HU
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Catalan-állandó

From Wikipedia, the free encyclopedia

Catalan-állandó
IntegrálazonosságokAlkalmazásGyorsan konvergáló sorozatokSzámjegyeinek számaIrodalomKapcsolódó szócikkekForrások

A matematikában a G Catalan-állandó időnként a kombinatorikai becslésekben fordul elő. Definíciója:

G = β ( 2 ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 1 2 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + ⋯ {\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!} {\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \!}
A matematika megoldatlan problémája:
A Catalan-állandó irracionális? És ha az, vajon transzcendens is?
(A matematika további megoldatlan problémái)

ahol β a Dirichlet-féle bétafüggvény. Numerikus értéke közelitően[1]

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

Nem ismeretes, hogy a G vajon irracionális szám-e, arról nem is beszélve, hogy transzcendens-e.

Az állandót Eugène Charles Catalan (1814–1894) belga matematikusról nevezték el.

G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 + x 2 y 2 d x d y {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!} {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\,dy\!}
G = − ∫ 0 1 ln ⁡ ( t ) 1 + t 2 d t {\displaystyle G=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\!} {\displaystyle G=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}\,dt\!}
G = ∫ 0 π / 4 t sin ⁡ ( t ) cos ⁡ ( t ) d t {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin(t)\cos(t)}}\;dt\!} {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\pi /4}{\frac {t}{\sin(t)\cos(t)}}\;dt\!}
G = 1 4 ∫ − π / 2 π / 2 t sin ⁡ ( t ) d t {\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\;dt\!} {\displaystyle G={\tfrac {1}{4}}\int \limits _{-\pi /2}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin(t)}}\;dt\!}
G = ∫ 0 π / 4 ln ⁡ ( cot ⁡ ( t ) ) d t {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!} {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\pi /4}\ln(\cot(t))\,dt\!}
G = ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( e − t ) d t {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!} {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{\infty }\arctan(e^{-t})\,dt\!}
G = ∫ 0 1 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt\!} {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt\!}.

és

G = 1 2 ∫ 0 1 K ( x ) d x {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\!} {\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int \limits _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx\!}

ahol K(x) egy teljes első fajú elliptikus integrál.[2]

A G többnyire a kombinatorikában fordul elő, valamint a második poligamma-függvény értékeiben, melyet trigamma-függvénynek is hívnak (tört argumentummal):

ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G} {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}
ψ 1 ( 3 4 ) = π 2 − 8 G . {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.} {\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G.}

Simon Plouffe (1956) kanadai matematikus egy végtelen azonossággyűjteményt szerkesztett, a π 2 {\displaystyle \pi ^{2}} {\displaystyle \pi ^{2}} trigamma-függvény és a Catalan-állandó között; ezek az összefüggések gráfokkal kifejezhetőek. A G feltűnik a hiperbolikus metsző típusú eloszlásban is.

A következő két képlet gyorsan konvergáló sorozatokat tartalmaz, ezért alkalmas numerikus számításokra:

G = {\displaystyle G=\,} {\displaystyle G=\,} 3 ∑ n = 0 ∞ 1 2 4 n ( − 1 2 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 2 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 3 ( 8 n + 5 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 4 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 ( 8 n + 1 ) 2 ) − {\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-} {\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}
2 ∑ n = 0 ∞ 1 2 12 n ( 1 2 4 ( 8 n + 2 ) 2 + 1 2 6 ( 8 n + 3 ) 2 − 1 2 9 ( 8 n + 5 ) 2 − 1 2 10 ( 8 n + 6 ) 2 − 1 2 12 ( 8 n + 7 ) 2 + 1 2 3 ( 8 n + 1 ) 2 ) {\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)} {\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}

és

G = π 8 log ⁡ ( 3 + 2 ) + 3 8 ∑ n = 0 ∞ ( n ! ) 2 ( 2 n ) ! ( 2 n + 1 ) 2 . {\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.} {\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}

Az ilyen sorozatok elméleti alapjai Broadhursttől (első képlet),[3] illetve Srínivásza Rámánudzsantól (második képlet)[4] származnak. A Catalan-állandó gyors számítási algoritmusát Jekatyerinya Karacuba alkotta.[5][6]

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma drámai módon emelkedett az utóbbi évtizedekben. Ez részben a számítógépek teljesítménynövekedésének, másrészt hatékonyabb algoritmusok kidolgozásának köszönhető.[7]

A Catalan-állandó ismert tizedesjegyeinek száma:

További információk Dátum, Tizedesjegyek ...
A Catalan-állandó ismert tizedesjegyei:
DátumTizedesjegyekA számítást végezte:
183216Thomas Clausen
185819Carl Johan Danielsson Hill
186414Eugène Charles Catalan
187720James W. L. Glaisher
191332James W. L. Glaisher
199020 000Greg J. Fee
199650 000Greg J. Fee
1996. aug. 14.100 000Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996. szept. 29.300 000Thomas Papanikolaou
19961 500 000Thomas Papanikolaou
19973 379 957Patrick Demichel
1998. jan. 4.12 500 000Xavier Gourdon
2001100 000 500Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2002201 000 000Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2006. okt.5 000 000 000Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[8]
2008. aug.10 000 000 000Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[9]
2009. jan. 31.15 510 000 000Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
2009. ápr. 16.31 026 000 000Alexander J. Yee & Raymond Chan[10]
April 6, 2013100 000 000 000Robert J. Setti
June 7, 2015200 000 001 100Robert J. Setti[11]
Bezárás
  • E.A. Karatsuba: Fast evaluation of transcendental functions. (hely nélkül): , Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4. 1991.
  • Bradley, David M: A class of series acceleration formulae for Catalan's constant". (hely nélkül): The Ramanujan Journal 3 (2). 1999.
  • Kombinatorika
  • Valószínűségszámítás
  • Zéta-állandó
  • Gamma-eloszlás
  • Matematikai állandók
  • Eloszlásfüggvény
  • Statisztika
  • http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html
  • http://www.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/csum.html
  1. [1]
    http://www.gutenberg.org/etext/812
  2. [2]
    Elliptikus függvények, 2022. július 6. [2022. április 19-i dátummal az eredetiből archiválva].
  3. [3]
    D.J. Broadhurst, "Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5)", (1998) arXiv math.CA/9803067
  4. [4]
    B.C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I., Springer Verlag (1985)
  5. [5]
    E.A. Karatsuba, Fast evaluation of transcendental functions, Probl. Inf. Transm. Vol.27, No.4, pp.339-360 (1991)
  6. [6]
    E.A. Karatsuba, Fast computation of some special integrals of mathematical physics. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W.Krämer, J.W.von Gudenberg, eds.; pp. 29-41, (2001)
  7. [7]
    Gourdon, X., Sebah, P; Constants and Records of Computation
  8. [8]
    Shigeru Kondo's website. [2008. február 11-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2008. január 31.)
  9. [9]
    Constants and Records of Computation
  10. [10]
    Large Computations
  11. [11]
    Catalan's constant records using YMP
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    Integrálazonosságok

    Alkalmazás

    Gyorsan konvergáló sorozatok

    Számjegyeinek száma

    Irodalom

    Kapcsolódó szócikkek

    Források