נורמה (אנליזה)

באנליזה מתמטית, נורמה היא פונקציה ממשית המוגדרת על מרחב וקטורי, ומתאימה לכל וקטור ערך ממשי, באופן שמתמלאים מספר תנאים. תנאים אלו מבוססים על התכונות היסודיות של האורך המוכר במרחב האוקלידי. מרחב וקטורי שמוגדרת עליו נורמה נקרא מרחב נורמי. בדומה למטריקה, שהיא הכללה חופשית ורחבה של מושג המרחק, הנורמה מודדת מרחקים יחסיים, ואפשר לראות בה מטריקה שאינה מושפעת מהזזות.

הגדרה

האורך במרחב האוקלידי מקיים את הדרישות הטבעיות הבאות:

• אורך הוא תמיד חיובי, חוץ מאורכו של וקטור האפס, שהוא אפס.
• מתיחה של הווקטור בסקלר מכפילה גם את האורך בערכו המוחלט של אותו סקלר.
• מתקיים אי שוויון המשולש.

בשל תכונות אלה, מגדירים נורמה כפונקציה ממרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ מעל שדה המספרים הממשיים ${\displaystyle \mathbb {R} }$ או שדה המספרים המרוכבים ${\displaystyle \mathbb {C} }$, אל המספרים הממשיים (כלומר ${\displaystyle \|\cdot \|\colon V\to \mathbb {R} }$), המקיימת את האקסיומות הבאות:

1. ${\displaystyle \|x\|\geq 0}$, ו- ${\displaystyle \|x\|=0}$ אם ורק אם ${\displaystyle x=0}$ (חיוביות)
2. ${\displaystyle \|\lambda \cdot x\|=|\lambda |\cdot \|x\|}$ (הומוגניות)
3. ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$ (אי-שוויון המשולש)

עידון של אי-שוויון המשולש

לכל וקטור ${\displaystyle \ x}$, נסמן ב-${\displaystyle \ x'=x/\|x\|}$ את וקטור היחידה באותו כיוון. לכל שני וקטורים x,y מתקיים ${\displaystyle \ \alpha \min\{\|x\|,\|y\|\}\leq |\|x\|+\|y\|-\|x+y\||\leq \alpha \max\{\|x\|,\|y\|\}}$, כאשר ${\displaystyle \ \alpha =2-\|x'+y'\|}$ ^[1] מכאן נובע ש-${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$ אם ורק אם הדבר נכון לווקטורי היחידה המתאימים. תופעה זו אפשרית גם כאשר x,y שונים (למשל בנורמת ${\displaystyle \ell _{1}}$). מרחב נורמי שבו ספירת היחידה אינה מכילה קטעים נקרא מרחב קמור לחלוטין.

דוגמאות

הערך המוחלט

הערך המוחלט הסטנדרטי הוא נורמה המוגדרת על הישר הממשי עצמו (זו נורמת ${\displaystyle L_{1}}$ המוגדרת על ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

נורמה במרחבי מכפלה פנימית

בכל מרחב מכפלה פנימית מוגדרת נורמה על ידי ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$, כאשר ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ המכפלה הפנימית במרחב. אומרים שהנורמה הזו מושרית על ידי המכפלה הפנימית.

משפט: נורמה מושרית על ידי מכפלה פנימית אם ורק אם היא מקיימת את שוויון המקבילית, הוא ${\displaystyle \|f+g\|^{2}+\|f-g\|^{2}=2\|f\|^{2}+2\|g\|^{2}}$.

הסיבה לכך (במקרה הממשי) היא שאם הנורמה אכן מושרית על ידי מכפלה פנימית, אפשר לשחזר את המכפלה הפנימית על ידי "הזהות הפולרית" ${\displaystyle (x,y)={\frac {1}{2}}(\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2})}$, ובמקרה זה חישוב ישיר מראה שהנורמה מקיימת את שוויון המקבילית. הנוסחה למכפלה פנימית של מרחב וקטורי מעל המרוכבים מעט יותר מסובכת.

יחס דומה, מעט כללי יותר, מתקיים בין תבניות ריבועיות לבין תבניות ביליניאריות.

נורמת L^p

דוגמה לנורמה במרחב הווקטורי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ היא נורמת ${\displaystyle L^{p}}$, אשר מוגדרת במשוואה:

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p}}\right)^{1 \over p}}$

לכל ${\displaystyle p\geq 1}$ ממשי קבוע.

את אי שוויון המשולש אפשר להוכיח באמצעות אי-שוויון הלדר/תנאי הלדר. עבור ${\displaystyle p=2}$ מקבלים את הנורמה האוקלידית. עבור ${\displaystyle p=1}$ מקבלים את הנורמה המתאימה לגאומטריית מנהטן.

הנורמה הסטנדרטית במרחב האוקלידי

הנורמה המקובלת ביותר במרחב הווקטורי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ היא ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}}$, הנקראת הנורמה הסטנדרטית, הנורמה האוקלידית או נורמת ${\displaystyle L^{2}}$. זוהי הנורמה הטבעית במרחבי מכפלה פנימית ומקיימת את התכונות הגאומטריות המוכרות לנו.

נורמת המקסימום

נורמת המקסימום של וקטור היא הערך המוחלט הגדול ביותר מבין הקואורדינטות שלו, כלומר ${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(|x_{1}|,\ldots ,|x_{n}|\right)}$.

נורמת המקסימום היא הגבול של הנורמות ${\displaystyle L_{p}}$ כאשר ${\displaystyle p}$ שואף לאינסוף, במובן הבא: ${\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert _{p}}$, ועל כן היא נקראת ${\displaystyle L_{\infty }}$.

נורמה אופרטורית

במרחב הילברט מגדירים את הנורמה הבאה של אופרטור לינארי ${\displaystyle A:H\to H}$ באופן הבא:

${\displaystyle \|A\|_{\mathrm {op} }:=\sup \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\neq 0\right\}=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

נורמה זו נקראת נורמה אופרטורית. נורמה זו מודדת מה המידה המקסימלית שבה האופרטור A יכול להגדיל וקטור (אלגברה). ניתן להכליל נורמה זו לכל אופרטור ${\displaystyle A:V\to W}$ כאשר V ו-W הם מרחבים נורמיים.

תכונות נוספות

• כל מרחב נורמי הוא גם מרחב מטרי, כאשר המטריקה מוגדרת על ידי ${\displaystyle g(x,y)=\|x-y\|}$, ובפרט הוא הופך להיות מרחב טופולוגי. זה מאפשר להגדיר גבול של סדרות: סדרה ${\displaystyle x_{n}}$ שואפת לגבול ${\displaystyle L}$ אם ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\|x_{n}-L\|}=0}$.
• את הנורמה אפשר 'לקרוא' מתוך כדור היחידה שלה. כדור היחידה חייב לחתוך כל קרן היוצאת מהמרכז, להיות סימטרי (לשיקוף ${\displaystyle x\mapsto -x}$), וקמור.

נורמות שקולות

בהינתן מרחב וקטורי ${\displaystyle V}$ ושתי פונקציות נורמה המוגדרות עליו ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{\alpha },\lVert \cdot \rVert _{\beta }}$ נאמר כי שתי הנורמות שקולות אם קיים ${\displaystyle 1<C}$ כך שלכל ${\displaystyle x\in V}$:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{C}}\lVert x\rVert _{\beta }\leq \lVert x\rVert _{\alpha }\leq C\lVert x\rVert _{\beta }}$

נורמות שקולות משרות על המרחב את אותה הטופולוגיה. נובע מכך כי כל סדרה מתכנסת על פי נורמה אחת מתכנסת על פי השנייה.

ניתן להוכיח כי אם ${\displaystyle V}$ הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אז כל הנורמות המוגדרות עליו שקולות זו לזו.

ראו גם

• מרחב נורמי
• נורמה של אופרטור
• נורמה (אלגברה)
• נורמה-למחצה
• ערך מוחלט

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא נורמה בוויקישיתוף

• נורמה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

1. Some Remarks on the triangle inequality for norms, Lech Maligranda, Banach J. Math. Anal 2008(2), 31--41.
2. equivalent norms, planetmath.org