Reflexión (matemáticas)

En matemáticas, unha reflexión ou simetría axial do plano euclidiano é unha simetría ortogonal con respecto a unha recta (recta vectorial se é un plano vectorial euclidiano). Constitúe logo unha simetría axial ortogonal.

A composición de dúas reflexións do plano de eixes paralelos é unha translación.

A composición de dúas reflexións do plano de eixes concorrentes é unha rotación plana arredor do punto de intersección dos eixes.

As reflexións, como todas as simetrías, son transformacións involutiva.

Unha reflexión é un antidesprazamento (ou isometría negativa).

Exemplos

Nun plano vectorial euclidiano cunha base ortonormal,

• A reflexión en relación co eixe de ${\displaystyle x}$ é a aplicación

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y)}$ ;

• reflexión relativa ao eixe ${\displaystyle y=x}$ é a aplicación

${\displaystyle (x,y)\mapsto (y,x)}$ ;

Propiedades xerais

As reflexións vectoriais dun espazo euclidiano pódense expresar mediante un vector ${\displaystyle k\neq 0}$ normal ao hiperplano de reflexión:

${\displaystyle s(x)=x-2{\frac {\langle x,k\rangle }{\|k\|^{2}}}k}$

Estas son isometrías vectoriais co determinante -1. Conservan o produto escalar mais transforman calquera base ortonormal nunha base ortonormal de orientación oposta. Recoñecemos na reflexión a expresión da proxección ortogonal sobre a recta xerada por k: ${\displaystyle s=\mathrm {Id} -2p_{k}}$; a reflexión é polo tanto tamén un endomorfismo autoadxunto.

Segundo o teorema de Cartan–Dieudonné, as reflexións xeran o grupo ortogonal. Máis precisamente, na dimensión n, calquera isometría vectorial é produto de como máximo n reflexións ^[1].