Catalan-állandó

A matematikában a G Catalan-állandó időnként a kombinatorikai becslésekben fordul elő. Definíciója:

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}$

A matematika megoldatlan problémája: A Catalan-állandó irracionális? És ha az, vajon transzcendens is? (A matematika további megoldatlan problémái)

ahol β a Dirichlet-féle bétafüggvény. Numerikus értéke közelitően^[1]

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

Nem ismeretes, hogy a G vajon irracionális szám-e, arról nem is beszélve, hogy transzcendens-e.

Az állandót Eugène Charles Catalan (1814–1894) belga matematikusról nevezték el.

Integrálazonosságok

${\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!}$

${\displaystyle G=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin(t)\cos(t)}}\;dt\!}$

${\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\;dt\!}$

${\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!}$

${\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt\!}$.

és

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\!}$

ahol K(x) egy teljes első fajú elliptikus integrál.^[2]

Alkalmazás

A G többnyire a kombinatorikában fordul elő, valamint a második poligamma-függvény értékeiben, melyet trigamma-függvénynek is hívnak (tört argumentummal):

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.}$

Simon Plouffe (1956) kanadai matematikus egy végtelen azonossággyűjteményt szerkesztett, a ${\displaystyle \pi ^{2}}$ trigamma-függvény és a Catalan-állandó között; ezek az összefüggések gráfokkal kifejezhetőek. A G feltűnik a hiperbolikus metsző típusú eloszlásban is.

Gyorsan konvergáló sorozatok

A következő két képlet gyorsan konvergáló sorozatokat tartalmaz, ezért alkalmas numerikus számításokra:

${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}$
	${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}$

és

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

Az ilyen sorozatok elméleti alapjai Broadhursttől (első képlet),^[3] illetve Srínivásza Rámánudzsantól (második képlet)^[4] származnak. A Catalan-állandó gyors számítási algoritmusát Jekatyerinya Karacuba alkotta.^[5][6]

Számjegyeinek száma

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma drámai módon emelkedett az utóbbi évtizedekben. Ez részben a számítógépek teljesítménynövekedésének, másrészt hatékonyabb algoritmusok kidolgozásának köszönhető.^[7]

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma:

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyei:

Dátum	Tizedesjegyek	A számítást végezte:
1832	16	Thomas Clausen
1858	19	Carl Johan Danielsson Hill
1864	14	Eugène Charles Catalan
1877	20	James W. L. Glaisher
1913	32	James W. L. Glaisher
1990	20 000	Greg J. Fee
1996	50 000	Greg J. Fee
1996. aug. 14.	100 000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996. szept. 29.	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998. jan. 4.	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006. okt.	5 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2008. aug.	10 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9]
2009. jan. 31.	15 510 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
2009. ápr. 16.	31 026 000 000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
April 6, 2013	100 000 000 000	Robert J. Setti
June 7, 2015	200 000 001 100	Robert J. Setti[11]

Irodalom

• E.A. Karatsuba: Fast evaluation of transcendental functions. (hely nélkül): , Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4. 1991.
• Bradley, David M: A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". (hely nélkül): The Ramanujan Journal 3 (2). 1999.

Kapcsolódó szócikkek

• Kombinatorika
• Valószínűségszámítás
• Zéta-állandó
• Gamma-eloszlás
• Matematikai állandók
• Eloszlásfüggvény
• Statisztika
• http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
• http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html