בגאומטריה דיפרנציאלית, מטריקה רימנית היא כלל המתאים באופן חלק לכל נקודה על יריעה חלקה מכפלה פנימית על המרחב המשיק ליריעה בנקודה זו. בעזרת כלל זה ניתן להגדיר אורך של קטעים אינפיניטסימלים על עקום ועל ידי אינטגרציה, את האורך של העקום. כמו כן מטריקה רימנית מאפשרת להגדיר זוויות בין עקומים שעוברים דרך אותה נקודה. מטריקה רימנית קרויה על שם ממציאה, ברנהרד רימן. יריעה חלקה יחד עם מטריקה רימנית נקראת יריעה רימנית.
המרחק המתקבל ממטריקה רימנית
בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אורך של עקום :[a,b]\to M}
על ידי
![{\displaystyle \ L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))}}dt=\int _{a}^{b}{{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}dt}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1a8867b9ee3da7afe7dbf348876823c66850849)
ומכאן להגדיר את המרחק (מטריקה) בין שתי נקודות להיות האינפימום של האורכים של עקומים שמתחילים בנקודה אחת ומסתיימים בשנייה. פונקציית המרחק הזו היא מטריקה.
אלמנט נפח
בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אלמנט נפח אינווריאנטי על ידי
![{\displaystyle \ dV=dx^{1}\cdots dx^{n}{\sqrt {\det {g}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62131bc73db4b5841b73992a6aac3eae565ad79b)
ואלמנט נפח כזה הוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות.
ההוכחה לכך היא כזו:
ראשית,
![{\displaystyle \ d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n}={\frac {\partial (d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n})}{\partial (d{x}^{1}\cdots d{x}^{n})}}d{x}^{1}\cdots d{x}^{n}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729899d7861be523ce92e87882c653fe63e78c9e)
כאשר
![{\displaystyle \ {\frac {\partial (d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n})}{\partial (d{x}^{1}\cdots d{x}^{n})}}=\det {\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\right)}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8761c16cc3749c4efcfd886a7ac67791c3c2ceaa)
הוא היעקוביאן של הטרנספורמציה.
כמו כן,
![{\displaystyle \ {\bar {g}}_{\mu \nu }={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}g_{\alpha \beta }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769428ef1d2cc001d903d054c0a16c02f9435783)
ולכן, מכפליות של דטרמיננטה,
![{\displaystyle \ \det {\bar {g}}=\det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}\cdot \det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}\cdot \det {g}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce81e0e17d2279dc7fa34b77971dbe67950e5c3a)
או
![{\displaystyle \ {\sqrt {\det {\bar {g}}}}=\det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}{\sqrt {\det {g}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7adb2f8dbb45402bfd22757f6cd5ae623e7dba3)
לכן
![{\displaystyle \ d{\bar {V}}=d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}=\det {\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial {x}^{\nu }}}\right)}\cdot dx^{1}\cdots dx^{n}\cdot \det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}{\sqrt {\det {g}}}=dx^{1}\cdots dx^{n}{\sqrt {\det {g}}}=dV}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7da0aba90987e33ecad3ffe63ca2b2982e560979)
שכן מדובר בדטרמיננטות של מטריצה וההפכית לה
(
).
כדי לתאר מטריקה רימנית, נהוג לבחור מערכת קואורדינטות מקומיות ולתאר את המטריקה הרימנית בעזרת המטריצה של פונקציות
.
- כאשר בוחרים מערכת קואורדינטות מקומיות
כלשהן ביחס למרחב האוקלידי והקואורדינטות הקרטזיות, המטריקה נתונה על ידי מטריצת גראם: ![{\displaystyle g_{ij}=\langle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ad01a3bbf838a7dbfdfe8048b4ef393c2b91c8)
- אם
היא מטריקה רימנית על יריעה
ו
היא תת יריעה, הצמצום של
הוא המטריקה על
הנתונה על ידי
, כאשר
.
- המטריקה על הספירה
המתקבלת מצמצום המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי ניתנת (בקואורדינטות כדוריות) על ידי המטריצה
![{\displaystyle \ \left({\begin{matrix}1&0\\0&\sin ^{2}(\theta )\end{matrix}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fbf462cb4fa39ea7146eff2e91f2bd3ea8a439)
- אם מסירים את הדרישה ש
תהיה מוגדרת חיובית (אבל דורשים שהיא תהיה לא מנוונת) האובייקט המתקבל נקרא מטריקה פסאודו-רימנית. מטריקה פסאודו-רימנית מסיגנטורה (n-1,1) נקראת מטריקה לורנצית. על פי תורת היחסות, על המרחב-זמן יש מטריקה לורנצית.
- מטריקה רימנית על אגד וקטורי כלשהו היא חתך של האגד
כך שבכל נקודה, התבנית המתקבלת היא מכפלה פנימית. על כל אגד וקטורי קיימת מטריקה רימנית.
- פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק נקראת מטריקת פינסלר (Finsler).