés
• négy exponenciális-sejtés.

Általánosítás

Általánosan, ha ${\displaystyle L/K}$ testbővítés, akkor lehet beszélni arról, hogy ${\displaystyle L}$ egyes elemei algebraiak vagy transzcendensek ${\displaystyle K}$ fölött.

Történetük

Nagy 18. századi matematikusok, mint Gottfried Wilhelm Leibniz (omnem rationem transcendunt) és Leonhard Euler már rendelkeztek a transzcendencia fogalmával, habár nem adtak rá egzakt definíciót. Euler nehezen megfogható számokról beszélt, melyeket túllépik az algebrai módszerek hatását. 1748-ban Introductio in Analysin Infinitorum című tankönyvében arról írt, hogy ha ${\displaystyle a\neq 1}$ pozitív racionális szám, és ${\displaystyle b}$ pozitív egész szám, ami nem négyzetszám, akkor ${\displaystyle a^{\sqrt {b}}}$ nem algebrai, de nem irracionális; ez utóbbin algebrai irracionális számot értve. Ezt 1934-ben egy általánosabb eredmény részeként bizonyította az orosz Alekszandr Oszipovics Gelfond, illetve a német Theodor Schneider is igazolta. A két bizonyítás lényegi pontokon különbözik.

Joseph Liouville 1844-ben elsőként látta be transzcendens számok létezését, sőt explicit konstrukcióval példát is adott. Cikkében megmutatta, hogy minden ${\displaystyle x}$ legalább másodfokú algebrai számhoz van egy ${\displaystyle c>0}$ konstans, hogy minden ${\displaystyle p/q}$ approximációra:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c}{q^{n}}}}$

Innen következik, hogy a Liouville-konstans is transzcendens:

${\displaystyle L=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0{,}110001000000000000000001000\dots }$

Lásd: Beweis des Approximationssatz von Liouville im Beweisarchiv.

Georg Cantor 1874-ben belátta, hogy nemcsak hogy vannak transzcendens számok, hanem hogy majdnem minden valós szám transzcendens. Cantor konkrétan azt látta be, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható (számossága megegyezik a természetes számok halmazával), miközben a valós számok halmaza ennél nagyobb, kontinuum számosságú.

Az ${\displaystyle e}$ és a ${\displaystyle \pi }$ transzcendenciáját Charles Hermite, illetve Ferdinand von Lindemann vezette le elsőként. Ezeket a bizonyításokat más matematikusok sokat egyszerűsítették, David Hilbert (1862–1943) bizonyítása 1893-ban jelent meg, „Über die Transcendenz der Zahlen ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle \pi }$“ című dolgozatában.

Lásd:b:de:Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π.

Kapcsolódó szócikkek

• Transzcendenciaelmélet
• Diofantikus approximáció
• Algebrai szám
• Pí (szám)
• Euler-féle szám

Jegyzetek

1. https://books.google.hu/books?id=SmsCqiQMvvgC&pg=PA10&cad=0_0#PPA10,M1
2. Dottie Number. Wolfram MathWorld . Wolfram Research, Inc.. (Hozzáférés: 2016. július 23.)
3. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
4. Chudnovsky, G. V.. Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI: American Mathematical Society (1984). ISBN 0-8218-1500-8 via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
5. Davison & Shallit 1991
6. K. Mahler (1937). „Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen”. Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40), 421–428. o.
7. Mahler (1976) p.12
8. Calude, Cristian S.. Information and Randomness: An Algorithmic Perspective, 2nd rev. and ext., Texts in Theoretical Computer Science, Springer-Verlag, 239. o. (2002). ISBN 3-540-43466-6
9. Allouche & Shallit (2003) pp.385,403
10. Shallit, Jeffrey. Number theory and formal languages, Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996, The IMA volumes in mathematics and its applications. Springer-Verlag, 547–570. o. (1999). ISBN 0-387-98824-6
11. Loxton, J. H.. 13. Automata and transcendence, New Advances in Transcendence Theory. Cambridge University Press, 215–228. o. (1988). ISBN 0-521-33545-0
12. Mahler, Kurt (1929). „Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen”. Math. Annalen 101, 342–366. o. DOI:10.1007/bf01454845.
13. Allouche & Shallit (2003) p.387
14. Pytheas Fogg, N.. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics, Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A., Lecture Notes in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag (2002). ISBN 3-540-44141-7
15. Weisstein, Eric W.: {{{title}}} (angol nyelven). Wolfram MathWorld
16. Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319

Irodalom

• Baker, Alan. Transcendental Number Theory, reissue, reprint, illustrated, revised, Cambridge University Press. DOI: 10.2277/052139791X. ISBN 0-521-39791-X, ISBN 978-0-521-39791-9 [1975] (1990), Google Könyvkereső (angolul)
• Klukovits Lajos: Algebrai és transzcendens számok (PDF). (Hozzáférés: 2010. október 12.)^{[halott link]}
• Alan Baker: Transcendental number theory. Reprinted edition. Cambridge University Press, London u. a. 1990, ISBN 0-521-39791-X (Ein anspruchsvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt).
• Peter Bundschuh: Einführung in die Zahlentheorie. 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-64630-2 (Bietet einen einführenden Überblick zum Thema „transzendente Zahlen“ an).
• David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen ${\displaystyle e}$ und ${\displaystyle \pi }$. In: Mathematische Annalen. Bd. 43, Nr. 2/3, 1893, S. 216–219, doi:10.1007/BF01443645.
• Arthur Jones, Sidney A. Morris, Kenneth R. Pearson: Abstract Algebra and Famous Impossibilities. Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-97661-2 (Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für ${\displaystyle \pi ).}$.)
• Oskar Perron: Irrationalzahlen. (= Göschens Lehrbücherei. Gruppe 1: Reine Mathematik. Bd. 1, ZDB-ID 503797-9). de Gruyter, Berlin u. a. 1921.
• Theodor Schneider: Einführung in die transzendenten Zahlen. (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 81, ISSN 0072-7830). Springer, Berlin u. a. 1957.
• Andrei Borisovich Shidlovskii: Transcendental numbers. (= De Gruyter Studies in Mathematics. Bd. 12). de Gruyter, Berlin u. a. 1989, ISBN 3-11-011568-9 (Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert).

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Transzendente Zahl című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Nézd meg a Transzcendens szám címszót a Wikiszótárban!

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap