GL
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

From Wikipedia, the free encyclopedia

Distribución de Poisson
PropiedadesIntervalo de confianzaRelación con outras distribuciónsSumas de variables aleatorias de PoissonDistribución binomialAproximación normalDistribución exponencialExemplosProcesos de PoissonNotasVéxase taménOutros artigosLigazóns externas

A distribución de Poisson é unha distribución de probabilidade discreta que expresa, a partir dunha frecuencia de ocorrencia media, a probabilidade de que ocorra un determinado número de sucesos durante certo período de tempo. Concretamente, especialízase na probabilidade de que ocorran sucesos con probabilidades moi pequenas ou sucesos "raros".

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.
Distribución de Poisson
Función de masa de probabilidade
As liñas que conectan os puntos son só guías visuais e non indican continuidade.
Función de distribución
Función de distribución da binomial
Parámetros λ ∈ ( 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda \in (0,\infty )} {\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}
Soporte
Función de densidade e − λ λ k k ! {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!} {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}
Función de distribución Γ ( ⌊ k + 1 ⌋ , λ ) ⌊ k ⌋ !  for  k ≥ 0 {\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!{\text{ for }}k\geq 0} {\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}\!{\text{ for }}k\geq 0} (onde Γ ( x , y ) {\displaystyle \Gamma (x,y)} {\displaystyle \Gamma (x,y)} é a función gamma incompleta)
Media λ {\displaystyle \lambda \,} {\displaystyle \lambda \,}
Mediana usualmente preto de  ⌊ λ + 1 / 3 − 0.02 / λ ⌋ {\displaystyle {\text{usualmente preto de }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor } {\displaystyle {\text{usualmente preto de }}\lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }[1]
Moda ⌈ λ ⌉ − 1 {\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1} {\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1}
Varianza λ {\displaystyle \lambda \,} {\displaystyle \lambda \,}
Asimetría λ − 1 / 2 {\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,} {\displaystyle \lambda ^{-1/2}\,}
Curtose λ [ 1 − ln ⁡ ( λ ) ] + e − λ ∑ k = 0 ∞ λ k ln ⁡ ( k ! ) k ! {\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}} {\displaystyle \lambda [1\!-\!\ln(\lambda )]\!+\!e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\ln(k!)}{k!}}}
Entropía 1 2 ln ⁡ ( 2 π n e p ( 1 − p ) ) + O ( 1 n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)} {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)}
F. xeradora de momentos exp ⁡ ( λ ( e t − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))\,} {\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))\,}
Func. caract. exp ⁡ ( λ ( e i t − 1 ) ) {\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))\,} {\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))\,}

Foi descuberta por Siméon-Denis Poisson, que a presentou en 1838 no seu traballo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre a probabilidade dos xuízos en materias criminais e civís).

A función de masa ou probabilidade de Poisson é

F ( k , λ ) = e − λ λ k k ! {\displaystyle F(k,\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}} {\displaystyle F(k,\lambda )={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}

onde

  • k é o número de veces que ocorre o fenómeno.
  • λ é un parámetro positivo que representa o número de veces que se espera que suceda o fenómeno durante un intervalo dado. Por exemplo, se o suceso ten lugar unha media de catro veces por minuto e estamos interesados na probabilidade de que ocorra k veces nun intervalo de 10 minutos, empregaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
  • e é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828...)

Tanto o valor esperado como a varianza dunha variable aletoria con distribución de Poisson son iguais a λ. Os momentos de orde superior son polinomios de Touchard en λ con coeficientes que teñen unha interpretación combinatoria. De feito, cando o valor esperado da distribución de Poisson é 1, entón segundo a fórmula de Dobinski, o n-ésimo momento é igual ao número de particións de tamaño n.

A moda dunha variable aleatoria de distribución de Poisson con λ non enteiro é igual a ⌊ λ ⌋ {\displaystyle \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor } {\displaystyle \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor }, o maior dos enteiros menores que λ (os símbolos ⌊   ⌋ {\displaystyle \scriptstyle \lfloor \ \rfloor } {\displaystyle \scriptstyle \lfloor \ \rfloor } representan a función parte enteira). Cando λ é un enteiro positivo, as modas son λ e λ − 1.

A función xeradora de momentos da distribución de Poisson con valor esperado λ é

E ( e t X ) = ∑ k = 0 ∞ e t k f ( k ; λ ) = ∑ k = 0 ∞ e t k λ k e − λ k ! = e λ ( e t − 1 ) . {\displaystyle \mathrm {E} \left(e^{tX}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}f(k;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}=e^{\lambda (e^{t}-1)}.} {\displaystyle \mathrm {E} \left(e^{tX}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}f(k;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }e^{tk}{\lambda ^{k}e^{-\lambda } \over k!}=e^{\lambda (e^{t}-1)}.}

As variables aleatorias de Poisson teñen a propiedade de ser infinitamente divisibles.

A diverxencia de Kullback-Leibler dende unha variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a outra de parámetro λ é

D K L ( λ | | λ 0 ) = λ ( 1 − λ 0 λ + λ 0 λ log ⁡ λ 0 λ ) . {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\lambda ||\lambda _{0})=\lambda \left(1-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\log {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\right).} {\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\lambda ||\lambda _{0})=\lambda \left(1-{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}+{\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\log {\frac {\lambda _{0}}{\lambda }}\right).}

Un criterio fácil e rápido para calcular un intervalo de confianza aproximado de λ foi proposto por Guerriero en 2012.[2] Dada unha serie de sucesos k (polo menos 15 ou 20) nun período de tempo T, os límites do intervalo de confianza para a frecuencia veñen dados por:

F l o w = ( 1 − 1.96 k − 1 ) k T {\displaystyle F_{low}=\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}} {\displaystyle F_{low}=\left(1-{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}}
F u p p = ( 1 + 1.96 k − 1 ) k T {\displaystyle F_{upp}=\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}} {\displaystyle F_{upp}=\left(1+{\frac {1.96}{\sqrt {k-1}}}\right){\frac {k}{T}}}

entón os límites do parámetro λ {\displaystyle \lambda } {\displaystyle \lambda } están dados por: λ l o w = F l o w T ; λ u p p = F u p p T {\displaystyle \lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T} {\displaystyle \lambda _{low}=F_{low}T;\lambda _{upp}=F_{upp}T}.

Sumas de variables aleatorias de Poisson

A suma de variables aleatorias de Poisson independentes é outra variable aleatoria de Poisson que ten como parámetro a suma dos parámetros das orixinais: se

X i ∼ P o i ( λ i ) , i = 1 , … , N {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poi} (\lambda _{i})\,,i=1,\dots ,N} {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Poi} (\lambda _{i})\,,i=1,\dots ,N}

son N variables aleatorias de Poisson independentes, entón

Y = ∑ i = 1 N X i ∼ P o i ( ∑ i = 1 N λ i ) {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poi} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,} {\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Poi} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)\,}.

Distribución binomial

A distribución de Poisson é o caso límite da distribución binomial. De feito, se os parámetros n e θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta } dunha distribución binomial tenden a infinito (no caso de 'n') e a cero (no caso de θ {\displaystyle \theta } {\displaystyle \theta }) de xeito que λ = n θ {\displaystyle \!\lambda =n\theta } {\displaystyle \!\lambda =n\theta } se manteña constante, a distribución límite obtida é de Poisson.

Aproximación normal

Como consecuencia do teorema central do límite, para valores grandes de λ {\displaystyle \lambda } {\displaystyle \lambda }, unha variable aleatoria de Poisson X pode aproximarse por outra normal dado que o cociente

Y = X − λ λ {\displaystyle Y={\frac {X-\lambda }{\sqrt {\lambda }}}} {\displaystyle Y={\frac {X-\lambda }{\sqrt {\lambda }}}}

converxe a unha distribución normal de media nula e varianza 1.

Distribución exponencial

Se para cada valor t > 0, que representa o tempo, o número de sucesos de certo fenómeno aleatorio segue unha distribución de Poisson de parámetro λt, entón os tempos transcorridos entre dous sucesos sucesivos segue a distribución exponencial.

Se o 2% dos libros encadernados en certo taller ten encadernación defectuosa, para obter a probabilidade de que 5 de 400 libros encadernados neste taller teñan encadernacións defectuosas emprégase a distribución de Poisson. Neste caso concreto, k é 5 e, λ, o valor esperado de libros defectuosos é o 2% de 400, é dicir, 8. Polo tanto, a probabilidade buscada é

P ( 5 ; 8 ) = 8 5 e − 8 5 ! = 0 , 092. {\displaystyle \!P(5;8)={\frac {8^{5}e^{-8}}{5!}}=0,092.} {\displaystyle \!P(5;8)={\frac {8^{5}e^{-8}}{5!}}=0,092.}

A distribución de Poisson aplícase a diversos fenómenos discretos da natureza (aqueles fenómenos que ocorren 0, 1, 2, 3... veces durante un período definido de tempo ou nunha área determinada) cando a probabilidade de que ocorra o fenómeno é constante no tempo ou no espazo. Exemplos destes sucesos que poden ser analizados pola distribución de Poisson inclúen:

  • O número de vehículos que pasan a través dun certo punto nunha ruta durante un período definido de tempo.
  • O número de erros ortográficos que un comete ao escribir unha única páxina.
  • O número de chamadas nunha central telefónica por minuto.
  • O número servidores web accedidos por minuto.
  • O número de mutacións dunha cadea de ADN determinada despois de certa cantidade de radiación.
  • O número de núcleos atómicos inestables que se desintegraron nun determinado período.
  • O número de estrelas nun volume do espazo.
  • A distribución de receptores visuais na retina do ollo humano.
  • As creacións dun inventor durante a súa carreira.[3]
  • A distribución da riqueza humana.
  1. [1]
    Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.
  2. [2]
    Guerriero, V. "Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics". J. Mod. Math. Fr.
  3. [3]
    Huber, John C. (1998-7). "Invention and Inventivity Is a Random, Poisson Process: A Potential Guide to Analysis of General Creativity". Creativity Research Journal (en inglés) 11 (3): 231–241. ISSN 1040-0419. doi:10.1207/s15326934crj1103_3.

Outros artigos

  • Proceso de Poisson
  • Regresión de Poisson

Ligazóns externas

  • Distribución de Poisson Puntual
  • Distribución de Poisson Acumulada
  • Calculadora da distribución de Poisson
  • Cálculo da probabilidade dunha distribución de Poisson usando R
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Propiedades

Intervalo de confianza

Relación con outras distribucións

Exemplos

Procesos de Poisson

Notas

Véxase tamén