Számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken ${\displaystyle \,n}$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének ${\displaystyle \,n}$-ed részét értjük. A számtani közepet általában ${\displaystyle \,A}$ betűvel jelöljük:

${\displaystyle A(a_{1};...;a_{n})={\frac {a_{1}+...+a_{n}}{n}}}$.

Az „Átlag” szócikk ide irányít át. Hasonló címmel lásd még: Középérték.

A kiindulási értékeket összeadjuk, majd az összeget elosztjuk az összeadott számok darabszámával. A hétköznapi életben ezt egyszerűen „átlagnak” hívjuk. A matematikában a számtani közép elnevezés a mértani és a harmonikus középtől való megkülönböztetést szolgálja. Ezt a hármat pithagoraszi középnek is nevezik.

Ideálisan normális eloszlású, vagy akár csak szimmetrikus eloszlású adatok esetén a számtani közép értéke egybeesik a medián és a módusz értékével. Ha az eloszlás ferde, akkor a számtani közép nem esik egybe a mediánnal és a módusszal, tehát nem ez a leggyakoribb érték, és nem is a középső érték.

A könnyű számíthatósága és értelmezhetősége okán számos területen használják, például statisztikában, történelemben, szociológiában és pénzügyekben. Annak ellenére, hogy statisztikailag nem megfelelően jellemzi a sokaságot, az egy főre jutó jövedelmet számtani középpel számítják. Ennek oka, hogy habár közép felé húz, a számtani közép nem robusztus statisztika, mivel erősen hatnak rá a kilógó adatok, például a kevés magas jövedelem felhúzza a számtani közepet. Ezek hatása csökkenthető a kiugró értékek kiszűrésével, mint például a Dixon teszt vagy a Grubbs teszt, vagy más az eloszlásnak megfelelő statisztikát és középérték-számítást kell választani.

Egy téves használat szerint, ha x és y számok, akkor bármely számtani sorozat, aminek tagjai a kettő közé esnek, nevezhető x és y számtani közepének.^[1]

Értelmezés

Az a és a b számok számtani közepe akkor és csak akkor m, ha ${\displaystyle m-a=b-m}$.

Legyenek ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ független azonos eloszlású valószínűségi változók ${\displaystyle \mu }$ várható értékkel és ${\displaystyle \sigma }$ szórással, ekkor az ${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ középérték szintén ${\displaystyle \mu }$ körül ingadozik, és szórása kisebb, mint ${\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}}$. Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel

Tétel: Ha ${\displaystyle \,a,b,c}$ valós számok, és ${\displaystyle \,b=A(a;c)}$, vagyis ${\displaystyle \,b}$ az ${\displaystyle \,a}$ és ${\displaystyle \,c}$ számok számtani közepe, akkor ${\displaystyle b-a=c-b={\frac {c-a}{2}}}$. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy ${\displaystyle \,b}$ az ${\displaystyle \,a}$ és a ${\displaystyle \,c}$ számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha ${\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}$, akkor ${\displaystyle b-a={\frac {a+c}{2}}-a={\frac {a+c-2a}{2}}={\frac {c-a}{2}}}$ és ${\displaystyle c-b=c-{\frac {(a+c)}{2}}={\frac {2c-a-c}{2}}={\frac {c-a}{2}}}$.

Adott ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

${\displaystyle \min _{i}(a_{i})\leq A(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\leq \max _{i}(a_{i})}$

Algebrai tulajdonságok

Ha a tetszőleges ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} }$ számsorozatot tetszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

${\displaystyle A(a_{1};\dots ;a_{n};A_{n};\dots ;A_{n})=A_{n}}$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

${\displaystyle \operatorname {A} (a,b)\geq \operatorname {G} (a,b)}$

Mivel középre húz, alkalmas a centrális tendencia mérésére. Ezek közé tartozik, hogy:

