Genus (matemáticas)

En matemáticas, o genus (ou xénero) ten varios significados diferentes, mais moi relacionados. Intuitivamente, o genus é o número de "buratos" dunha superficie.^[1] Unha esfera ten genus 0, mentres que un toro ten genus 1.

Unha superficie de genus-2

Topoloxía

Superficies orientábeis

A cunca de café e a rosquilla que se mostran nesta animación teñen genus 1.

O genus dunha superficie conexa e orientábel é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo de curvas simples pechadas que non se intersecan sen que se desconecte a variedade resultante.^[2] É igual ao número de asas que hai.

Alternativamente, pódese definir en termos da característica de Euler ${\displaystyle \chi }$, a través da relación ${\displaystyle \chi =2-2g}$ para superficies pechadas, onde ${\displaystyle g}$ é o genus. Para superficies con ${\displaystyle b}$ compoñentes fronteira, a ecuación sería ${\displaystyle \chi =2-2g-b}$.

Por exemplo:

• A esfera ${\displaystyle S^{2}}$ e un disco ambos os dous teñen genus cero.
• Un toro ten genus 1, así como a superficie dunha cunca de café con asa.

A construción explícita de superficies do genus g dáse no artigo sobre o polígono fundamental.

• Genus de superficies orientábeis
• 
  Grafo plano: genus 0
• 
  Grafo toroidal: genus 1
• 
  Teteira: Duplo grafo toroidal: genus 2
• 
  Grafo de Pretzel: genus 3

Superficies non orientábeis

O genus non orientábel, demigenus ou genus de Euler dunha superficie pechada non orientábel conexa é un número enteiro positivo que representa o número de casquetes cruzados unidos a unha esfera. Alternativamente, pódese definir para unha superficie pechada en termos da característica de Euler χ, mediante a relación χ = 2 − k, onde k é o genus non orientábel.

Por exemplo:

• Un plano proxectivo real ten un genus 1 non orientábel.
• Unha botella Klein ten o genus 2 non orientábel.

Nó

O genus dun nó K defínese como o genus mínimo de todas as superficies de Seifert para K.^[3] Unha superficie de Seifert dun nó é, porén, unha variedade con fronteira, sendo a fronteira o nó, é dicir, homeomorfo á circunferencia unitaria. O genus de tal superficie defínese como o genus da 2-variedade, que se obtén colando o disco unitario ao longo da fronteira.

Corpo con asas

O genus dun corpo con asas tridimensional é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo dos discos mergullados sen que sexa non conexa a variedade resultante. É igual ao número de asas que ten.

Por exemplo:

• Unha bóla ten genus 0.
• Un toro sólido D² × S¹ ten genus 1.

Teoría de grafos

O genus dun grafo é o número enteiro mínimo n tal que o grafo pode ser debuxado nunha esfera con n asas sen cruzarse (é dicir, unha superficie orientada de genus n). Así, un grafo plano ten o genus 0, porque se pode debuxar nunha esfera sen cruzarse.

Na teoría de grafos topolóxicos hai varias definicións do genus dun grupo. Arthur T. White introduciu o seguinte concepto: o genus dun grupo G é o genus mínimo dun grafo de Cayley (conexo, non orientado) para G.

Xeometría alxébrica

Hai dúas definicións relacionadas de genus de calquera esquema alxébrico proxectivo ${\displaystyle X}$: o genus aritmético e o genus xeométrico.^[4] Cando ${\displaystyle X}$ é unha curva alxébrica con corpo de definición os números complexos, e se ${\displaystyle X}$ non ten puntos singulares, entón estas definicións coinciden e coinciden coa definición topolóxica aplicada á superficie de Riemann de ${\displaystyle X}$ (a súa variedade de puntos complexos). Por exemplo, a definición de curva elíptica a partir da xeometría alxébrica está ligada á curva proxectiva non singular de genus 1 cun punto racional dado sobre ela.

Polo teorema de Riemann-Roch, unha curva plana de grao irredutíbel ${\displaystyle d}$ dada polo lugar de esvaecemento dunha sección ${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))}$ ten genus xeométrico

${\displaystyle g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,}$

onde ${\displaystyle s}$ é o número de singularidades cando se contan correctamente.

Xeometría diferencial

En xeometría diferencial, o genus dunha variedade orientada ${\displaystyle M}$ pode definirse como un número complexo ${\displaystyle \Phi (M)}$ suxeito ás condicións

• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})}$
• ${\displaystyle \Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})}$ se ${\displaystyle M_{1}}$ e ${\displaystyle M_{2}}$ son cobordantes.

Noutras palabras, ${\displaystyle \Phi }$ é un homomorfismo de aneis ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$, onde ${\displaystyle R}$ é o anel de cobordismo orientado de Thom.

O genus ${\displaystyle \Phi }$ é multiplicativo para todos os fibrados de variedades de espinor cunha estrutura compacta conexa se ${\displaystyle \log _{\Phi }}$ é unha integral elíptica como ${\displaystyle \log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt}$ para algúns ${\displaystyle \delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .}$

Este genus chámase genus elíptico.

A característica de Euler ${\displaystyle \chi (M)}$ non é un genus neste sentido xa que non é invariante en relación aos cobordismos.