Bizonyítások teljes indukcióval
1. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz.
Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített számot két darab -es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az -re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az esetre már bizonyított tételt:
Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ().
c.) Amennyiben nem 2-hatvány (), akkor az nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az elemeket, és alkalmazzuk az így kapott számokra a már bizonyított állítást:
Ekvivalens átalakításokkal:
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor
Tegyük fel most, hogy például ! Felhasználva, hogy ebben az esetben :
tehát egyenlőség nem állhat fenn.
2. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz, a már látott módon.
c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá -dik elemként a számok számtani középértékét, az számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:
,
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
3. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz.
Legyen ugyanis és , ekkor az indukciós feltevés miatt
Mivel , elegendő megmutatni, hogy
Ekvivalens átalakításokkal:
,
ami mindig teljesül, mert esetén a bal oldalon két pozitív, esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.
c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
4. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz.
Indukcióval feltehetjük, hogy -re igaz az állítás és
szám van adva: és . Jelöljük -val az számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy . Be kell látnunk, hogy
teljesül minden számra.
Az indukció miatt már tudjuk, hogy , ezért azt kell belátni, hogy
azaz
teljesül. polinom, ami 0-ban pozitív, -ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla.
Kiszámolva:
ahonnan .
Richard Rado bizonyítása
Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol.
Tegyük fel, hogy számunk van, ezek számtani és mértani közepe és , az első szám számtani illetve mértani közepe pedig és . Ekkor
Ez elég, hiszen ha , akkor a képlet szerint . A képlet igazolásához -nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az
új változót, a következő adódik:
Ezt kell tehát -ra igazolni.
Ezt -re való indukcióval bizonyítjuk. Az eset igaz.
Ha pedig -re igaz, akkor -re
Pólya György bizonyítása
Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja.
Tegyük fel tehát, hogy adottak az nemnegatív számok, számtani közepük .
Ha , akkor , () tehát az egyenlőség teljesül:
Tegyük fel, hogy a számok pozitívok:
Ekkor .
Legyen
függvény első deriváltja:
második deriváltja:
A második derivált mindenhol pozitív:
A egyenlet egyetlen megoldása:
Ezekből az következik, hogy függvénynek csak helyen van szélsőértéke és ott minimuma van. Továbbá .
Összefoglalva: Minden esetén és pontosan akkor igaz, ha .
Kifejtve:
és az egyenlőség csak akkor áll, ha .
Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az () számokra:
Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy
A bal oldal miatt így alakítható:
és ezzel azt kaptuk, hogy , tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha , azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.
Riesz Frigyes bizonyítása
Riesz Frigyes bizonyítása a következő:
Továbbra is feltesszük, hogy
1. Az összes szám megegyezik
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor .
2. A számok nem egyenlőek
Mivel nem lehet minden szám nulla, továbbá (), ezért a számtani középérték nyilván pozitív: .
Ha bármelyik , akkor a mértani középérték nulla, így az egyenlőtlenség teljesül:
A továbbiakban tegyük fel, hogy az összes szám pozitív:
A mértani középértéket jelöljük -el:
Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem. Az általánosság elvesztése nélkül tegyük fel, hogy ezek az és elemek:
Nyilván igaz a következő egyenlőtlenség:
Az eredeti sorozat alapján állítsunk elő egy második sorozatot, melynek első két tagja és :
A második sorozat számtani középértéke nem változik:
A második sorozat mértani középértéke:
A második mértani középértékben lévő szorzat az első mértani közép szorzatától az első két tényezőben különbözik, ezért ezeket hasonlítjuk össze:
-ból következik:
Ezek alapján:
A mértani középértékekben lévő szorzatok összehasonlítása:
Kihasználtuk, hogy minden elem pozitív: ,
Megmutattuk, hogy a módosított sorozat mértani középértéke nagyobb, mint az eredeti sorozat mértani középértéke:
A módosított sorozatban legalább egyszer megjelenik .
Ezt az eljárást véges sokszor ismételve egy olyan számsorozathoz jutunk, aminek minden eleme . Legyen ez a -ik sorozat:
Fent beláttuk, hogy a mértani középértékek monoton növekvő sorozatot alkotnak:
Ebből következik:
Tehát
, és figyelembevételével kijelenthetjük, hogy
Az egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha az összes szám megegyezik.
.
A rendezési egyenlőtlenség helyettesítése több feladat megoldásában
Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési egyenlőtlenséget helyettesíti:
Igazoljuk, hogy (a, b, c poz. valós számok).
Bizonyítás: . A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.
Azonos kerületű háromszögek
Azonos kerületű háromszögek között a szabályos háromszög területe a legnagyobb. Egy oldalú háromszög félkerülete legyen . A Héron-képlet szerint a háromszög területe vagyis az
függvényt kell maximalizálnunk rögzített mellett. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha .
A tétel súlyozott változata a következő.
Ha nemnegatív valós számok, pozitív valós számok, amikre teljesül, akkor
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha .
Ennek speciális esete az eredeti tétel.