Función meromorfa

No campo matemático da análise complexa, unha función meromorfa nun subconxunto aberto D do plano complexo é unha función que é holomorfa en todo D agás nun conxunto de puntos illados, que son polos da función.^[1] O termo provén do grego meros ( μέρος ), que significa "parte". ^{[lower-alpha 1]}

Toda función meromorfa en D pódese expresar como a razón entre dúas funcións holomorfas (co denominador distinto da constante 0) definidas en D: calquera polo debe coincidir cun cero do denominador.

A función gamma é meromorfa en todo o plano complexo.

Descrición intuitiva

Intuitivamente, unha función meromorfa é unha relación de dúas funcións que se comportan ben (holomorfas). A función meromorfa aínda terá un bo comportamento en case todos os puntos, agás posíbelmente nos puntos onde o denominador da fracción sexa cero. Se o denominador ten un cero en z e o numerador non, entón o valor da función achegarase ao infinito; se numerador e denominador teñen un cero en z, entón hai que comparar a multiplicidade destes ceros.

Desde un punto de vista alxébrico, se o dominio da función está conectado, entón o conxunto de funcións meromorfas é o corpo de fraccións do dominio de integridade do conxunto de funcións holomorfas. Isto é análogo á relación entre os números racionais e os enteiros.

Propiedades

Dado que os polos están illados, unha función meromorfa so pode ter numerabelmente moitos polos.^[2] O conxunto de polos pode ser infinito, como exemplifica a función

${\displaystyle f(z)=\csc z={\frac {1}{\sin z}}.}$

Usando a continuación analítica para eliminar as singularidades eliminábeis, pódense engadir, restar, multiplicar funcións meromorfas, tamén se pode formar o cociente ${\displaystyle f/g}$ a non ser que ${\displaystyle g(z)=0}$ nun conxunto conexo de D. Así, se D é conexo, as funcións meromorfas forman un corpo, de feito unha extensión do corpo dos números complexos .

Exemplos

• Todas as funcións racionais,^[2] por exemplo

${\displaystyle f(z)={\frac {z^{3}-2z+10}{z^{5}+3z-1}},}$

son meromorfas en todo o plano complexo. A maiores, son as únicas funcións meromorfas no plano complexo estendido.

• As funcións ${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z}}\quad {\text{and}}\quad f(z)={\frac {\sin {z}}{(z-1)^{2}}}}$así como a función gamma e a función zeta de Riemann son meromorfas en todo o plano complexo.^[2]
• A función

${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

está definida en todo o plano complexo agás na orixe, 0. Porén, 0 non é un polo desta función, senón unha singularidade esencial. Así, esta función non é meromorfa en todo o plano complexo. No entano, se sacamos o 0 do dominio, ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$, daquela a función é meromorfa e mesmo holomorfa no resto do dominio.

• Función logarítmica complexa

${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$

non é meromorfa en todo o plano complexo, xa que non se pode definir en todo o plano complexo simplemente excluindo un conxunto de puntos illados.^[2]

• A función

${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$

non é meromorfa en todo o plano, xa que o punto ${\displaystyle z=0}$ é un punto de acumulación de polos e, polo tanto, non é unha singularidade illada. ^[2]

• A función

${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$

tampouco non é meromorfa, xa que ten unha singularidade esencial en 0.

Sobre superficies de Riemann

Nunha superficie de Riemann, cada punto admite unha veciñanza aberta que é biholomorfa nun subconxunto aberto do plano complexo. Deste xeito, a noción de función meromorfa pódese definir para cada superficie de Riemann.

Cando D é a esfera de Riemann completa, o corpo das funcións meromorfas é simplemente o corpo das funcións racionais nunha variábel sobre o corpo complexo, xa que se pode probar que calquera función meromorfa na esfera é racional. (Este é un caso especial do chamado principio GAGA).

Para toda superficie de Riemann, unha función meromorfa é o mesmo que unha función holomorfa que se corresponde coa esfera de Riemann e que non é a función constante igual a ${\displaystyle \infty }$. Os polos corresponden a aqueles números complexos que están asignados a ${\displaystyle \infty }$.

Nunha superficie de Riemann non compacta, cada función meromorfa pódese realizar como un cociente de dúas funcións holomorfas (definidas globalmente). Pola contra, nunha superficie de Riemann compacta, toda función holomorfa é constante, mentres que sempre existen funcións meromorfas non constantes.

Notas

1. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994]. "Meromorphic function". Encyclopedia of Mathematics. Springer Science+Business Media B.V.; Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-1-55608-010-4.^{[Ligazón morta]}
2. Lang, Serge (1999). Complex analysis (4th ed.). Berlin; New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98592-3.

1. Greek meros (μέρος) significa "parte", en contraste con holos (ὅλος), que significa "completo".

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de Mittag-Leffler
• teorema da factorizacización de Weierstrass