Szélsőérték

A matematikában valamely függvény szélsőértékének nevezzük értelmezési tartományának valamely nyílt halmazzal vett metszetére vett leszűkítésének értékkészletének, illetve annak abszolútértékének maximumát és minimumát.

Valós függvény szélsőértéke

Globális szélsőérték

Ha f valósokon értelmezett valósértékű függvény, akkor f globális vagy abszolút szélsőértékeinek nevezzük értelmezési tartományának maximumát illetve minimumát.

Pl.: a ${\displaystyle sin\,x}$ függvény maximuma az 1, amit az ${\displaystyle x=\left(2k+{\frac {1}{2}}\right)\pi \,\,(k\in \mathbb {Z} )}$ helyeken vesz fel, és minimuma -1, amit pedig az ${\displaystyle x=\left(2k-{\frac {1}{2}}+2k\right)\pi \,\,(k\in \mathbb {Z} )}$ helyeken vesz fel.

Weierstrass-tétel

Bővebben: Weierstrass-tétel

Weierstrass tétele kimondja, hogy minden korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvénynek létezik mindkét abszolút szélsőértéke.

Lokális szélsőérték

y f függvény lokális vagy helyi szélsőértéke, ha létezik olyan ${\displaystyle I}$ nyílt halmaz, f-nek amire vett leszűkítésének y abszolút szélsőértéke.

Pl.:${\displaystyle x\cdot \sin \,x}$ lokális minimuma 0 a 0 helyen.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges feltétele

Bővebben: Fermat-tétel (analízis)

Egy Fermat-tól származó tétel kimondja, hogy differenciálható függvény helyi szélsőértékéhez húzott érintő párhuzamos az abszcissza-tengellyel, azaz, ha f teljes értelmezési tartományában differenciálható, akkor lokális szélsőértékeit csak azokon az x helyeken veheti fel, ahol ${\displaystyle f'\,(x)=0}$.

Differenciálható függvény lokális szélsőértékének létezésének szükséges és elegendő feltétele

Legyen ${\displaystyle f\,n}$-edik deriváltja ${\displaystyle x\in Dom\,f}$ egy ${\displaystyle K\,}$ környezetében folytonos, és ${\displaystyle f'\,(x)=\cdots =f^{(n-1)}(x)=0}$, továbbá ${\displaystyle f^{(n)}(x)\,\neq 0}$. Ekkor ${\displaystyle f\,x}$ helyen pontosan akkor veszi fel lokális szélsőértékét, ha ${\displaystyle n\,}$ páros, mégpedig, és ha létezik szélsőérték, abban az esetben, ha ${\displaystyle f^{(n)}(x)\,>0}$, minimuma van, ellenkező esetben pedig maximuma.

Bizonyítás

A Taylor-formula szerint ${\displaystyle K\,}$ minden ${\displaystyle x+h\,}$ pontjához létezik olyan ${\displaystyle \Theta \in [0,1]}$, hogy

${\displaystyle f(x+h)=\sum \limits _{k=0}^{n-1}{{\frac {f^{(k)}(x)}{k!}}h^{k}}+{\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}=f(x)+{\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}}$, azaz

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}}$

Legyen ${\displaystyle f^{(n)}(x)>0\,}$, ekkor ${\displaystyle f^{(n)}\,}$ folytonossága miatt létezik olyan ${\displaystyle \varepsilon >0\,}$, hogy minden ${\displaystyle \varepsilon >|a|\,}$-ra ${\displaystyle f^{(n)}(x+a)>0\,}$. Tegyük fel, hogy ${\displaystyle n\,}$ páros, ${\displaystyle |h|<\varepsilon }$, és ${\displaystyle \Theta h=a\,}$, ekkor

${\displaystyle 0<{\frac {f^{(n)}(x+a)}{n!}}h^{n}={\frac {f^{(n)}(x+\Theta h)}{n!}}h^{n}=f(x+h)-f(x)}$, azaz ${\displaystyle f(x)<f(x+h)\,}$, következésképp ${\displaystyle f\,}$-nek ${\displaystyle x\,}$ helyen lokális minimuma van. Ha ${\displaystyle n\,}$ páratlan, akkor, ha ${\displaystyle 0<h<\varepsilon \,}$, akkor ${\displaystyle f(x)<f(x+h)\,}$, ha viszont ${\displaystyle -\varepsilon <h<0\,}$, akkor ${\displaystyle f(x)>f(x+h)\,}$ így ${\displaystyle x}$ helyen a függvénynek nincs szélsőértéke. ${\displaystyle f^{(n)}(x)<0\,}$ esetben a maximum létezése, ill. nem létezése nagyon hasonlóan látható be.

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap