Función de distribución

En teoría da probabilidade, a función de distribución ou función de distribución acumulada, é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real X. Para cada número real x, a función de distribución vén dada por^[1]:

Función de distribución para a distribución exponencial

Función de distribución para a distribución normal

${\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x),}$

é dicir, a función de nome "F" é igual á probabilidade de que a variable aleatoria X tome un valor inferior ou igual a un determinado x. Segundo esta definición, para cada x, a función F asumirá un valor diferente.

A probabilidade de que X se sitúe nun intervalo ]a, b] (aberto en a e pechado en b) é F(b) − F(a) se a ≤ b. Por convención emprégase un F maiúsculo para a función de distribución, en contraste co f minúsculo empregado para a función de densidade e a función masa de probabilidade.

A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha variable aleatoria discreta:

${\displaystyle F(x)=\sum _{x_{i}\leq x}^{}f(x_{i})}$

Para unha variable aleatoria continua:

${\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(x_{i})\,dx}$

Na definición, o signo "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '<'. Isto produciría unha función diferente, mais calquera das funcións pode ser deducida facilmente a partir da outra. Tamén se podería substituír por un sinal "maior" '>' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido.

Exemplos

Como exemplo, se a variable X é distribuída uniformemente no intervalo [0, 1] a función de distribución vén dada por:

F(x) = 0, se x < 0;

F(x) = x, se 0 ≤ x ≤ 1;

F(x) = 1, se x > 1.

Se X toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se X segue a distribución de Bernoulli con p = 1/2, entón a función de distribución vén dada por:

F(x) = 0, se x < 0;

F(x) = 1/2, se 0 ≤ x < 1;

F(x) = 1, se x ≥ 1.

Propiedades

Se X é unha variable aleatoria discreta, entón toma os valores x₁, x₂, ... con probabilidade p₁, p₂ etc., a función de distribución de X é descontinua nos puntos x_i e constante entre eles.

Se a función de distribución F de X é continua, entón X é unha variable aleatoria continua; se alén diso F é absolutamente continua, entón existe unha función integral de Lebesgue f(x) tal que

${\displaystyle F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

para todos os números reais a e b. A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(X = a) = P(X = b) = 0, de modo que a diferenza entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto. A función f é igual á derivada de F (en case todos os puntos), e chámase función de densidade de probabilidade da distribución de X.

Para calquera función de distribución ${\displaystyle F}$, tense:

• ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$
• ${\displaystyle F}$ é non decrecente (crecente ou constante): ${\displaystyle x_{1}<x_{2}\Rightarrow F(x_{1})\leq F(x_{2})}$
• ${\displaystyle F(-\infty )=\lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$
• ${\displaystyle F(+\infty )=\lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$
• ${\displaystyle F}$ é continua pola dereita: ${\displaystyle F(a^{+})=\lim _{x\to a^{+}}F(x)=F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (x=a)=F(a)-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a<x\leq b)=F(b)-F(a)}$, con ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$, e ${\displaystyle a<b}$

As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas:

• ${\displaystyle \operatorname {P} (X<b)=F(b^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X>a)=1-F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)=1-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a<X<b)=F(b^{-})-F(a)}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})}$

No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades:

• ${\displaystyle F}$ é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita)
• ${\displaystyle \operatorname {P} (x=a)=\int _{a}^{a}f(x)\,dx=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\operatorname {P} (a\leq X<b)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\operatorname {P} (a<X<b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}$

O test de Kolmogorov-Smirnov baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o test de Kuiper, que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de tornados varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.

Notas

1. Distribution and Quantile Functions na Universidade de Alabama en Huntsville

Véxase tamén

Bibliografía

• Concepto de variable aleatoria e de función de distribución Arquivado 03 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
• Portal ActionArquivado 30 de abril de 2017 en Wayback Machine.