Cijeli broj
From Wikipedia, the free encyclopedia
Cijeli brojevi proširenje su skupa prirodnih brojeva neutralnim elementom za zbrajanje, nulom, i brojevima koji su njima suprotni, to jest brojevima s kojima zbrojeni daju nulu.
Skup prirodnih brojeva nije zatvoren za oduzimanje – razlika dva prirodna broja može, ali ne mora biti prirodan broj. Algebarska struktura skupa prirodnih brojeva nije grupa s obzirom na operaciju zbrajanja, jer za element
ne postoji njemu inverzan element
. Da bismo odredili svaku razliku
gdje su
koju definiramo sa
, gdje je sa
označen inverzni element od
, proširujemo skup
s takvim inverzima prirodnih brojeva i dodajemo poseban element 0, koji s obzirom na operaciju zbrajanja čini jedinični element takve konstruirane grupe. U tom smislu i u matematičkoj notaciji skup cijelih brojeva
je upravo takva aditivna grupa:
Kažemo da je skup cijelih brojeva unija negativnih cijelih brojeva, neutralnog elementa za zbrajanje i prirodnih brojeva. Prema tome, skup prirodnih brojeva je pravi podskup skupa cijelih brojeva, što se piše kao .[1]
Element 0 sa svojstvom da je nazivamo nulom, a inverze prirodnih brojeva u konstruiranoj grupi nazivamo suprotnim elementima prirodnih brojeva ili negativnim cijelim brojevima. Vrijedi
, pošto je i asocijativnost zadovoljena kažemo da je skup cijelih brojeva aditivna grupa.
No, skup cijelih brojeva čini također i komutativni prsten zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, a nula u prstenu ima svojstvo da
u njemu nema rješenje (kao ni u jednom drugom prstenu brojeva). Skup cijelih brojeva je, kao i skup prirodnih brojeva, uređen skup. On najvećeg (maksimalnog), ali ni najmanjeg (minimalnog) elementa i ekvipotentan je skupu prirodnih brojeva, to jest postoji bijekcija iz
u
.