מרחב אפיני

במתמטיקה, ובפרט באלגברה, מרחב אפיני הוא מבנה גאומטרי אשר מכליל את המושג המרחב האוקלידי בכך שהוא מקיים את התכונות של מרחב אוקלידי מבלי להגדיר מושגים כגון מרחק וגודל זוויות, אך תוך שימור תכונת היחסיות בין אורכי קטעים.

הערך נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה, אתם מתבקשים שלא לערוך את הערך בטרם תוסר ההודעה הזו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניח התבנית.

המרחב האפיני בנוי מאוסף נקודות ומרחב וקטורי המייצג את הכיוונים בין הנקודות השונות במרחב. באופן זה, במרחב האפיני לא קיימת ראשית צירים, אלא כל נקודה במרחב יכולה לשמש כראשית צירים. תכונה זו עומדת בניגוד למרחב הוקטורי, בו נקודה אחת מזוהה כראשית הצירים וכל שאר הנקודות מיוצגות כוקטורים ממנה.

סימונים

בערך זה נסמן ב-${\displaystyle A}$ ו-${\displaystyle B}$ קבוצות של נקודות.

נסמן ב-${\displaystyle F}$ שדה כלשהו, כאשר לרוב ${\displaystyle F=\mathbb {R} }$, שהוא שדה הממשיים. נסמן ב-${\displaystyle 0}$ ו-${\displaystyle 1}$ את איבר האפס ואיבר היחידה של השדה ${\displaystyle F}$ בהתאמה.

נסמן ב-${\displaystyle {\vec {A}}}$ ו-${\displaystyle {\vec {B}}}$ מרחבים וקטוריים מעל ${\displaystyle F}$.

נסמן את פעולת החיבור ${\displaystyle +}$ הן כפעולת החיבור בין הוקטורים במרחב הוקטורי והן כפעולה בין נקודה לוקטור במרחב האפיני. ההבדל בין שתי הפעולות יהיה תלוי בהקשר.

נסמן ב-${\displaystyle 0}$ את וקטור האפס במרחבים וקטורים, כאשר נבדיל בין איבר האפס ב-${\displaystyle F}$ לוקטור האפס במרחב הוקטורי על פי ההקשר.

הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצת נקודות ${\displaystyle A}$, מרחב וקטורי ${\displaystyle {\vec {A}}}$ מעל ${\displaystyle F}$, ופעולה ${\displaystyle +:A\times {\vec {A}}\to A}$, הזוג הסדור ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ייקרא מרחב אפיני אם ורק אם הוא מקיים את התנאים הבאים:^[1]

1. לכל נקודה ${\displaystyle a\in A}$ מתקיים ש-${\displaystyle a+0=a}$
2. אסוציאטיביות: לכל ${\displaystyle a\in A}$ ו-${\displaystyle u,v\in {\vec {A}}}$ מתקיים ש-${\displaystyle (a+u)+v=a+(u+v)}$.
3. לכל זוג נקודות ${\displaystyle a,b\in A}$ קיים וקטור יחיד ${\displaystyle v\in {\vec {A}}}$ כך ש-${\displaystyle a+v=b}$. מסמנים את וקטור זה ב-${\displaystyle b-a}$ או ב-${\displaystyle {\vec {ab}}}$

תנאי 3 שקול לכך שבהינתן נקודה כלשהי ${\displaystyle a\in A}$, ההעתקה ${\displaystyle v\to a+v}$ מ-${\displaystyle {\vec {A}}}$ ל-${\displaystyle A}$ היא העתקה הפיכה.

תכונות אלגבריות

בהינתן מרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$, קבוצת נקודות ${\displaystyle a,b,c,d\in A}$ ווקטור ${\displaystyle v\in {\vec {A}}}$, מתקיימים השוויונים הבאים:

• ${\displaystyle b-a=-(a-b)}$
• ${\displaystyle (b-a)+(c-d)=(c-a)+(b-d)}$
• ${\displaystyle (b-a)+(c-b)=c-a}$
• תכונת המקבילית: אם ${\displaystyle b-a=d-c}$ אז בהכרח ${\displaystyle c-a=d-b}$
• ${\displaystyle (a+v)-b=(a-b)+v}$
• ${\displaystyle a-(b+v)=(a-b)-v}$

מרכז כובד

בהינתן מרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$, מספר טבעי ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, אוסף נקודות ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ואוסף סקלרים ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in F}$ המקיימים ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda _{1}}=1}$, ניתן להוכיח שלכל זוג נקודות ${\displaystyle o_{1},o_{2}\in A}$ כלשהן מתקיים השוויון:

${\displaystyle o_{1}+\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}(a_{i}-o_{1})}=o_{2}+\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}(a_{i}-o_{2})}}$

בשל כך, עבור ${\displaystyle o\in A}$ כלשהו ניתן להגדיר את הנקודה ${\displaystyle o+\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}(a_{i}-o)}}$ להיות מרכז הכובד של ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ לפי ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$. כאמור, נקודה זו אינה תלויה בבחירה של ${\displaystyle o}$. נהוג לסמן נקודה זו בסימון ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}$.

באופן שקול, מרכז הכובד של ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ לפי ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$ הוא הנקודה ${\displaystyle x\in A}$ כך שמתקיים ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}(a_{i}-x)}=0}$. ניתן להוכיח כי ${\displaystyle x}$ זה קיים תמיד וכי הוא יחיד.

תת-מרחב אפיני

בהינתן מרחב אפיני ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$, תת-מרחב וקטורי ${\displaystyle {\vec {B}}\subseteq {\vec {A}}}$ ונקודה ${\displaystyle b\in A}$, ניתן להגדיר את הקבוצה:

${\displaystyle b+{\vec {B}}:=\{b+v\mid v\in {\vec {B}}\}}$

קבוצה ${\displaystyle B\subseteq A}$ תקרא תת-מרחב אפיני של ${\displaystyle A}$ אם ורק אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים:^[2]

• קבוצת הוקטורים ${\displaystyle {\vec {B}}:=\{a-b\mid a,b\in B\}}$ מהווה תת-מרחב וקטורי של ${\displaystyle {\vec {A}}}$
• קיים תת-מרחב וקטורי ${\displaystyle {\vec {B}}\subseteq {\vec {A}}}$ כך שלכל ${\displaystyle b\in B}$ מתקיים ש-${\displaystyle B=b+{\vec {B}}}$
• קיים תת-מרחב וקטורי ${\displaystyle {\vec {B}}\subseteq {\vec {A}}}$ ו-${\displaystyle b\in B}$ כלשהו כך ש-${\displaystyle B=b+{\vec {B}}}$
• לכל מספר טבעי ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, אוסף נקודות ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}\in B}$ ואוסף סקלרים ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in F}$ המקיימים ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda _{1}}=1}$, מתקיים שמרכז הכובד ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}b_{i}}}$ שייך גם הוא ל-${\displaystyle B}$. כלומר, ${\displaystyle B}$ סגור ללקיחת מרכז כובד.

עבור כל התנאים לעיל, המרחב ${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ הוא מרחב אפיני בפני עצמו ביחס לפעולת החיבור בין נקודה לוקטור כפי שהוגדרה עבור המרחב ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$.

העתקה אפינית

ערך מורחב – העתקה אפינית

בהינתן זוג מרחבים אפינים ${\displaystyle (A,{\vec {A}})}$ ו-${\displaystyle (B,{\vec {B}})}$ מעל אותו שדה ${\displaystyle F}$, העתקה ${\displaystyle f:A\to B}$ תקרא העתקה אפינית אם ורק אם היא מקיימת את אחד התנאים השקולים הבאים:

1. לכל ${\displaystyle a,b,c,d\in A}$ המקיימים ${\displaystyle a-b=c-d}$ מתקיים גם ש-${\displaystyle f(a)-f(b)=f(c)-f(d)}$
2. קיימת פונקציה ${\displaystyle {\vec {f}}:{\vec {A}}\to {\vec {B}}}$ כך שלכל ${\displaystyle a\in A}$ ו-${\displaystyle v\in {\vec {A}}}$ מתקיים ש-${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\vec {f}}(v)}$

במקרה זה, ${\displaystyle {\vec {f}}}$ מוגדרת היטב ויחידה, וכן ניתן להוכיח כי היא העתקה ליניארית מ-${\displaystyle {\vec {A}}}$ ל-${\displaystyle {\vec {B}}}$. במקרה שבו התחום והטווח של העתקה אפינית ${\displaystyle f}$ הם אותו המרחב, ${\displaystyle f}$ תקרא אנדומורפיזם.

ניתן להוכיח כי כל העתקה אפינית משמרת מרכז כובד. כלומר, לכל מספר טבעי ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, אוסף נקודות ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in A}$ ואוסף סקלרים ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in F}$ המקיימים ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\lambda _{1}}=1}$, מתקיים ש:

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}f(a_{i})}}$

הערות שוליים

1. Eric W. Weisstein, Affine Space, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
2. Jean H. Gallier, Basics of Affine Geometry, Pen Engineering, ‏9/1/2023