En álxebra abstracta, un grupo é unha estrutura alxébrica que consta dun conxunto cunha operación que combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer os axiomas de grupo: ter a propiedade asociativa, elemento neutro e elemento inverso.
A teoría de grupos estuda os grupos en si.
Historia
O concepto de grupo xurdiu do estudo das ecuacións polinómicas comezado por Évariste Galois durante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como a teoría dos números e a xeometría, a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.
A definición formal de grupo (G, *) foi formulada por Ferdinand Georg Frobenius en 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesores Cauchy, Jordan e Sylow.[1]
Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada co teorema de clasificación de grupos simples, completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 a teoría de grupos xeométricos, que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.
Definición
Un grupo é un conxunto, G, cunha operación binaria «•» que compón dous elementos calquera a e b de G para formar outro elemento denotado como a • b o ab. Para poder cualificar como un grupo a (G, •), deben satisfacer catro propiedades:[2]
Operación interna
- Para todo a, b de G, o resultado da operación a • b tamén pertence a G.
Asociatividade
- Para todos os a, b e c de G, cúmprese que (a • b) • c = a • (b • c).
Elemento neutro
- Existe un elemento e de G, tal que para todos os elementos a de G se cumpre que e • a = a • e = a. O elemento neutro dun grupo G escríbese en ocasións como 1 ou 1G,[3] notación herdada da identidade multiplicativa.
Elemento inverso
- Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a • b = b • a = e.
A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elemento a co elemento b non é necesariamente igual que o resultado de b con a; a expresión
- a • b = b • a
pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámanse grupos abelianos, en honor a Niels Henrik Abel.
Exemplos
- O conxunto dos números enteiros Z coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que:
- Para calquera par de enteiros a e b, a suma a + b tamén é enteiro.
- Para todos os enteiros a, b e c, (a + b) + c = a + (b + c).
- Para calquera enteiro a, 0 + a = a + 0 = a.
- Para cada enteiro a, existe un enteiro b tal que a + b = b + a = 0. O enteiro b denomínase elemento inverso de a e denótase como -a.
- As simetrías (rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamado diédrico, que se expresa como D4.
- O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nos números racionais non nulos Q*.
- As matrices cadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices.
- O grupo de movementos no espazo ou grupo de isometría do espazo euclidiano.
- O grupo de Galileo está formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.
Notas
Véxase tamén
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.