Serie (matemáticas)

En matemáticas, unha serie é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos ${\displaystyle a_{n}}$ como^[1][2]

${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots \quad {\text{ou comezando polo subíndice 1,}}\quad a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,}$

Esta artigo é sobre sumas infinitas. Para sumas finitas, véxase Sumatorio.

Animación que explica por que a serie ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+\cdots }$ é igual a 1.

onde os termos ${\displaystyle a_{k}}$ son os membros dunha secuencia de númeross, funcións ou calquera outra cousa que se poida sumar.

Unha serie tamén se pode representar con notación sigma-maiúscularef name=":5" />^[3][2]

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{n}}$.

(ou tamén comezando desde ${\displaystyle i=1}$).

Suma parcial dunha serie

Dada unha serie ${\textstyle s=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$, a súa suma parcial ${\displaystyle n}$-ésima é^[4][5][6][2]

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{n}.}$

Tanto a secuencia de sumas parciais como a secuencia de termos caracterizan completamente a serie, e a secuencia de termos pódese recuperar da secuencia de sumas parciais tomando as diferenzas entre elementos consecutivos

${\displaystyle a_{n}=s_{n}-s_{n-1}.}$

A transformación para recuperar unha secuencia das súas sumas parciais é a diferenza finita, sendo unha transformación de secuencia linear.

As sumas parciais de series ás veces teñen expresións de forma pechada máis sinxelas, por exemplo, unha serie aritmética ten sumas parciais

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left(a+kd\right)=a+(a+d)+(a+2d)+\cdots +(a+nd)=(n+1){\bigl (}a+{\tfrac {1}{2}}nd{\bigr )}.}$

Suma dunha serie

A diferenza das sumas finitas, as series requiren ferramentas da análise matemática para ser entendidas e manipuladas correctamente. O estudo das series consiste en avaliar a suma dun número finito ${\displaystyle N}$ de termos sucesivos, e mediante un paso ata o límite, identificar o comportamento da serie cando ${\displaystyle N}$ medra indefinidamente (cando ${\displaystyle N}$ tende a infinito):

${\displaystyle S=\lim _{N\to \infty }S_{N}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}a_{n}.}$

As series poden converxer ou diverxer. Se o límite existe, sendo distinto de infinito (positivo ou negativo), a serie converxe e no caso contrario a serie diverxe. Ver abaixo criterios de converxencia.

Operacións

Suma de series

A suma de dúas series ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ e ${\textstyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ vén dada pola suma termo a termo^{[7][8][9][10]}${\textstyle (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+\cdots \,}$ ou, en notación de suma,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+b_{k}.}$

Usando os símbolos ${\displaystyle s_{a,n}}$ e ${\displaystyle s_{b,n}}$ para as sumas parciais da serie sumada e ${\displaystyle s_{a+b,n}}$ para as sumas parciais da serie resultante, esta definición implica que as sumas parciais da serie resultante serían ${\displaystyle s_{a+b,n}=s_{a,n}+s_{b,n}.}$

Logo a suma da serie resultante, é dicir, o límite da secuencia de sumas parciais da serie resultante, satisfai

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }s_{a+b,n}=\lim _{n\rightarrow \infty }(s_{a,n}+s_{b,n})=\lim _{n\rightarrow \infty }s_{a,n}+\lim _{n\rightarrow \infty }s_{b,n},}$

cando os límites existen.

Multiplicación escalar

O produto dunha serie ${\textstyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ por un número constante ${\displaystyle c}$, chamado escalar neste contexto, vén dado polo produto termo a termo${\textstyle ca_{0}+ca_{1}+ca_{2}+\cdots }$, ou, en notación de sumatorio

${\displaystyle c\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }ca_{k}.}$

Multiplicación de series

Artigo principal: produto de Cauchy.

A multiplicación de dúas series ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ e ${\displaystyle b_{0}+b_{1}+b_{2}+\cdots }$ para xerar unha terceira serie ${\displaystyle c_{0}+c_{1}+c_{2}+\cdots }$, chamada produto Cauchy^[7][9][11] pódese escribir en notación de sumatorio como

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j},}$

con cada

${\textstyle c_{k}=\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}=a_{0}b_{k}+a_{1}b_{k-1}+\cdots +a_{k-1}b_{1}+a_{k}b_{0}.}$

A multiplicación de series absolutamente converxentes de números reais e de números complexos é asociativa, conmutativa e distributiva sobre a suma.

Xunto coa suma de series, a multiplicación de series dá aos conxuntos de series absolutamente converxentes de números reais ou complexos a estrutura dun anel conmutativo, e xunto coa multiplicación escalar tamén a estrutura dunha álxebra conmutativa; estas operacións tamén dan aos conxuntos de todas as series de números reais ou complexos a estrutura dunha álxebra asociativa.

Algúns tipos de series

Artigos principais: Lista de series matemáticas e Lista_de_sumas_de_recíprocos.

• Unha serie xeométrica é unha serie onde cada termo sucesivo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo:

Comezando por 1 e multiplicando cada novo sumando o anterior por ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.}$

En xeral, as series xeométricas

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$

converxen se e soamente se |z| < 1.

• Unha serie harmónica é do tipo

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$

(Diverxe, isto é, tende a infinito. Neste caso moi lentamente.)

• Unha serie alternada é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplos:

${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}=\ln {2}.}$

${\displaystyle -1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}.}$

• Unha serie telescópica^[12]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(b_{n}-b_{n+1}\right)}$ converxe se a secuencia ${\displaystyle b_{n}}$ converxe ata un límite ${\displaystyle L}$ mentres ${\displaystyle n}$ vai ao infinito. O valor da serie é entón ${\displaystyle b_{1}-L}$.^[13]

• Unha serie aritmético-xeométrica é unha serie que ten termos que son cada un o produto dun elemento dunha progresión aritmética co elemento correspondente dunha progresión xeométrica. Exemplo:

${\displaystyle 3+{5 \over 2}+{7 \over 4}+{9 \over 8}+{11 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(3+2n) \over 2^{n}}.}$

• A serie de Dirichlet

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

converxe para ${\displaystyle p>1}$ e diverxe para ${\displaystyle p\leq 1}$. Como función de ${\displaystyle p}$, a suma desta serie é función zeta de Riemann.^[14]

• Serie hiperxeométrica:

${\displaystyle _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{p}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{q}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{r=1}^{p}(a_{r})_{n}}{\prod _{s=1}^{q}(b_{s})_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}}$ e as súas xeneralizacións (como as series hiperxeométricas básicas e series hiperxeométricas elípticas) aparecen con frecuencia nos sistemas integrábeis e na física matemática.^[15]

• Existen algunhas series elementais cuxa converxencia aínda non está coñecida/probada. Por exemplo, descoñécese se a serie Flint Hills,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sin ^{2}n}},}$ converxe ou non.

• Pi

Artigos principais: Problema de Basilea e Fórmula de Leibniz para π.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(4)}{2n-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi }$

• Logaritmo natural de 2

Artigo principal: Logaritmo natural.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=\ln 2}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}=\ln 2}$

• Número e

Artigo principal: número e.

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots ={\frac {1}{e}}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots =e}$

Criterios de converxencia

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe (${\displaystyle \pm \infty }$ ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ é converxente, entón ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}=0}$.

O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se ${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }a_{k}\neq 0}$ entón ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ é diverxente.

Tres exemplos famosos

• Serie harmónica, ${\displaystyle S={\dfrac {1}{1}}+{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{3}}\cdots }$, diverxe (tende lentamente a infinito).
• Serie da función zeta de Riemann para o parámetro 2 (problema de Basilea), ${\displaystyle S=\zeta (2)={\dfrac {1}{1^{2}}}+{\dfrac {1}{2^{2}}}+{\dfrac {1}{3^{2}}}\cdots }$, converxe a ${\displaystyle {\dfrac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.644934}$ (secuencia A013661 na OEIS).
• Serie alternada ${\displaystyle S=1-1+1-1+1\cdots }$, diverxe (tende a 1? tende a 0? tende a 1/2?).

Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos).

Se existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l}$

con ${\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}$, o Criterio de D'Alembert establece que:

• se l < 1, a serie converxe.
• se l > 1, a serie diverxe.
• se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}=l}$, sendo ${\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}$

Entón, se l < 1, a serie é converxente. En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de ${\displaystyle a_{k}}$, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de ${\displaystyle a_{k}}$ que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, tal que ${\displaystyle a_{k}>0}$ (termos non negativos). E supoñamos que existe

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }k\left(1-{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right)}$, sendo ${\displaystyle l\,\varepsilon \,(-\infty ,+\infty )}$

Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia

Converxencia absoluta

Unha serie ${\displaystyle \sum a_{n}}$ converxe absolutamente se

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|{a_{n}}|}$

é converxente, isto é, se a suma dos seus valores absolutos converxe.

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.

Series de funcións

En cálculo, unha serie de funcións é unha serie onde cada un dos seus termos é unha función, non só un real ou un número complexo.

Exemplos de series de funcións inclúen serie de potencias ordinaria, serie de Fourier, serie de Liouville-Neumann, serie formal de potencias e serie de Puiseux.

Existen moitos tipos de converxencia para unha serie de funcións, como a converxencia uniforme, converxencia puntual e converxencia case en todas as partes. Cada tipo de converxencia corresponde a unha métrica diferente para o espazo de funcións que se suman na serie e, polo tanto, un tipo diferente de límite.

A proba M de Weierstrass é un resultado útil para estudar a converxencia de series de funcións.

Serie de potencias

Artigo principal: Serie de potencias.

Unha serie de potencias é unha serie da forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}.}$

A serie de Taylor nun punto ${\displaystyle c}$ dunha función é unha serie de potencias que, en moitos casos, converxe á función nun entorno de ${\displaystyle c}$. Por exemplo, a serie

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

é a serie de Taylor de ${\displaystyle e^{x}}$ na orixe e converxe a ela para todo ${\displaystyle x}$.

Serie formal de potencias

Artigo principal: Serie formal de potencias.

Aínda que moitos usos das series de potencias fan referencia ás súas sumas, tamén é posíbel tratar as series de potencias como sumas formais, o que significa que non se realiza ningunha operación de suma, e o símbolo "+" é un símbolo abstracto de conxunción que non se interpreta necesariamente como correspondente á suma. Neste escenario, a propia secuencia de coeficientes interesa máis que a converxencia da serie.

As series de potencias formais utilízanse na combinatoria para describir e estudar sucesións que doutro xeito son difíciles de manexar, por exemplo, usando o método de funcións xeradoras.

A serie de Hilbert-Poincaré é unha serie formal de potencias usada para estudar álxebras graduadas.

Serie de Laurent

Artigo principal: Serie de Laurent.

As series de Laurent xeneralizan as series de potencias admitindo termos na serie con expoñentes negativos e positivos. Unha serie de Laurent é, polo tanto, calquera serie da forma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}.}$

Se tal serie converxe, entón en xeral faino nunha coroa circular en vez de nun disco, e posibelmente nalgúns puntos límite. A serie converxe uniformemente en subconxuntos compactos do interior do anel de converxencia.

Series trigonométricas

Artigo principal: Serie trigonométrica.

Unha serie de funcións nas que os termos son función trigonométricas chámase serie trigonométrica:

${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos nx+B_{n}\sin nx\right).}$

O exemplo máis importante dunha serie trigonométrica é a serie de Fourier dunha función.

Serie de Dirichlet

Artigo principal: Serie de Dirichlet.

Unha serie de Dirichlet é unha serie da forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$

onde ${\displaystyle s}$ é un número complexo. Por exemplo, se todos os ${\displaystyle a_{n}}$ son iguais a ${\displaystyle 1}$, entón a serie de Dirichlet é a función zeta de Riemann

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}.}$

Do mesmo xeito que a función zeta, as series de Dirichlet en xeral xogan un papel importante na teoría analítica de números.

Xeralmente unha serie de Dirichlet converxe se a parte real de ${\displaystyle s}$ é maior que un número chamado abscisa de converxencia. En moitos casos, unha serie de Dirichlet pódese estender a unha función analítica fóra do dominio de converxencia mediante continuación analítica. Por exemplo, a serie de Dirichlet para a función zeta converxe absolutamente cando ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$, mais a función zeta pódese estender a unha función holomorfa definida en ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}}$ cun polo simple en ${\displaystyle 1}$.

Esta serie pódese xeneralizar directamente na serie xeral de Dirichlet.

Serie asintótica

Artigo principal: Expansión asintótica.

As series asintóticas, normalmente chamadas expansións asintóticas, son series infinitas cuxos termos son funcións dunha secuencia de diferentes ordes asintóticas e cuxas sumas parciais son aproximacións dalgunha outra función nun límite asintótico.

En xeral non converxen, pero seguen sendo útiles como secuencias de aproximacións, cada unha das cales proporciona un valor próximo á resposta desexada para un número finito de termos. Son ferramentas cruciais na teoría da perturbación e na análise de algoritmos.