• Ha az ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ számok számtani közepe ${\displaystyle {\bar {x}}}$, akkor ${\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0}$. Ezt azzal szemléltetik, hogy a számtani középtől balra és jobbra levő számok ellensúlyozzák egymást. A számtani közepet egyértelműen meghatározza ez a tulajdonsága, tehát nincs más ilyen tulajdonságú szám.
• Ha az ${\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{n}}$ számokat egyetlen paraméterrel kell jellemezni, akkor erre a számtani közép a legalkalmasabb, mivel minimalizálja a négyzetes eltéréseket a paramétertől. Ezt a minta négyzetes hibájának, vagy torzított tapasztalati szórásnégyzetnek nevezik.^[2] A számtani közép (ilyen kontextusban tapasztalati várható érték) torzítatlanul közelíti a minta várható értékét.

Szembeállítás a mediánnal

A számtani közép szembeállítható a mediánnal. A medián definíció szerint a minta középső eleme, tehát az elemek fele kisebb, fele nagyobb nála. Páros elemszám esetén a medián a két középső elem számtani közepe. A számtani közép és a medián akkor esik egybe, ha a rendezett sorozat számtani. Például, ha a rendezett sorozat ${\displaystyle {1,2,3,4}}$ akkor a számtani közép és a medián is 2,5. Ha például ${\displaystyle {1,2,4,8,16}}$, akkor a számtani közép 6,2, de a medián 4. A számtani közép lehet sokkal nagyobb, vagy kisebb is, mint a sorozat legtöbb eleme.

A medián és a számtani közép együttes használata elterjedt. Statisztikai elemzések szerint az 1980-as évektől az Amerikai Egyesült Államokban a jövedelem számtani közepe gyorsabban nőtt, mint a mediánja.^[3]

Számtani sorozatok

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában ${\displaystyle \,a_{n}}$ tag az ${\displaystyle \,a_{n-k}}$ és ${\displaystyle \,a_{n+k}}$ tagok számtani közepe, ha ${\displaystyle \,n>k}$ pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}}}}$.

ahol az ${\displaystyle x_{i}}$ számok rendre a ${\displaystyle w_{i}}$ súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban ${\displaystyle x_{i}}$ jelöli a koncentrációt vagy a hőmérsékletet, és ${\displaystyle w_{i}}$ a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az ${\displaystyle x_{i}}$ adatpontokhoz tartozó ${\displaystyle w_{i}}$ súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az ${\displaystyle \mathbf {X} _{i}}$ valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke ${\displaystyle \mathbf {\mu } _{i}}$, de szórásuk rendre ${\displaystyle \sigma _{i}}$, akkor a súlyozott középérték ${\displaystyle \mathbf {\mu } _{i}}$ körül ingadozik, és szórásnégyzete

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}}}$.

Ha most ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$, akkor

${\displaystyle \sigma _{\bar {x}}^{2}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{4}}}\sigma _{i}^{2}}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)^{2}}}={\frac {1}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}}}$.

A Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség alapján

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}^{2}\sigma _{i}^{2}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}\right)\geq \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\right)^{2}}$.

A ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{\sigma _{i}^{2}}}}$ választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.).

Függvény középértéke

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ Riemann-integrálható függvény középértéke

${\displaystyle {\bar {f}}:={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}}$ osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$, akkor az

${\displaystyle m_{n}(f):={\frac {f(x_{1})+f(x_{2})+\dots +f(x_{n})}{n}}={\frac {1}{b-a}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})h}$

számtani közép tart az ${\displaystyle {\bar {f}}\;}$ középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik ${\displaystyle \xi \in [a,b]}$, amire ${\displaystyle f(\xi )={\bar {f}}\;}$, a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a ${\displaystyle w(x)\;}$ súlyfüggvény pozitív minden ${\displaystyle x\in [a,b]}$-re. Ekkor a súlyozott középérték

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {\int _{a}^{b}f(t)w(t)\mathrm {d} t}{\int _{a}^{b}w(t)\mathrm {d} t}}}$.

Az ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ mértéktérben, ahol ${\displaystyle \mu (\Omega )<\infty }$, a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

${\displaystyle {\bar {f}}:={\frac {1}{\mu (\Omega )}}\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}$.

