מטריצה חיובית

באלגברה ליניארית, מטריצה ממשית סימטרית A היא מטריצה חיובית (positive) אם התבנית הריבועית ${\displaystyle q(x)=x^{T}Ax}$ היא חיובית, כלומר אם ${\displaystyle q(x)\geq 0}$ לכל וקטור (ממשי) ${\displaystyle x}$. המטריצה ${\displaystyle A}$ היא חיובית לחלוטין (positive definite; בשימוש גם הביטוי השגוי "מטריצה מוגדרת חיובית") אם התבנית חיובית לחלוטין: ${\displaystyle q(x)>0}$ לכל ${\displaystyle x\neq 0}$ (זו כמובן תכונה חזקה יותר).

התכונה המקבילה לסימטריות עבור מטריצות מרוכבות, היא תכונת ההרמיטיות. מטריצה הרמיטית מרוכבת היא חיובית אם לכל וקטור (מרוכב) ${\displaystyle x}$ מתקיים ${\displaystyle x^{*}Ax\geq 0}$, וחיובית לחלוטין אם לכל וקטור ${\displaystyle x\neq 0}$ מתקיים ${\displaystyle x^{*}Ax>0}$. תנאים אלה שקולים לכך שכל הערכים העצמיים של המטריצה יהיו ממשיים וחיוביים (ובהתאמה, חיוביים ממש), ומשום כך מטריצות חיוביות מתנהגות מהרבה בחינות כמו מספרים ממשיים חיוביים. לדוגמה, מטריצה ${\displaystyle A=(a)}$ בגודל ${\displaystyle 1\times 1}$ היא הרמיטית רק כאשר ${\displaystyle a}$ ממשי. המטריצה חיובית אם ${\displaystyle a\geq 0}$, וחיובית לחלוטין אם ${\displaystyle a>0}$.

תכונות של מטריצות חיוביות וחיוביות לחלוטין

אוסף המטריצות החיוביות סגור לחיבור ולכפל בסקלר חיובי. כך גם אוסף המטריצות החיוביות לחלוטין. בנוסף לזה, מטריצה חיובית היא חיובית לחלוטין אם ורק אם 0 אינו ערך עצמי שלה, כלומר אם ורק אם היא הפיכה. לבסוף, ההפכית של מטריצה חיובית לחלוטין גם היא חיובית לחלוטין. שני האוספים סגורים גם לפעולה ${\displaystyle A\mapsto PAP^{t}}$.

מאחר שכל הערכים העצמיים של מטריצה חיובית הם חיוביים, מתקבל כי אם ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ מטריצה חיובית אז ${\displaystyle \det(A)\geq 0}$ ו-${\displaystyle \operatorname {tr} (A)\geq 0}$. מעבר לכך, אם ${\displaystyle A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ מטריצות חיוביות מתקיים כי ${\displaystyle \operatorname {tr} (AB)\geq 0}$.

כאמור, מטריצה הרמיטית M היא חיובית אם לכל ${\displaystyle \ z\in \mathbb {C} ^{n}}$ מתקיים ${\displaystyle \ z^{*}Mz\geq 0}$. על ידי הפרדת הווקטור z לרכיב ממשי ורכיב מדומה אפשר לראות שמספיק לבדוק את תכונת החיוביות לווקטורים ממשיים ${\displaystyle \ z\in \mathbb {R} ^{n}}$.

אם ${\displaystyle \ M,N}$ חיוביות אז גם מכפלת אדמר ${\displaystyle \ M\circ N}$ חיובית; זהו "משפט המכפלה של שור".

קריטריון לבדיקה האם מטריצה היא חיובית הוא קריטריון סילווסטר (Sylvester's criterion).

פירוק של מטריצה חיובית

כידוע, לכל מספר מרוכב ${\displaystyle \ z\neq 0}$, הנורמה המרוכבת ${\displaystyle \ |z|^{2}=z{\bar {z}}}$ היא מספר ממשי חיובי. ההכללה של עובדה פשוטה זו למטריצות קובעת שלכל מטריצה (מרוכבת) ${\displaystyle \ C}$, המטריצה ${\displaystyle \ A=C^{*}C}$ היא חיובית; אם ${\displaystyle \ C}$ הפיכה, אז ${\displaystyle \ A}$ חיובית לחלוטין.
בעזרת משפט הלכסון האוניטרי, אפשר להראות שגם ההפך נכון: כל מטריצה חיובית ${\displaystyle \ A}$ אפשר לפרק בצורה ${\displaystyle \ A=C^{*}C}$ עבור מטריצה ${\displaystyle \ C}$ מתאימה. יתרה מזו, אם ${\displaystyle \ A}$ (סימטרית) ממשית, אפשר לדרוש שגם ${\displaystyle \ C}$ תהיה ממשית. בדרך דומה אפשר להוכיח גם ש(כמו במספרים ממשיים חיוביים) אם ${\displaystyle \ A}$ חיובית, אז לכל n טבעי קיימת מטריצה חיובית ${\displaystyle \ B}$ כך ש- ${\displaystyle \ A=B^{n}}$.

הקשר למרחבי מכפלה פנימית

במרחב מכפלה פנימית, טרנספורמציה הרמיטית T היא חיובית אם ${\displaystyle (Tx,x)\geq 0}$ לכל וקטור x, וחיובית לחלוטין אם ${\displaystyle \ (Tx,x)>0}$ לכל וקטור ${\displaystyle \ x\neq 0}$. הגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה עבור מטריצות, אם בוחרים כמרחב המכפלה הפנימית את ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}}$ (או ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}$), עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית, ורואים את המטריצה A כטרנספורמציה ${\displaystyle \ x\mapsto Ax}$ של כפל ב- A.

במרחב ${\displaystyle \ V=\mathbb {C} ^{n}}$, התבנית ${\displaystyle \ \langle x,y\rangle =x^{*}My}$ היא הרמיטית אם ורק אם המטריצה הרמיטית, והיא מכפלה פנימית אם ורק אם M מטריצה חיובית לחלוטין. גם ההפך נכון: כל מכפלה פנימית במרחב V ניתנת להצגה כזו על ידי מטריצה חיובית לחלוטין.

שימושים באנליזה

תהי ${\displaystyle \ f{}:{}\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ פונקציה ממשית של n משתנים, שכל נגזרותיה החלקיות מסדר שני הן רציפות. תנאי זה מבטיח שמטריצת ההסיאן שלה ${\displaystyle \ H(f)}$ (דהיינו מטריצת הנגזרות השניות) תהיה מטריצה סימטרית (בגודל ${\displaystyle \ n\times n}$). תנאי הכרחי לכך שנקודה ${\displaystyle \ x_{0}}$ תהיה נקודת קיצון, הוא שכל הנגזרות החלקיות יתאפסו, כלומר הגרדיאנט הוא אפס ${\displaystyle \nabla f(x_{0})=0}$. במקרה זה, הפיתוח לטור טיילור מראה שמטריצת ההסיאן ${\displaystyle \,A=H(f)}$ קשורה קשר הדוק להתנהגות של הפונקציה בסביבות הנקודה: אם ${\displaystyle \,A}$ חיובית לחלוטין, אז ${\displaystyle \ x_{0}}$ מינימום מקומי במובן החזק (כלומר: קיימת סביבה של ${\displaystyle \ x_{0}}$, שבה ${\displaystyle \ f(x_{0})<f(x)}$ לכל ${\displaystyle \ x\neq x_{0}}$). ואם ${\displaystyle \ x_{0}}$ מינימום מקומי במובן החלש (כלומר: קיימת סביבה של ${\displaystyle \ x_{0}}$, שבה ${\displaystyle \ f(x_{0})\leq f(x)}$ לכל ${\displaystyle \,x}$), אז ${\displaystyle \,A}$ היא מטריצה חיובית. הכיוון ההפוך אינו נכון בשני המקרים.

מינורים

המתמטיקאי הגרמני קרל גוסטב יעקב יעקובי מצא דרך לבדוק את החיוביות של מטריצה בעזרת המינורים הראשיים שלה: מטריצה ${\displaystyle \,A}$ היא חיובית לחלוטין אם ורק אם כל המינורים הראשיים שלה חיוביים. על ידי הצמדה במטריצת תמורה, נובע מכאן שאם כל המינורים הראשיים חיוביים, אז כל המינורים חיוביים. (לתכונות נוספות, ראו משפט יעקובי על שקילות למטריצה אלכסונית).

הדטרמיננטה של מטריצה חיובית לחלוטין ${\displaystyle \,A}$ מקיימת את "אי-שוויון פישר", שגילה E. Fischer ב-1908: ${\displaystyle \ \det(A)\leq \det(A[X])\det(A[X^{c}])}$. כאן ${\displaystyle \ A[X]}$ הוא המינור המתקבל ממחיקת כל השורות והעמודות שאינן בקבוצת האינדקסים ${\displaystyle \,X}$, ו-${\displaystyle \ X^{c}}$ הוא המשלים של הקבוצה ${\displaystyle \,X}$. אי-שוויון זה מכליל אי-שוויון מפורסם אחר, שגילה אדמר ב-1893: ${\displaystyle \ \det(A)\leq A_{11}\dots A_{nn}}$.

מושגים קרובים

בדומה לתכונת החיוביות, אומרים שמטריצה הרמיטית היא מטריצה שלילית אם כל הערכים העצמיים שלה שליליים, ושלילית לחלוטין אם הערכים העצמיים שליליים ושונים מאפס. מטריצה (הרמיטית) שיש לה ערכים עצמיים חיוביים ושליליים, אינה מוחלטת (indefinite).

בשל הקרבה בין המונח האנגלי definite לשורש define, יש שקוראים למטריצה חיובית לחלוטין "מוגדרת חיובית", ולמטריצה שאינה מוחלטת, "לא מוגדרת".

בניתוח של מטריצות סטוכסטיות קוראים למטריצה ממשית completely positive אם היא חיובית לחלוטין, ויש לה פירוק בצורה ${\displaystyle \ B^{t}B}$ שבו כל הרכיבים של B חיוביים.

הכללה

באלגבראות סי-כוכב, בהינתן אלגברת סי-כוכב A, אומרים שאיבר ${\displaystyle a\in A}$ הוא חיובי אם קיים איבר ${\displaystyle x\in A}$ כך ש ${\displaystyle a=x^{*}x}$. באופן שקול - a הוא חיובי אם ורק אם הספקטרום שלו מורכב רק מאיברים ממשיים אי שליליים.

קישורים חיצוניים

• מטריצה חיובית, באתר MathWorld (באנגלית)