פורטל:מתמטיקה
ויקיפדיה האנציקלופדיה encyclopedia
המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.
מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.
עריכהערכים מומלצים במתמטיקה
עריכהמאמר נבחר
גאומטריה פרויקטיבית היא גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה אחרת: כל שני ישרים במישור נפגשים בנקודה. הגאומטריה הפרויקטיבית נולדה מתוך הצרכים המעשיים של אמני הציור. לעומת הציור הרוחני והסמלי של ימי הביניים, לקראת הרנסאנס עלתה קרנו של הציור המדויק – הדומה לנראה בעין. החייאת הכתבים הקלאסיים והאמונה שבבסיס הטבע עומדים עקרונות מתמטיים, הובילה את הציירים והמתמטיקאים בני התקופה לנסות ולמצוא שיטה סדורה לציור העולם התלת-ממדי על בד ציור דו-ממדי. האמנים הראשונים בתחום זה שמשנתם ידועה לנו היו פיליפו ברונלסקי ולאונה בטיסטה אלברטי, שחיבר את הטקסט הראשון (הידוע כיום) בנושא, שכותרתו "על הציור" – De pictura. אנשי מפתח מאוחרים יותר בתחום זה הם פיירו דלה פרנצ'סקה, לאונרדו דה וינצ'י, אלברכט דירר ואחרים. המתמטיקאי ז'ראר דזרג (Gérard Desargues) היה ממניחי היסודות התאורטיים לגאומטריה הפרויקטיבית, ועסק בה יחד עם בלז פסקל. |
עריכהמומלצי פורטל נוספים
עריכהמתמטיקאי נבחר
לאונרד אוילר (Leonhard Euler) (15 באפריל 1707 – 18 בספטמבר 1783), מתמטיקאי ופיזיקאי שווייצרי מוביל, שבילה את רוב חייו ברוסיה ובגרמניה. הוא פרסם יותר עבודות במתמטיקה מאשר כל מתמטיקאי אחר בהיסטוריה. אוילר ביצע תרומות ותגליות בתחומים מגוונים, כמו חדו"א ותורת הגרפים. הוא גם הציג חלק נכבד מן המינוחים וסימני המתמטיקה המודרניים, במיוחד בתחום האנליזה מתמטית, כדוגמת סימון הפונקציה. כמו כן, הוא ידוע בזכות עבודתו במכניקה, באופטיקה ובאסטרונומיה. אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא היה המתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה: הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו. ישנם 60-80 מושגים במתמטיקה הנקראים על שמו. אמרה המיוחסת לפייר-סימון לפלס באה לתאר את גדולתו והשפעתו של אוילר במתמטיקה: "למדו מאוילר, למדו מאוילר, הוא המאסטר של כולנו". |
עריכהתמונה נבחרת
עצם אישנגו. רבים טוענים שהיא ראיה להבנתו של האדם את האריתמטיקה הפשוטה עוד בשנים 20,000-18,000 לפני הספירה. |
עריכהאנימציה נבחרת
קירוב של הפונקציה לפולינום מדרגה n באמצעות פיתוח לטור מקלורן. |
קחו מספר תלת-ספרתי כלשהו, שאינו פלינדרום. הפכו את סדר ספרותיו וחסרו את המספר הקטן יותר מהגדול יותר. הפכו את סדר ספרותיה של התוצאה וחברו עמה את המתקבל (התייחסו למספר דו-ספרתי כמספר תלת-ספרתי, למשל אל 99 כאל 099). התוצאה שתקבלו, לא משנה מהו המספר שבחרתם בתחילת החישוב, היא 1089.
(תורת המספרים) מייצרת, ללא מאמץ, בעיות רבות מספור שיש להן ריח תמים ומתוק, כפרחים מפתים; ועם זאת... תורת המספרים שורצת בחרקים, המחכים לנשוך את אוהבי הפרחים המפותים, אשר מרגע שננשכו, מקבלים השראה להמשיך במאמץ!
הבינום של ניוטון. הנוסחה הייתה ידועה זמן רב לפני תקופתו של ניוטון, אולם ניוטון היה הראשון שפיתח הכללה שלה עבור לא שלם, כחלק מהפיתוח של החדו"א. הנוסחה המקורית שימושית באלגברה וההכללה שלה שימושית גם באנליזה. ראו גם: משולש פסקל ומקדמי הבינום.
בתמונה מופיעה מפה של הגשרים של קניגסברג. האם יש מסלול סגור העובר דרך כל אחד מהגשרים פעם אחת בלבד? אם כן, מהו?
עריכהאוצרות הרשת
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (באנגלית) אתר חובה לאוהבי מתמטיקה. זהו אתר עשיר ונפלא, מלא ברעיונות מעניינים מכל תחומי המתמטיקה, בעיות, הוכחות וחידות. דפים רבים כוללים תוכניות Java ו-JavaScript, ההופכות את הביקור באתר לחוויה אינטראקטיבית. באתר הפניות לאתרים מתמטיים נוספים ולספרות מתמטית פופולרית, ולכן הוא מהווה נקודת מוצא מצוינת למי שמחפש מתמטיקה באינטרנט. את האתר הקים אלכסנדר בוגומולני, שאת תואר הדוקטור במתמטיקה קיבל באוניברסיטה העברית בירושלים. |
עריכהמדף הספרים
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: לנסלוט הוגבן (אנ'), מתמטיקה למיליון, הוצאת "ניצנים", שנות ה-50 של המאה ה-20. הספר יצא לאור במקורו באנגלית ב-1936 וזכה לפופולריות רבה. הספר סוקר את התפתחות המתמטיקה מהיוונים ועד למחצית המאה ה-19 בערך, עם דגש על השלכות והשפעת הידע המתמטי על תחומי החיים, כמו ניווט, כלכלה, טכנולוגיה ועוד. לסופר נקודת מבט מרקסיסטית, והספר כתוב בצורה מרתקת. לא מיועד למי שמעוניין ללמוד מתמטיקה מתקדמת, אך מספק נקודת מבט מעניינת, מקורית ומרתקת על ההיסטוריה של מתמטיקה. |
משפטים מפורסמים
|
השערות מפורסמות
|
אי-שוויון ברנולי הוא אי-שוויון יסודי ושימושי באנליזה מתמטית, המאפשר להעריך את הביטוי . האי-שוויון קובע ש- לכל מספר שלם ולכל מספר ממשי . את האי-שוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.
בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה עולה בזמן שהסדרה יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, , כגבולן המשותף.
נושאים במתמטיקה | |||
---|---|---|---|
כמות | אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים | ||
שינוי | אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית | ||
מבנה | אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים | ||
מרחב | אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג | ||
מתמטיקה בדידה | חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים | ||
יסודות ושיטות | לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות | ||
מתמטיקה יישומית | אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית | ||
עולם המתמטיקה | הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט | ||
עריכהמבט על תחום נבחר
חישוביות היא הבסיס למדעי המחשב, והיא עוסקת במודלים לחישוב ובפונקציות הניתנות לחישוב במסגרתם. בניגוד להנחה נפוצה, ישנן פונקציות שאי אפשר לחשב. בעיית העצירה מהווה דוגמה לפונקציה שכזו: ניתן להוכיח כי אין תוכנית היכולה לקבל כקלט תוכנית כלשהי והקלט לאותה התוכנית, ולקבוע האם התוכנית תעצור. במסגרת תאוריית החישוביות נבחנות תכונותיהם של מודלים חישוביים שונים, על ידי בדיקת מחלקת הפונקציות שניתן לחשב במודל, ושקילותה למחלקת הפונקציות של מודל אחר. ההיררכיה של חומסקי מתארת היררכיית מחלקות הניתנות לחישוב במודלים שונים, כך שלכל מחלקת פונקציות בהיררכיה מתאימים מודלים רבים, אשר שקולים זה לזה בכוחם החישובי – חישוב שניתן לבצע באחד מהמודלים ניתן לבצע גם באחרים. אחד המודלים הראשונים שנוצרו הוא מכונת טיורינג, אשר מהווה אבן דרך בתורת החישוביות כולה, בשל פשטותו ודמיונו למחשב (שטרם הומצא בעת יצירת מודל זה). מודל אחר הוא זה של תחשיב למדא. הוכח ששני מודלים אלה, ומודלים רבים נוספים אחרים שהוצעו, שקולים זה לזה. מודלים אלה שקולים גם למחשב, אם נניח קיומו של זיכרון בלתי מוגבל בגודלו. תזת צ'רץ'-טיורינג משערת שכל פורמליזציה סבירה של מושג האלגוריתם תהיה שקולה למכונת טיורינג. |
ערכים המחפשים עורכים |
דיונים, ייעוץ ועזרה
|