GL
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms
Progresión xeométrica

Progresión xeométrica

From Wikipedia, the free encyclopedia

Progresión xeométrica
Propiedades elementaisSeries xeométricasObtención da fórmulaFórmulas relacionadasSeries xeométricas infinitasNúmero complexosProdutoRelación entre as progresións xeométricas e a obra de EuclidesNotasVéxase taménBibliografíaOutros artigosLigazóns externas

En matemáticas, unha progresión xeométrica é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado razón. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Thumb
Diagrama que representa tres sucesións de termo xeral 1(rn−1) ata 6 iteracións. O primeiro bloque é unha unidade e a liña é a suma infinita da sucesión: 2, 3/2 e 4/3

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias rk dun número determinado r, como 2k e 3k. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é

a ,   a r ,   a r 2 ,   a r 3 ,   a r 4 ,   … {\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots } {\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }

onde r ≠ 0 é a razón e a é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

O termo n-ésimo dunha progresión xeométrica con valor a e razón r vén dado por

a n = a r n − 1 . {\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}.} {\displaystyle a_{n}=a\,r^{n-1}.}

Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva

a n = r a n − 1 {\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}} {\displaystyle a_{n}=r\,a_{n-1}} for every integer n ≥ 1. {\displaystyle n\geq 1.} {\displaystyle n\geq 1.}

En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo

1, −3, 9, −27, 81, −243, …

é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é:

  • Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
  • Negativa, os termos terán signos alternos.
  • Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
  • 1, a progresión será unha sucesión constante.
  • Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
  • −1, a progresión será unha sucesión alternada.
  • Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza 11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra Principle of Population.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos a, b e c satisfarán a ecuación

b 2 = a c {\displaystyle b^{2}=ac} {\displaystyle b^{2}=ac}

onde b se considera a media xeométrica entre a e c.

2+10+50+250=312
− (10+50+250+1250=5 × 312 )
2−1250=(1 − 5) × 312

Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, a, e o termo seguinte ao último, arm. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1 − 5.

Unha serie xeométrica é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo:

2 + 10 + 50 + 250 = 2 + 2 × 5 + 2 × 5 2 + 2 × 5 3 . {\displaystyle 2+10+50+250=2+2\times 5+2\times 5^{2}+2\times 5^{3}.\,} {\displaystyle 2+10+50+250=2+2\times 5+2\times 5^{2}+2\times 5^{3}.\,}

Se a é o primeiro termo (neste caso 2), n o número de termos (aquí 4) e r a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:

a ( 1 − r n ) 1 − r {\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}} {\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}

No exemplo anterior, resulta:

2 + 10 + 50 + 250 = 2 ( 1 − 5 4 ) 1 − 5 = − 1248 − 4 = 312. {\displaystyle 2+10+50+250={\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}={\frac {-1248}{-4}}=312.} {\displaystyle 2+10+50+250={\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}={\frac {-1248}{-4}}=312.}

A fórmula funciona para calquera números reais a e r (agás r = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:

− 2 π + 4 π 2 − 8 π 3 = − 2 π + ( − 2 π ) 2 + ( − 2 π ) 3 = − 2 π ( 1 − ( − 2 π ) 3 ) 1 − ( − 2 π ) = − 2 π ( 1 + 8 π 3 ) 1 + 2 π ≈ − 214.855. {\displaystyle -2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}=-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}={\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}}={\frac {-2\pi (1+8\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -214.855.} {\displaystyle -2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}=-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}={\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}}={\frac {-2\pi (1+8\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -214.855.}

Obtención da fórmula

Para obter a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:

∑ k = 1 n a r k − 1 = a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.\,} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.\,}

Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − r, e verase que

( 1 − r ) ∑ k = 1 n a r k − 1 = ( 1 − r ) ( a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 ) = a r 0 + a r 1 + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n − 1 − a r 1 − a r 2 − a r 3 − ⋯ − a r n − 1 − a r n = a − a r n {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}}

posto que todos os outros termos se cancelan. Se r ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de n termos:

∑ k = 1 n a r k − 1 = a ( 1 − r n ) 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.} {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.}

Fórmulas relacionadas

Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente m, entón

∑ k = m n a r k = a ( r m − r n + 1 ) 1 − r . {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.} {\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.}

Derivando esta fórmula respecto de r pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma

∑ k = 0 n k s r k . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.} {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.}

Por exemplo:

d d r ∑ k = 0 n r k = ∑ k = 1 n k r k − 1 = 1 − r n + 1 ( 1 − r ) 2 − ( n + 1 ) r n 1 − r . {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.} {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.}

Para series xeométricas que conteñen só potencias de r multiplicadas por 1 − r2  :

( 1 − r 2 ) ∑ k = 0 n a r 2 k = a − a r 2 n + 2 . {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.} {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.}

Entón

∑ k = 0 n a r 2 k = a ( 1 − r 2 n + 2 ) 1 − r 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.} {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.}

Equivalentemente, tomando r2  como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de r

( 1 − r 2 ) ∑ k = 0 n a r 2 k + 1 = a r − a r 2 n + 3 {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}} {\displaystyle (1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}

e

∑ k = 0 n a r 2 k + 1 = a r ( 1 − r 2 n + 2 ) 1 − r 2 . {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.} {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.}

Series xeométricas infinitas

Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 (|r| < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas

∑ k = 0 ∞ a r k = lim n → ∞ ∑ k = 0 n a r k = lim n → ∞ a ( 1 − r n + 1 ) 1 − r = a 1 − r − lim n → ∞ a r n + 1 1 − r {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}
Thumb
Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2.

Dado que:

r n + 1 → 0  as  n → ∞  when  | r | < 1. {\displaystyle r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.} {\displaystyle r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.}

Entón:

∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r − 0 = a 1 − r {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}

Para unha serie que contén só potencias pares de r {\displaystyle r} {\displaystyle r},

∑ k = 0 ∞ a r 2 k = a 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}

e se só contén potencias impares,

∑ k = 0 ∞ a r 2 k + 1 = a r 1 − r 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}

Nos casos nos que a suma non comeza en k = 0,

∑ k = m ∞ a r k = a r m 1 − r {\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}} {\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}}

As fórmulas dadas arriba só son válidas para |r| < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de r sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números p-ádicos |r|p < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas das sumas relativas. Por exemplo,

d d r ∑ k = 0 ∞ r k = ∑ k = 1 ∞ k r k − 1 = 1 ( 1 − r ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}} {\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}

Esta fórmula só funciona para |r| < 1. De aquí séguese que, para |r| < 1,

∑ k = 0 ∞ k r k = r ( 1 − r ) 2 ; ∑ k = 0 ∞ k 2 r k = r ( 1 + r ) ( 1 − r ) 3 ; ∑ k = 0 ∞ k 3 r k = r ( 1 + 4 r + r 2 ) ( 1 − r ) 4 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}}

Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é

1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = 1 / 2 1 − ( + 1 / 2 ) = 1. {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.} {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.}

A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é

1 2 − 1 4 + 1 8 − 1 16 + ⋯ = 1 / 2 1 − ( − 1 / 2 ) = 1 3 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.} {\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.}

Número complexos

A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de r sexa menor que 1 convértese en que o módulo de r sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición

∑ k = 0 ∞ sin ⁡ ( k x ) r k = r sin ⁡ ( x ) 1 + r 2 − 2 r cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}

A demostración procede do feito de que

sin ⁡ ( k x ) = e i k x − e − i k x 2 i , {\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},} {\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},}

que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal

∑ k = 0 ∞ sin ⁡ ( k x ) r k = 1 2 i [ ∑ k = 0 ∞ ( e i x r ) k − ∑ k = 0 ∞ ( e − i x r ) k ] {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]} {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}.

Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos:

∏ i = 0 n a r i = ( a 0 ⋅ a n ) n + 1 {\displaystyle \prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{0}\cdot a_{n}}}\right)^{n+1}} {\displaystyle \prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{0}\cdot a_{n}}}\right)^{n+1}} (if a , r > 0 {\displaystyle a,r>0} {\displaystyle a,r>0}).

Demostración:

Sexa P o produto:

P = a ⋅ a r ⋅ a r 2 ⋯ a r n − 1 ⋅ a r n {\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}} {\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}.

Realizando as multiplicacións, conclúese que

P = a n + 1 r 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( n − 1 ) + ( n ) {\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}} {\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}}.

Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará

P = a n + 1 r n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}} {\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}.
P = ( a r n 2 ) n + 1 {\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}} {\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}.

Elevando ao cadrado ambos os membros:

P 2 = ( a 2 r n ) n + 1 = ( a ⋅ a r n ) n + 1 {\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}} {\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}}.

Consecuentemente,

P 2 = ( a 0 ⋅ a n ) n + 1 {\displaystyle P^{2}=(a_{0}\cdot a_{n})^{n+1}} {\displaystyle P^{2}=(a_{0}\cdot a_{n})^{n+1}}, e por tanto,
P = ( a 0 ⋅ a n ) n + 1 2 {\displaystyle P=(a_{0}\cdot a_{n})^{\frac {n+1}{2}}} {\displaystyle P=(a_{0}\cdot a_{n})^{\frac {n+1}{2}}},

que conclúe a demostración.

Os libros VIII e IX dos Elementos de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.[1]

  1. [1]
    Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nova York: Dover Publications.

Bibliografía

  • Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

Outros artigos

  • Progresión aritmética

Ligazóns externas

  • Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
  • Geometric Progression Calculator
  • Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com
Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Chrome
Wikiwand for Chrome
Edge
Wikiwand for Edge
Firefox
Wikiwand for Firefox

Propiedades elementais

Series xeométricas

Produto

Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides

Notas

Véxase tamén