Valószínűségi tér esetén, ahol ${\displaystyle \mu (\Omega )=1\;}$, a középérték az

${\displaystyle {\bar {f}}:=\int _{\Omega }f(x)\,\mathrm {d} \mu (x)}$

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Folytonos valószínűségi eloszlások

Két, különböző ferdeségű lognormális eloszlás középértékeinek középértékeinek (várható érték, medián és módusz) összehasonlítása

Valószínűségi eloszlások esetén annak a valószínűsége, hogy az érték a számegyenes melyik szakaszára esik, különbözhet attól, hogy az érték egy másik, de ugyanolyan hosszú szakaszra esik. Egyenlőség minden szakaszpárra csak geometriai eloszlás esetén áll fenn. A többi esetet eloszlásfüggvénnyel vagy sűrűségfüggvénnyel írják le. A súlyozott átlag megfelelője itt a valószínűségeloszlás várható értéke. A valószínűségeloszlás folytonos, ha eloszlásfüggvénye folytonos. A sűrűségfüggvény létezéséhez az eloszlásfüggvénynek differenciálhatónak kell lennie. Az egyik leggyakrabban használt eloszlásfüggvény a normális eloszlás, ami szimmetrikus a várható értékére, így mediánja és módusza is a várható értéke. Nem szimmetrikus eloszlások esetén ezek különböznek. Egy gyakran használt nem szimmetrikus (ferde) a lognormális eloszlás, amit az ábra is mutat.

Szögek

Szögek és más hasonló mennyiségek, egy modulus szerinti mennyiségek átlagolására alkalmatlan a számtani közép. Az egyik nehézség az, hogy a két mennyiségnek két távolsága van, amelyek közül a kisebbet szokták távolságon érteni, de a számtani közép lehet, hogy a nagyobb távolságot felezi. Például, ha a két mennyiség 1 és 359 fok, akkor a hagyományos számtani közép 180 fokot ad, pedig a 0 vagy 360 foknak geometriai jelentése is lenne. Egy másik probléma az, hogy a modulo mennyiségek értelmezhetők többféleképpen is. Például 1 és 359 fok helyett lehetne 1 és -1 fok, de lehetne 361 és 719 fok is, ami több különböző eredményt ad. Éppen ezért ezekre a mennyiségekre át kell definiálni a számtani közepet, hogy a moduláris távolságot felezze. Az így definiált mennyiség a moduláris számtani közép, vagy moduláris átlag.

Kapcsolat más közepekkel

Legyen ${\displaystyle f}$ egy ${\displaystyle I}$ intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a ${\displaystyle w_{i},0\leq w_{i}\leq 1,\sum _{i}w_{i}=1}$ súlyok. Ekkor az ${\displaystyle x_{i}\in I}$ számok ${\displaystyle w_{i}}$-vel súlyozott kváziaritmetikai közepe

${\displaystyle {\bar {x}}_{f}=f^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})\right)}$.

Nyilván

${\displaystyle \min(x_{i})\leq {\bar {x}}_{f}\leq \max(x_{i})}$.

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. ${\displaystyle f(x)=x}$ visszaadja a számtani közepet, ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$ a mértani közepet, és ${\displaystyle f(x)=x^{k}}$ a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

${\displaystyle {\bar {u}}_{f}=f^{-1}\left({\frac {\int f(u(t))w(t)\mathrm {d} t}{\int w(t)\mathrm {d} t}}\right)}$

Kapcsolódó szócikkek

• Kváziaritmetikai közép (általánosítás)
• A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség

Jegyzetek

1. Foerster, Paul A.. Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition, Classics, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 573. o. (2006). ISBN 0-13-165711-9
2. Medhi, Jyotiprasad. Statistical Methods: An Introductory Text. New Age International, 53–58. o. (1992). ISBN 9788122404197
3. Paul Krugman, "The Rich, the Right, and the Facts: Deconstructing the Income Distribution Debate", 'The American Prospect'

Források

• A középértékek és a lemniszkáta

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Arithmetic mean című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap