Forma modular

En matemáticas, unha forma modular é unha función analítica (complexa) no semiplano superior, ${\displaystyle \,{\mathcal {H}}\,}$, que satisfai:

• un tipo de ecuación funcional con respecto á acción de grupo do grupo modular,
• e unha condición de crecemento.

Polo tanto, a teoría das formas modulares pertence á análise complexa. A principal importancia da teoría son as súas conexións coa teoría de números. As formas modulares aparecen noutras áreas, como a topoloxía alxébrica e a teoría de cordas.

A teoría das formas modulares é un caso especial da teoría máis xeral das formas automorfas, que son funcións definidas nos grupos de Lie que se transforman ben con respecto á acción de certos subgrupos discretos, xeneralizando o exemplo do grupo modular ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$.

O termo "forma modular", como descrición sistemática, adoita atribuírselle a Hecke.

Cada forma modular está unida a unha representación de Galois.^[1]

Definición

En xeral,^[2] dado un subgrupo ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ de índice finito, denominado grupo aritmético, unha forma modular de nivel ${\displaystyle \Gamma }$ e peso ${\displaystyle k}$ é unha función holomorfa ${\displaystyle f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} }$ no semiplano superior que satisfai dúas condicións:

• Condición de automorfismo: para calquera ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ existe a igualdade ^{[note 1]} ${\displaystyle f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)}$
• Condición de crecemento: Para calquera ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ a función ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))}$ está limitada cando ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

onde ${\textstyle \gamma (z)={\dfrac {az+b}{cz+d}}}$, e a función ${\textstyle \gamma }$ identifícase coa matriz ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$ A identificación de esas funcións con esas matrices fai que a composición desas funcións corresponda á multiplicación de matrices. A maiores chámase forma cúspide (ou parabólica) cando cumpre as seguintes condicións de crecemento:

• Condición de forma cúspide: Para calquera ${\displaystyle \gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ a función ${\displaystyle (cz+d)^{-k}f(\gamma (z))\to 0}$ cando ${\displaystyle {\text{im}}(z)\to \infty }$

Como seccións dun fibrado de liñas

As formas modulares tamén se poden interpretar como seccións dun fibrado de liñas específico nas variedades modulares. Para ${\displaystyle \Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$, forma modular de nivel ${\displaystyle \Gamma }$ e peso ${\displaystyle k}$, pode definirse como un elemento de

${\displaystyle f\in H^{0}(X_{\Gamma },\omega ^{\otimes k})=M_{k}(\Gamma )}$

onde ${\displaystyle \omega }$ é un fibrado de liñas canónico na curva modular

${\displaystyle X_{\Gamma }=\Gamma \backslash ({\mathcal {H}}\cup \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {Q} ))}$

As dimensións destes espazos de formas modulares pódense calcular usando o teorema de Riemann-Roch. ^[3] As formas modulares clásicas para ${\displaystyle \Gamma ={\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )}$ son seccións dun fibrado de liñas na morea de módulos de curvas elípticas.

Función modular

Unha función modular é unha función que é invariante con respecto ao grupo modular, mais sen a condición de que f (z) sexa holomorfa no semiplano superior (entre outros requisitos). Pola contra, as funcións modulares son meromorfas (holomorfas en todo o plano agás nun conxunto de puntos illados, que son polos da función).

Formas modulares para SL(2, Z)

Definición estándar

Unha forma modular de peso k para o grupo modular

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|a,b,c,d\in \mathbf {Z} ,\ ad-bc=1\right\}}$

é unha función  f  de valores complexos no semiplano superior H = {z ∈ C, Im(z) > 0}, cumprindo as seguintes tres condicións:

1.  f  é unha función holomórfa en H.
2. Para calquera z ∈ H e calquera matriz en SL(2, Z), temos:

   ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$

3.  f  debe estar limitada cando z → i∞.

Observacións:

• O peso k é normalmente un número enteiro positivo.
• Para k impar, só a función cero pode satisfacer a segunda condición.
• A terceira condición tamén se formula dicindo que  f  é "holomórfica na cúspide". Explicitamente, a condición significa que existen algúns ${\displaystyle M,D>0}$ tal que ${\displaystyle \operatorname {Im} (z)>M\implies |f(z)|<D}$, significando que ${\displaystyle f}$ está limitada por riba dalgunha liña horizontal.
• A segunda condición para

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\qquad T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

di que

${\displaystyle f\left(-{\frac {1}{z}}\right)=z^{k}f(z),\qquad f(z+1)=f(z)}$

respectivamente. Dado que S e T xeran o grupo modular SL(2, Z), a segunda condición anterior é equivalente a estas dúas ecuacións.

• Posto que  f (z + 1) =  f (z), as formas modulares son funcións periódicas, con período 1, e polo tanto teñen unha serie de Fourier.

Definición en termos de retículas ou curvas elípticas

Unha forma modular pódese definir equivalentemente como unha función F do conxunto de retículas en C no conxunto de números complexos, que satisfaga certas condicións:

1. Se consideramos a retícula Λ = Zα + Zz xerada por unha constante α e unha variábel z, daquela F(Λ) é unha función analítica de z.
2. Se α é un número complexo distinto de cero e αΛ é a retícula obtida multiplicando cada elemento de Λ por α, daquela F(αΛ) = α^−kF(Λ) onde k é unha constante (normalmente un enteiro positivo) chamado peso da forma.
3. O valor absoluto de F(Λ) permanece limitado superiormente mentres o valor absoluto do elemento máis pequeno distinto de cero en Λ está limitado lonxe de 0.

A idea clave para probar a equivalencia das dúas definicións é que tal función F está determinada, debido á segunda condición, polos seus valores en retículas da forma Z + Zτ, onde τ ∈ H .

Exemplos

I. Serie de Eisenstein

Os exemplos máis sinxelos desde este punto de vista son as series de Eisenstein. Para cada número enteiro par k > 2, definimos que G_k(Λ) é a suma de λ^−k sobre todos os vectores distintos de cero λ de Λ:

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}.}$

Así G_k é unha forma modular de peso k. Para Λ = Z + Zτ temos

${\displaystyle G_{k}(\Lambda )=G_{k}(\tau )=\sum _{(0,0)\neq (m,n)\in \mathbf {Z} ^{2}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{k}}},}$

e

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{k}\left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&=\tau ^{k}G_{k}(\tau ),\\G_{k}(\tau +1)&=G_{k}(\tau ).\end{aligned}}}$

A condición k > 2 é necesaria para a converxencia; para k impar existe cancelación entre λ^−k e (−λ)^−k.

II. Funcións theta de retículas unimodulares pares

Unha retícula unimodular par L en Rⁿ é unha retícula xerada por n vectores que forman as columnas dunha matriz de determinante 1 e que cumpren a condición de que o cadrado da lonxitude de cada vector en L sexa un número enteiro par. A chamada función theta

${\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}}$

converxe cando Im(z) > 0, e como consecuencia da Fórmula da suma de Poisson pódese demostrar que é unha forma modular de peso n/2. Non é doado construír retículas unimodulares pares, mais podemos ver un caso da seguinte maneira: Sexa n un número enteiro divisíbel por 8 e considere todos os vectores v en Rⁿ tal que 2v teña coordenadas enteiras, todas pares ou todas impares, e tal que a suma das coordenadas de v é un número enteiro par. Chamámoslle a esta retícula L_n. Cando n = 8, esta é a retícula que xeran as raíces do sistema de raíces (configuración de vectores dun espazo euclidiano que verifica certas condicións xeométricas) chamado E₈. Como só hai unha forma modular de peso 8 ata a multiplicación escalar temos que,

${\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),}$

aínda que as retículas L₈ × L₈ e L₁₆ non son semellantes. John Milnor observou que os toros de 16 dimensións obtidos ao dividir R¹⁶ por estas dúas retículas son, en consecuencia, exemplos de espazos compactos que son isoespectrais mais non isométricos.

III. O discriminante modular

A función eta de Dedekind defínese como

${\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\qquad q=e^{2\pi iz}.}$

onde q é o cadrado da función nome. Así o discriminante modular Δ(z) = (2π)¹² η(z)²⁴ é unha forma modular de peso 12. A presenza do número 24 está relacionada co feito de que a retícula de Leech ten 24 dimensións. Unha conxectura de Ramanujan afirma que cando Δ(z) se expande como unha serie de potencias en q, o coeficiente de q^p para calquera p primo ten un valor absoluto ≤ 2p^11/2. Isto foi confirmado polo traballo de Eichler, Shimura, Kuga, Ihara e Pierre Deligne como resultado da proba de Deligne das conxecturas de Weil, que se demostrou que implicaban a conxectura de Ramanujan.

O segundo e terceiro exemplos dan algunha pista da conexión entre as formas modulares e cuestións clásicas na teoría de números, como a representación de números enteiros mediante formas cadráticas e a función de partición. O vínculo conceptual crucial entre as formas modulares e a teoría de números proporciónao a teoría dos operadores de Hecke, que tamén proporciona a conexión entre a teoría das formas modulares e a teoría da representación.

Funcións modulares

Cando o peso k é cero, pódese demostrar usando o teorema de Liouville que as únicas formas modulares son funcións constantes. Non obstante, relaxando o requisito de que f sexa holomorfa leva á noción de funcións modulares. Unha función f : H → C chámase modular se cumpre as seguintes propiedades:

• f é meromorfa no semiplano superior aberto H
• Para cada matriz enteira ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ no grupo modular Γ, ${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)}$.
• A segunda condición implica que f é periódica e, polo tanto, ten unha serie de Fourier. Esta serie ten que ser da forma

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}e^{2i\pi nz}.}$

Moitas veces escríbese en termos de ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$ (o cadrado do nome), como:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }a_{n}q^{n}.}$

Tamén se coñece como a q-expansión de f (principio de q-expansión). Os coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$ coñécense como coeficientes de Fourier de f, e o número m chámase orde do polo de f en i∞. Esta condición chámase "meromorfa na cúspide", o que significa que só finitamente moitos coeficientes n-negativos son distintos de cero, polo que a q-expansión está limitada inferiormente, garantindo que é meromorfa en q = 0.^{[note 2]}

Outra forma de expresar a definición de funcións modulares é empregar curvas elípticas: cada retícula Λ determina unha curva elíptica C/Λ sobre C; dúas retículas determinan curvas elípticas isomórfas se e só se unha se obtén da outra multiplicando por algún número complexo α distinto de cero. Así, unha función modular tamén se pode considerar como unha función meromorfa no conxunto de clases de isomorfismo de curvas elípticas. Por exemplo, a j-invariante j(z) dunha curva elíptica, considerada como unha función no conxunto de todas as curvas elípticas, é unha función modular. Máis conceptualmente, as funcións modulares pódense pensar como funcións no espazo de módulos das clases de isomorfismo de curvas elípticas complexas.

Unha forma modular f que desaparece en q = 0 (equivalentemente, a₀ = 0, ou z = i∞) chámase forma cúspide (Spitzenform en alemán). O n máis pequeno tal que a_n ≠ 0 é a orde do cero de f en i∞.

Unha unidade modular é unha función modular cuxos polos e ceros están confinados nas cúspides.^[4]

Formas modulares para grupos máis xerais

A superficie de Riemann G\H^∗

Sexa G un subgrupo de SL(2, Z) de índice finito. Tal grupo G actúa sobre H do mesmo xeito que SL(2, Z). O espazo topolóxico cociente G\H pódese ver como un espazo de Hausdorff. Normalmente non é compacto, mais pódese compactar engadindo un número finito de puntos chamados cúspides. Estas son puntos no límite de H, é dicir, en Q∪{∞}, ^{[note 3]} tal que hai un elemento parabólico de G (unha matriz con traza ±2) que fixa o punto. Isto produce un espazo topolóxico compacto G\H^∗. A maiores, pódese dotar da estrutura dunha superficie de Riemann, o que permite falar de funcións holomorfas e meromorfas.

Exemplos importantes son, para calquera número enteiro positivo N, calquera dos subgrupos de congruencia

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{0}(N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv 0{\pmod {N}}\right\}\\\Gamma (N)&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} ):c\equiv b\equiv 0,a\equiv d\equiv 1{\pmod {N}}\right\}.\end{aligned}}}$

Para G = Γ₀(N) ou Γ(N), os espazos G\H e G\H^∗ denótanse Y₀(N) e X₀(N) e Y(N), X(N), respectivamente.

Definición

Unha forma modular para G de peso k é unha función en H que satisfai a ecuación funcional anterior para todas as matrices en G, é dicir, holomorfa en H e en todas as cúspides de G. Os espazos vectoriais C das formas modulares e cúspides de peso k denomínanse M_k(G) e S_k(G), respectivamente. Do mesmo xeito, unha función meromorfa en G\H^∗ chámase función modular para G. No caso de G = Γ₀(N), tamén se denominan formas modulares/cúspides e funcións do nivel N. Para G = Γ(1) = SL(2, Z), isto volve outra vez ás definicións antes mencionadas.

Consecuencias

A teoría das superficies de Riemann pódese aplicar a G\H^∗ para obter máis información sobre formas e funcións modulares. Por exemplo, os espazos M_k(G) e S_k(G) son de dimensión finita, e as súas dimensións pódense calcular grazas ao teorema de Riemann-Roch en termos da xeometría da acción G sobre H. Por exemplo,

${\displaystyle \dim _{\mathbf {C} }M_{k}\left({\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )\right)={\begin{cases}\left\lfloor k/12\right\rfloor &k\equiv 2{\pmod {12}}\\\left\lfloor k/12\right\rfloor +1&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}$

onde ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ denota a función chan e ${\displaystyle k}$ é par.

As funcións modulares constitúen o corpo de funcións da superficie de Riemann e, polo tanto, forman un corpo de grao de transcendencia 1 (sobre C). Se unha función modular f non é idéntica a 0, daquela pódese demostrar que o número de ceros de f é igual ao número de polos de f no pechamento da rexión fundamental R_Γ. Pódese demostrar que o corpo de función modular do nivel N (N ≥ 1) é xerado polas funcións j(z) e j(Nz). ^[5]

Fibrado de liñas

As formas modulares tamén se poden abordar de forma aproveitábel desde un punto de vista xeométrico, como seccións de fibrados de liñas no espazo de módulos de curvas elípticas.

Aneis de formas modulares

Para un subgrupo Γ do SL(2, Z), o anel de formas modulares é o anel graduado xerado polas formas modulares de Γ. Noutras palabras, se M_k(Γ) é o anel de formas modulares de peso k, daquela o anel de formas modulares de Γ é o anel graduado ${\displaystyle M(\Gamma )=\bigoplus _{k>0}M_{k}(\Gamma )}$.

Os aneis de formas modulares de subgrupos de congruencia de SL(2, Z) xéranse finitamente debido a un resultado de Pierre Deligne e Michael Rapoport. Eses aneis de formas modulares xéranse con peso como máximo 6 e as relacións xéranse con peso como máximo 12 cando o subgrupo de congruencia ten formas modulares de peso impar distinto de cero, e os límites correspondentes son 5 e 10 cando non hai formas modulares de peso impar distinto de cero.

De forma máis xeral, existen fórmulas para os límites dos pesos dos xeradores do anel de formas modulares e as súas relacións para grupos fuchsianos arbitrarios.

Tipos

Formas completas

Se f é holomorfa na cúspide (non ten polo en q = 0), chámase forma modular completa.

Se f é meromorfa mais non holomorfa na cúspide, chámase forma modular non completa. Por exemplo, a forma j-invariante é unha forma modular non completa de peso 0, e ten un polo simple en i∞.

Formas novas

As formas novas son un subespazo de formas modulares ^[6] dun peso fixo ${\displaystyle N}$ que non se poden construír a partir de formas modulares de menor peso ${\displaystyle M}$ dividindo ${\displaystyle N}$. As outras formas chámanse formas antigas. Estas formas antigas pódense construír utilizando as seguintes observacións: se ${\displaystyle M\mid N}$ daquela ${\displaystyle \Gamma _{1}(N)\subseteq \Gamma _{1}(M)}$ dando unha inclusión inversa de formas modulares ${\displaystyle M_{k}(\Gamma _{1}(M))\subseteq M_{k}(\Gamma _{1}(N))}$ .

Formas cúspide

Unha forma cúspide é unha forma modular cun coeficiente constante cero na súa serie de Fourier. Chámase forma cúspide porque a forma desaparece en todas as cúspides.

Outros usos do termo "forma modular"

Hai unha serie doutros usos do termo "función modular", a maiores do uso clásico definido neste artigo; por exemplo, na teoría da medida de Haar, é unha función Δ(g) determinada pola acción de conxugación.

As formas modulares de Hilbert son funcións en n variábeis, cada unha un número complexo no semiplano superior, que satisfán unha relación modular para matrices de 2×2 con entradas nun corpo numérico totalmente real.

As formas modulares de Siegel asócianse a grupos simplécticos máis grandes, do mesmo xeito que as formas modulares clásicas se asocian a SL(2, R). Isto é, están relacionadas coas variedades abelianas no mesmo sentido que as formas modulares clásicas (que ás veces se denominan formas modulares elípticas) están relacionadas coas curvas elípticas.

As formas de Jacobi son unha mestura de formas modulares e funcións elípticas. Os exemplos desas funcións son clásicos (as funcións theta de Jacobi e os coeficientes de Fourier das formas modulares de Siegel de genus dous), mais é unha observación relativamente recente que as formas de Jacobi teñen unha teoría aritmética análoga á teoría habitual das formas modulares.

As formas automorfas estenden a noción de formas modulares aos grupos de Lie xenéricos.

As integrais modulares de peso k son funcións meromorfas no semiplano superior de crecemento moderado no infinito que non poden ser modulares de peso k por unha función racional.

Os factores automorfos son funcións da forma ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}}$ que se utilizan para xeneralizar a relación de modularidade que define formas modulares, de xeito que

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\varepsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).}$

A función ${\displaystyle \varepsilon (a,b,c,d)}$ chámase nebentypus (do alemán tipo próximo) da forma modular. As funcións como a función eta de Dedekind, unha forma modular de peso 1/2, poden ser englobadas pola teoría ao permitir factores automórfos.

Historia

A teoría das formas modulares desenvolveuse en catro períodos:

• En relación coa teoría das funcións elípticas, a principios do século XIX.
• Por Felix Klein e outros cara a finais do século XIX cando comezou a se entender o concepto de forma automorfa (para unha variábel).
• Por Erich Hecke desde aproximadamente 1925.
• Na década de 1960, segundo as necesidades da teoría de números, e da formulación do teorema da modularidade en particular, deixaron claro que as formas modulares están profundamente implicadas.

Taniyama e Shimura identificaron unha coincidencia 1 a 1 entre certas formas modulares e as curvas elípticas. Robert Langlands construíu esta idea na construción do seu programa Langlands expansivo, que se converteu nun dos programas de investigación de máis alcance e transcendencia en investigación matemática.

En 1994 Andrew Wiles utilizou formas modulares para demostrar o último teorema de Fermat. En 2001 demostrouse que todas as curvas elípticas eran modulares sobre os números racionais. En 2013 demostrouse que as curvas elípticas eran modulares sobre os corpos cadráticos reais. En 2023 demostrouse que as curvas elípticas eran modulares sobre preto da metade dos corpos cadráticos imaxinarios, incluíndo corpos formados ao combinar os números racionais coa raíz cadrada dos números enteiros ata −5. ^[7]

Notas

1. Van Wyk, Gerhard (July 2023). Elliptic Curves Yield Their Secrets in a New Number System. Quanta.
2. Lan, Kai-Wen. "Cohomology of Automorphic Bundles" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 1 August 2020.
3. Milne. Modular Functions and Modular Forms. p. 51.
4. Kubert, Daniel S.; Lang, Serge (1981). Modular units. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Science] 244. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 24. ISBN 978-0-387-90517-4. MR 648603. Zbl 0492.12002.
5. Milne, James (2010). Modular Functions and Modular Forms (PDF). p. 88., Theorem 6.1.
6. Mocanu, Andreea. "Atkin-Lehner Theory of Gamma_1(N) Modular Forms" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 31 July 2020.
7. Van Wyk, Gerhard (July 2023). Elliptic Curves Yield Their Secrets in a New Number System. Quanta.

1. Algúns autores usan unha convención diferente ${\displaystyle \gamma }$, ver por exemplo "see e.g. "DLMF: §23.15 Definitions ‣ Modular Functions ‣ Chapter 23 Weierstrass Elliptic and Modular Functions". dlmf.nist.gov.
2. Unha función meromorfa só pode ter un número finito termos con exponente negativo na súa serie de Laurent, a súa q-expansión. Só pode ter como moito un polo en q = 0, non unha singularidade esencial como ten exp(1/q).
3. Aquí unha matriz ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ envía o ∞ a a/c.

Véxase tamén

Bibliografía

• Apostol, Tom M. (1990). Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97127-0.
• Diamond, Fred; Shurman, Jerry Michael (2005). A First Course in Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics 228. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0387232294. Leads up to an overview of the proof of the modularity theorem.
• Gelbart, Stephen S. (1975). Automorphic Forms on Adèle Groups. Annals of Mathematics Studies 83. Princeton, N.J.: Princeton University Press. MR 0379375.. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory.
• Hecke, Erich (1970). Mathematische Werke. Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht.
• Rankin, Robert A. (1977). Modular forms and functions. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-21212-X.
• Ribet, K.; Stein, W. Lectures on Modular Forms and Hecke Operators.
• Serre, Jean-Pierre (1973). A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7. New York: Springer-Verlag.. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms.
• Skoruppa, N. P.; Zagier, D. (1988). Jacobi forms and a certain space of modular forms. Inventiones Mathematicae 94 (Springer). p. 113. Bibcode:1988InMat..94..113S. doi:10.1007/BF01394347.
• Behold Modular Forms, the ‘Fifth Fundamental Operation’ of Math

Outros artigos

• Demostración de Wiles do último teorema de Fermat