Korlátos halmaz

A matematikai analízis és kapcsolódó területei korlátosnak neveznek egy halmazt, ha annak kiterjedése valamilyen értelemben véges.

Általánosan, de pontosan (értelmesen) topologikus módszerekkel lehet megfogalmazni. Egy elég általános definíció a következő:

Egy H részhalmaz korlátos egy (M, d) metrikus térben, ha a halmazt tartalmazza egy véges sugarú gömb. Vagy másképpen fogalmazva, ha létezik ${\displaystyle x\in M}$ és ${\displaystyle r>0}$ úgy, hogy minden ${\displaystyle h\in H}$-ra ${\displaystyle d(x,h)<r}$.

Ekkor a H halmaz átmérőjének a véges

${\displaystyle \sup _{x,y\in H}d(x,y)}$

értéket nevezzük. Ha H zárt, akkor ez az érték felvétetik, azaz van olyan H-beli x és y pont, aminek a távolsága pontosan ennyi (más szóval, a szuprémum ilyenkor maximum).

M egy korlátos metrikus tér (vagy d egy korlátos metrika), ha M korlátos részhalmaza saját magának.

Számegyenes

A valós számok egy H részhalmaza felülről korlátos, ha van olyan K valós szám, hogy minden ${\displaystyle x\in H}$ esetén ${\displaystyle x\leq K}$.

A halmaz alulról korlátos, ha van olyan k, amelyre minden ${\displaystyle x\in H}$ esetén ${\displaystyle x\geq k}$.

Egy valós számhalmaz korlátos, ha mind alulról, mind pedig felülről korlátos. Ez ekvivalens azzal, hogy a halmaz egy véges intervallum részhalmaza.

Sík

A síkban korlátosnak nevezünk egy halmazt, ha lefedhető egy körlappal.

Tér

A térben korlátos egy halmaz, ha részhalmaza egy gömbnek.