Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ nemnegatív valós számok, akkor ${\displaystyle p<q}$ esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

${\displaystyle K_{p}\leq K_{q}}$

ahol ${\displaystyle p>0}$-ra

${\displaystyle K_{p}=\left({\frac {a_{1}^{p}+\cdots +a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$.

A ${\displaystyle p=0}$ értékre is definiálhatjuk a ${\displaystyle K_{p}}$ mennyiséget, ugyanis

${\displaystyle \lim _{p\to 0}K_{p}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdots a_{n}}},}$

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik ${\displaystyle K_{0}\leq K_{1}}$, azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Bizonyítás

Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt.

Legyenek ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ nemnegatív valósok, és ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ pozitív súlyok, melyekre ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1}$, valamint ${\displaystyle 0<p<q}$, hogy ${\displaystyle q=p\cdot r}$.

Ekkor az ${\displaystyle x^{r}}$ szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{r}\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left(a_{i}^{p}\right)^{r}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{q}}$,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$;

${\displaystyle q}$-adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha ${\displaystyle a_{1}=\cdots =a_{n}}$.

Ha ${\displaystyle p<q<0}$, a bizonyítás igen hasonlóan megy.

Ha ${\displaystyle p<0<q}$, akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy ${\displaystyle \lim _{p\to 0}\left({\frac {\lambda _{1}a_{1}^{p}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}$ létezik, adódik, hogy

${\displaystyle \sup _{p<0}\left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\lim _{p\to 0}\left({\frac {\lambda _{1}a_{1}^{p}+\cdots +\lambda _{n}a_{n}^{p}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}=\inf _{q>0}\left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{q}\right)}$ , ahonnan ${\displaystyle \left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum \lambda _{i}a_{i}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}}$.

Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepére

Ha ${\displaystyle f\,}$ függvény ${\displaystyle [a,b]\,}$ intervallumon Riemann-integrálható, akkor

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}f^{q}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f^{q}(x)dx}$

ahonnan, ha ${\displaystyle p<q\,}$ az előzőek szerint:

${\displaystyle \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{p}(x)dx\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{n}}f^{p}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {b-a}{n}}f^{q}\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\right)^{\frac {1}{q}}=\left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f^{q}(x)dx\right)^{\frac {1}{q}}}$

• Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap