Mecánica cuántica

A mecánica cuántica é unha teoría fundamental da física (máis particularmente, da física moderna) que proporciona unha descrición das propiedades físicas da natureza a escala de átomos e partículas subatómicas.^[2]:1.1 É a base de toda a física cuántica, incluíndo a química cuántica, a teoría cuántica de campos, a tecnoloxía cuántica e a ciencia da información cuántica.

Funcións de onda do electrón nun átomo de hidróxeno en diferentes niveis de enerxía. A mecánica cuántica non pode predicir a localización exacta dunha partícula no espazo, só a probabilidade de atopala en diferentes lugares.^[1] As áreas máis brillantes representan unha maior probabilidade de atopar o electrón.

Esquema dunha función de onda monoelectrónica ou orbital en tres dimensións.

Esquema dun orbital en dúas dimensións

A física clásica (o conxunto de teorías que existían antes da aparición da mecánica cuántica) describe moitos aspectos da natureza a escala ordinaria (macroscópica), pero non é suficiente para describilos a escalas moi pequenas^{[n. 1]} (atómica e subatómica). A maioría das teorías da física clásica poden derivarse da mecánica cuántica como unha aproximación válida a grande escala (macroscópica).^[3]

A mecánica cuántica difire da física clásica en que a enerxía, o momento, o momento angular e outras cantidades dun sistema de ligado están restrinxidas a valores discretos (quantización); os obxectos teñen características tanto de partículas como de ondas (dualidade onda-partícula); e existen límites á precisión coa que se pode predicir o valor dunha cantidade física antes da súa medición, dado un conxunto completo de condicións iniciais (principio de incerteza).

Historia

A mecánica cuántica xurdiu gradualmente a partir de teorías para explicar observacións que non podían reconciliarse coa física clásica, como a solución de Max Planck en 1900 ao problema da radiación do corpo negro, e a correspondencia entre enerxía e frecuencia nos artigos de 1905 de Albert Einstein, que explicaban o efecto fotoeléctrico. Estes primeiros intentos de comprender os fenómenos microscópicos, agora coñecidos como a "teoría cuántica antigua", conduciron ao desenvolvemento completo da mecánica cuántica a mediados da década de 1920 por Niels Bohr, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Max Born, Paul Dirac e outros. A teoría moderna formúlase en varios formalismos matemáticos especialmente desenvolvidos. Nun deles, unha entidade matemática chamada función de onda proporciona información, en forma de amplitude de probabilidade, sobre o que poden producir as medidas da enerxía, o momento e outras propiedades físicas dunha partícula.

Baséase na observación de que todas as formas de enerxía libéranse en unidades discretas ou paquetes chamados quantos. As partículas con esta propiedade poden pertencer a dous tipos distintos: fermións ou bosóns. Algúns destes últimos están ligados a unha interacción fundamental (por exemplo, o fotón pertence á electromagnética). Sorprendentemente, a teoría cuántica só permite normalmente cálculos probabilísticos ou estatísticos das características observadas das partículas elementais, entendidos en termos de funcións de onda. A ecuación de Schrödinger desempeña, na mecánica cuántica, o papel que as leis de Newton e a conservación da enerxía desempeñan na mecánica clásica. É dicir, a predición do comportamento futuro dun sistema dinámico e é unha ecuación de onda en termos dunha función de onda a que predi analiticamente a probabilidade precisa dos eventos ou resultados.

En teorías anteriores da física clásica, a enerxía era tratada unicamente como un fenómeno continuo, en tanto que a materia suponse que ocupa unha rexión moi concreta do espazo e que se move de maneira continua. Segundo a teoría cuántica, a enerxía emítese e absórbese en cantidades discretas e minúsculas. Un paquete individual de enerxía, chamado quanto, nalgunhas situacións compórtase como unha partícula de materia. Doutra banda, atopouse que as partículas expoñen algunhas propiedades ondulatorias cando están en movemento e xa non son vistas como localizadas nunha rexión determinada, senón máis ben estendidas en certa medida. A luz ou outra radiación emitida ou absorbida por un átomo só ten certas frecuencias (ou lonxitudes de onda), como pode verse na liña do espectro asociado ao elemento químico representado por tal átomo. A teoría cuántica demostra que tales frecuencias corresponden a niveis definidos dos quantos de luz, ou fotóns, e é o resultado do feito de que os electróns do átomo só poden ter certos valores de enerxía permitidos. Cando un electrón pasa dun nivel permitido a outro, unha cantidade de enerxía é emitida ou absorbida, cuxa frecuencia é directamente proporcional á diferenza de enerxía entre os dous niveis.

A mecánica cuántica xorde timidamente nos inicios do século XX dentro das tradicións máis profundas da física para dar unha solución a problemas para os que as teorías coñecidas ata o momento esgotaran a súa capacidade de explicar, como a chamada catástrofe ultravioleta na radiación de corpo negro predita pola física estatística clásica e a inestabilidade dos átomos no modelo atómico de Rutherford. A primeira proposta dun principio propiamente cuántico débese a Max Planck en 1900, para resolver o problema da radiación de corpo negro, que foi duramente cuestionado, ata que Albert Einstein convérteo no principio que exitosamente poida explicar o efecto fotoeléctrico. As primeiras formulacións matemáticas completas da mecánica cuántica non se alcanzan ata mediados da década de 1920, sen que ata o día de hoxe téñase unha interpretación coherente da teoría, en particular do problema da medición.

O formalismo da mecánica cuántica desenvolveuse durante a década de 1920. En 1924, Louis de Broglie propuxo que, do mesmo xeito que as ondas de luz presentan propiedades de partículas, como ocorre no efecto fotoeléctrico, as partículas, tamén presentan propiedades ondulatorias. Dúas formulacións diferentes da mecánica cuántica presentáronse despois da suxestión de Broglie. En 1926, a mecánica ondulatoria de Erwin Schrödinger implica a utilización dunha entidade matemática, a función de onda, que está relacionada coa probabilidade de atopar unha partícula nun punto dado no espazo. En 1925, a mecánica matricial de Werner Heisenberg non fai mención algunha das funcións de onda ou conceptos similares, pero demostrou ser matematicamente equivalente á teoría de Schrödinger. Un descubrimento importante da teoría cuántica é o principio de incerteza, enunciado por Heisenberg en 1927, que pon un límite teórico absoluto na precisión de certas medicións. Como resultado diso, a asunción clásica dos científicos de que o estado físico dun sistema podería medirse exactamente e utilizarse para predicir os estados futuros tivo que ser abandonada. Isto supuxo unha revolución filosófica e deu pé a numerosas discusións entre os máis grandes físicos da época.

A mecánica cuántica propiamente dita non incorpora á relatividade na súa formulación matemática. A parte da mecánica cuántica que incorpora elementos relativistas de maneira formal para abordar diversos problemas coñécese como mecánica cuántica relativista ou xa, en forma máis correcta e acabada, teoría cuántica de campos (que inclúe á súa vez á electrodinámica cuántica, cromodinámica cuántica e teoría electrodébil dentro do modelo estándar)^[4] e máis xeralmente, a teoría cuántica de campos en espazo-tempo curvo. A única interacción elemental que non se puido cuantizar ata o momento foi a interacción gravitatoria. Este problema constitúe entón un dos maiores desafíos da física do século XXI. A mecánica cuántica combinouse coa teoría da relatividade na formulación de Paul Dirac de 1928, o que, ademais, predixo a existencia de antipartículas. Outros desenvolvementos da teoría inclúen a estatística cuántica, presentada nunha forma por Einstein e Bose (a estatística de Bose-Einstein) e noutra forma por Dirac e Enrico Fermi (a estatística de Fermi-Dirac); a electrodinámica cuántica, interesada na interacción entre partículas cargadas e os campos electromagnéticos, a súa xeneralización, a teoría cuántica de campos e a electrónica cuántica.

A mecánica cuántica proporciona o fundamento da fenomenoloxía do átomo, do seu núcleo e das partículas elementais (o cal require necesariamente o enfoque relativista). Tamén o seu impacto en teoría da información, criptografía e química foi decisivo entre esta mesma.

Fig. 1: A función de onda dun electrón dun átomo de hidróxeno ten niveis de enerxía definidos e discretos ós que se lle asigna un número cuántico n=1,2,3,... e valores definidos de momento angular caracterizados pola notación: s, p, d,... As áreas brillantes da figura corresponden a elevadas densidades de probabilidade de atopar o electrón nesa posición.

Visión xeral e conceptos fundamentais

A mecánica cuántica permite calcular as propiedades e o comportamento dos sistemas físicos. Adoita aplicarse a sistemas microscópicos: moléculas, átomos e partículas subatómicas. Demostrouse que é válida para moléculas complexas con miles de átomos,^[5] pero a súa aplicación aos seres humanos expón problemas filosóficos, como o amigo de Wigner, e a súa aplicación ao universo no seu conxunto segue sendo especulativa.^[6] As predicións da mecánica cuántica verificáronse experimentalmente cun grao de precisión extremadamente alto. ^{[n. 2]}

Unha característica fundamental da teoría é que, polo xeral, non pode predicir con certeza o que ocorrerá, senón que só dá probabilidades. Matematicamente, unha probabilidade áchase tomando o cadrado do valor absoluto dun número complexo, coñecido como amplitude de probabilidade. Isto coñécese como regra de Born, chamada así polo físico Max Born. Por exemplo, unha partícula cuántica como un electrón pode describirse mediante unha función de onda, que asocia a cada punto do espazo unha amplitude de probabilidade. Aplicando a regra de Born a estas amplitudes obtense unha función de densidade de probabilidade para a posición que ocupará o electrón cando se realice un experimento para medilo. Isto é o mellor que pode facer a teoría; non pode dicir con certeza onde se atopará o electrón. A ecuación de Schrödinger relaciona a colección de amplitudes de probabilidade que pertencen a un momento do tempo coa colección de amplitudes de probabilidade que pertencen a outro.

Unha das consecuencias das regras matemáticas da mecánica cuántica é o compromiso na predictibilidade entre distintas cantidades medibles. A forma máis famosa deste principio de incerteza di que non importa como se prepare unha partícula cuántica ou con que coidado organícense os experimentos sobre ela, é imposible ter unha predición precisa para unha medida da súa posición e tamén ao mesmo tempo para unha medida do seu impulso.

Outra consecuencia das regras matemáticas da mecánica cuántica é o fenómeno de interferencia cuántica, que adoita ilustrarse co experimento da dobre fenda. Na versión básica deste experimento, unha fonte de luz coherente, como un raio láser, ilumina unha placa perforada por dúas fendas paralelas, e a luz que pasa a través das fendas obsérvase nunha pantalla situada detrás da placa.^{[7]:102–111[2]:1.1–1.8} A natureza ondulatoria da luz fai que as ondas luminosas que pasan polas dúas fendas interfiran, producindo bandas brillantes e escuras na pantalla, un resultado que non se esperaría se a luz consistise en partículas clásicas.^[7] Con todo, a luz sempre se absorbe na pantalla en puntos discretos, como partículas individuais e non como ondas; o patrón de interferencia aparece a través da densidade variable destes impactos de partículas na pantalla. Ademais, as versións do experimento que inclúen detectores nas fendas mostran que cada fotón detectado pasa a través dunha fenda (como o faría unha partícula clásica), e non a través de ambas as fendas (como o faría unha onda).^{[7]:109[8][9]} Con todo, estes experimentos demostran que as partículas non forman o patrón de interferencia se se detecta por que fenda pasan. Outras entidades a escala atómica, como os electróns, mostran o mesmo comportamento cando se disparan cara a unha dobre fenda.^[2] Este comportamento coñécese como dualidade onda-corpúsculo.

Outro fenómeno contraintuitivo predito pola mecánica cuántica é a tunelización cuántica: unha partícula que se enfronta a unha barreira potencial pode atravesala, aínda que a súa enerxía cinética sexa menor que o máximo do potencial.^[10] En mecánica clásica, esta partícula quedaría atrapada. A tunelización cuántica ten varias consecuencias importantes, xa que permite a desintegración radioactiva, a fusión nuclear nas estrelas e aplicacións como a microscopía de tunelización de varrido e o díodo túnel.^[11]

Cando os sistemas cuánticos interactúan, o resultado pode ser a creación de entrelazamento cuántico: as súas propiedades entrelázanse tanto que xa non é posible unha descrición do todo unicamente en termos das partes individuais. Erwin Schrödinger chamou ao entrelazamiento "...o' trazo característico da mecánica cuántica, o que impón todo o seu afastamento das liñas clásicas de pensamento".^[12] O entrelazamiento cuántico permite as propiedades contraintuitivas da pseudotelepatía cuántica, e pode ser un recurso valioso en protocolos de comunicación, como a distribución de claves cuántica e a codificación superdensa.^[13] Contrariamente á crenza popular, o entrelazamento non permite enviar sinais máis rápido que a luz, como demostra o teorema da non-comunicación.^[13]

Outra posibilidade que abre o entrelazamiento é a comprobación de "variables ocultas", propiedades hipotéticas máis fundamentais que as cantidades abordadas na propia teoría cuántica, cuxo coñecemento permitiría predicións máis exactas que as que pode proporcionar a teoría cuántica. Unha serie de resultados, entre os que destaca o teorema de Bell, demostraron que amplas clases destas teorías de variables ocultas son, de feito, incompatibles coa física cuántica. Segundo o teorema de Bell, se a natureza funciona realmente de acordo con calquera teoría de variables ocultas locais, entón os resultados da proba de Bell veranse limitadas dunha maneira particular e cuantificable. Realizáronse moitas probas de Bell, utilizando partículas entrelazadas, e mostraron resultados incompatibles coas restricións impostas polas variables ocultas locais. ^[14][15]

Non é posible presentar estes conceptos de forma máis que superficial sen introducir as matemáticas reais implicadas; entender a mecánica cuántica require non só manipular números complexos, senón tamén álxebra lineal, ecuacións diferenciais, teoría de grupos e outros temas máis avanzados. ^{[n. 3]}

Formulación matemática

Na formulación matematicamente rigorosa da mecánica cuántica, o estado dun sistema mecánico cuántico é un vector ${\displaystyle \psi }$ pertencente a un complexo (separable) espazo de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Postúlase que este vector está normalizado baixo o produto interior do espazo de Hilbert, é dicir, obedece a ${\displaystyle \langle \psi ,\psi \rangle =1}$, e está ben definido ata un número complexo de módulo 1 (a fase global), é dicir, ${\displaystyle \psi }$ e ${\displaystyle e^{i\alpha }\psi }$ representan o mesmo sistema físico. Noutras palabras, os estados posibles son puntos no espazo proxectivo dun espazo de Hilbert, normalmente chamado espazo proxectivo complexo. A natureza exacta deste espazo de Hilbert depende do sistema; por exemplo, para describir a posición e o momento, o espazo de Hilbert é o espazo de funcións complexas cadrado-integrable ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$, mentres que o espazo de Hilbert para o spin dun único protón é simplemente o espazo de vectores complexos bidimensionais ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ co produto interior habitual.

Principios da mecánica cuántica

• Primeiro principio: Principio da superposición

Para cada sistema físico asóciase un espazo de Hilbert ${\displaystyle \epsilon _{H}}$. O estado do sistema defínese en cada instante por un vector normado ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ de ${\displaystyle \epsilon _{H}}$.

• Segundo principio: medida de magnitudes físicas

a) Para toda magnitude física A asóciase un operador lineal auto-adxunto Á pertencente a ${\displaystyle A}$: Á é o observábel representando a magnitude A.

b) Sexa ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ o estado no cal o sistema se atopa no momento onde efectuamos a medida de A. Calquera que sexa ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$, os únicos resultados posíbeis son os autovalores de ${\displaystyle a_{\alpha }}$ do observábel Á.

c) Sendo ${\displaystyle {\hat {A}}_{\alpha }}$ o proxector sobre o subespazo asociado ao valor propio ${\displaystyle a_{\alpha }}$, a probablidade de atopar o valor ${\displaystyle a_{\alpha }}$ nunha medida de A é:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(a_{\alpha })=\|\psi _{\alpha }\|^{2}}$ onde ${\displaystyle |\psi _{\alpha }\rangle ={\hat {A}}_{\alpha }}$

d) Inmediatamente despois dun medida de A, que resultou no valor ${\displaystyle a_{\alpha }}$, o novo estado ${\displaystyle |\psi '\rangle }$ do sistema é

${\displaystyle |\psi '\rangle ={|\psi _{\alpha }\rangle }/{\|\psi _{\alpha }\|^{2}}}$

• Terceiro principio: Evolución do sistema

Sexa ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ o estado dun sistema ao instante t. Se o sistema non se somete a ningunha observación, a súa evolución ao longo do tempo réxese pola ecuación de Schrödinger:

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$

onde ${\displaystyle {\hat {H}}}$ é o observábel enerxía, ou hamiltoneana do sistema.

Conclusións da mecánica cuántica

As conclusións máis importantes desta teoría son:

• En estados ligados, como o electrón xirando ao redor dun átomo, a enerxía non se troca de modo continuo, mais si de modo discreto (descontinuo), en transicións cuxas enerxías poden ou non ser iguais unhas ás outras. A idea de que estados ligados teñen niveis de enerxías discretas é debida a Max Planck.
• O de ser imposíbel atribuír ao mesmo tempo unha posición e unha velocidade exactas a unha partícula, renunciándose así ao concepto de traxectoria, vital en Mecánica Clásica. Ao contrario da traxectoria, o movemento de partículas en Mecánica Cuántica é descrito por medio dunha función de onda, que é unha función da posición da partícula e do tempo. A función de onda interprétase por Max Born como unha medida da probabilidade de se atopar a partícula en determinada posición e en determinado tempo. Esta interpretación é a máis acepta polos físicos hoxe, no conxunto de atribucións da Mecánica Cuántica regulamentados pola Escola de Copenhaguen. Para describir a dinámica dun sistema cuántico débese, polo tanto, achar a súa función de onda, e para este efecto úsanse as ecuacións de movemento, propostas por Werner Heisenberg e Erwin Schrödinger independentemente.

Aínda que a estrutura formal estea ben desenvolta desde a década de 1930, non pasa o mesmo coa súa interpretación, que segue a ser obxecto dalgunhas controversias, a principal é o problema da medida en Mecánica Cuántica e a súa relación coa non-localidade e causalidade. Xa en 1935, Einstein, Podolski e Rosen publicaron o seu G, mostrando unha aparente contradición entre localidade e o proceso de Medida en Mecánica Cuántica. Nos anos 60 J. S. Bell publicou unha serie de relacións que serían respectadas caso a localidade — ou polo menos como a entendemos clasicamente — aínda persistise en sistemas cuánticos. Tales condicións chámanse desigualdades de Bell e testáronse experimentalmente por A. Aspect, P. Grangier, J. Dalibard en favor da Mecánica Cuántica. Como sería de se esperar, tal interpretación aínda causa desconforto entre varios físicos, mais a gran parte da comunidade acepta que estados correlacionados poden violar causalidade desta forma.

Tal revisión radical do noso concepto de realidade fundamentouse en explicacións teóricas brillantes para resultados experimentais que non podían ser descritos pola teoría Clásica, que inclúen:

• Espectro de Radiación do Corpo negro, resolvido por Max Planck coa proposición da cuantización da enerxía.
• Explicación do Experimento da dobre fenda, no cal electróns producen un padrón de interferencia coincidente co comportamento ondular.
• Explicación por Albert Einstein do efecto fotoeléctrico descuberto por Heinrich Rudolf Hertz, onde propón que a luz tamén se propaga en quanta (paquetes de enerxía definida), os chamados fotóns.
• O Efecto Compton, no cal se propón que os fotóns poden se comportar como partículas, cando a súa enerxía for grande o bastante.
• A cuestión da calor específica de sólidos baixo baixas temperaturas, cuxa discrepancia explicouse polas teorías de Einstein e de Debye, baseadas na equipartición de enerxía segundo a interpretación cuantizada de Planck.
• A absorción resoante e discreta de enerxía por gases, probada no experimento de Franck-Hertz cando sometidos a certos valores de diferenza de potencial eléctrico.
• A explicación da estabilidade atómica e da natureza discreta das raias espectrais, grazas ao modelo do átomo de Bohr, que postulaba a cuantización dos niveis de enerxía do átomo.

O desenvolvemento formal da teoría foi obra de esforzos conxuntos de moitos físicos e matemáticos da época como Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Einstein, P.A.M. Dirac, Niels Bohr e John von Neumann, entre outros (dunha longa lista). En xeral, a rexión de orixe da Mecánica Cuántica pode localizarse na Europa Central, na Alemaña e Austria, ben como a Inglaterra, e no contexto histórico do primeiro terzo do século XX.

Formalismos matemáticos na mecánica cuántica

É importante resaltar que a mecánica cuántica, así como acontece coa mecánica clásica, pode presentarse (formalizarse) de xeitos distintos.

A mecánica clásica, por exemplo, pode ser descrita na linguaxe das forzas, que é a forma máis antiga, debida á Newton. Foi moito ben sucedida na explicación de varios fenómenos.

Máis tarde, o formalismo lagranxiano, onde o concepto máis importante non é a forza, mais a enerxía e acción, sendo que esta última é definida en termos da enerxía potencial e da enerxía cinética.

Despois, o formalismo hamiltoniano, baseado formalmente na lagranxiana, mais con desenvolvemento matemático moitas veces máis fácil.

Notas

1. O concepto de partícula "moi pequena", mesmo que de límites moi imprecisos, relaciónase coas dimensións nas cales se comezan a notar efectos como a imposibilidade de coñecer con exactitude infinita e ao mesmo tempo a posición e mais a velocidade dunha partícula, entre outras. (vexa Principio de indeterminación de Heisenberg)
2. Véxase, por exemplo, Probas de precisión de EDC. O refinamento relativista da mecánica cuántica coñecido como electrodinámica cuántica (EDC) demostrou concordar cos experimentos cunha precisión de 1 de cada 10⁸partes para algunhas propiedades atómicas.
3. O físico John C. Baez advirte: "non hai forma de entender a interpretación da mecánica cuántica sen ser tamén capaz de resolver problemas de mecánica cuántica - para entender a teoría, hai que ser capaz de usala (e viceversa)".^[16] Carl Sagan esbozou os "fundamentos matemáticos" da mecánica cuántica e escribiu: "Para a maioría dos estudantes de física, isto podería ocupalos desde, digamos, terceiro grao ata principios da escola de posgraduado– uns 15 anos. [...] A tarefa do divulgador científico, que trata de transmitir algunha idea da mecánica cuántica a un público xeral que non pasou por estes ritos de iniciación, é desalentadora. De feito, na miña opinión, non existen divulgacións exitosas da mecánica cuántica, en parte por esta razón."^[17]

Referencias

1. Born, M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge" [On the Quantum Mechanics of Collision Processes]. Zeitschrift für Physik 37 (12). Bibcode:1926ZPhy...37..863B. doi:10.1007/BF01397477. Parámetro descoñecido |pàxinas= ignorado (Axuda)
2. Feynman, Richard; Leighton, Robert; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics 3. California Institute of Technology. ISBN 978-0201500646. Consultado o 15 de xuño do 2023.
3. Jaeger, Gregg (setembro de 2014). "What in the (quantum) world is macroscopic?". American Journal of Physics 82 (9). pp. 896–905. Bibcode:2014AmJPh..82..896J. doi:10.1119/1.4878358.
4. Halzen, Francis; Martin, Alan Douglas (1984). Universidade de Wisconsin, ed. Quarks and Lepons: An Introducory Course in Modern Particle Physics. Universidade de Durham. Canadá: Wiley. pp. 396. ISBN 9780471887416.
5. Yaakov Y. Fein; Philipp Geyer; Patrick Zwick; Filip Kiałka; Sebastian Pedalino; Marcel Mayor; Stefan Gerlich; Markus Arndt (setembro de 2019). "Quantum superposition of molecules beyond 25 kDa". Nature Physics 15 (12). pp. 1242–1245. Bibcode:2019NatPh..15.1242F. doi:10.1038/s41567-019-0663-9.
6. Bojowald, Martin (2015). "Quantum cosmology: a review". Reports on Progress in Physics 78 (2). p. 023901. Bibcode:2015RPPh...78b3901B. PMID 25582917. arXiv:1501.04899. doi:10.1088/0034-4885/78/2/023901.
7. Lederman, Leon M.; Hill, Christopher T. (2011). Quantum Physics for Poets. US: Prometheus Books. ISBN 978-1616142810.
8. Müller-Kirsten, H. J. W. (2006). Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral. US: World Scientific. p. 14. ISBN 978-981-2566911.
9. Plotnitsky, Arkady (2012). Niels Bohr and Complementarity: An Introduction. US: Springer. pp. 75–76. ISBN 978-1461445173.
10. Griffiths, David J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Prentice Hall. ISBN 0-13-124405-1.
11. Trixler, F. (2013). "Quantum tunnelling to the origin and evolution of life". Current Organic Chemistry 17 (16). pp. 1758–1770. PMC 3768233. PMID 24039543. doi:10.2174/13852728113179990083.
12. Bub, Jeffrey (2019). "Quantum entanglement". En Zalta, Edward N. Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
13. Caves, Carlton M. (2015). "Quantum Information Science: Emerging No More". En Kelley, Paul; Agrawal, Govind; Bass, Mike; Hecht, Jeff; Stroud, Carlos. OSA Century of Optics. The Optical Society. pp. 320–323. Bibcode:2013arXiv1302.1864C. ISBN 978-1-943580-04-0. arXiv:1302.1864.
14. Wiseman, Howard (outubro de 2015). "Death by experiment for local realism". Nature (en inglés) 526 (7575). pp. 649–650. ISSN 0028-0836. PMID 26503054. doi:10.1038/nature15631.
15. Wolchover, Natalie (7 de febreiro de 2017). "Experiment Reaffirms Quantum Weirdness". Quanta Magazine (en inglés). Consultado o 19 de xuño do 2023.
16. Baez, John C. (20 March 2020). "How to Learn Math and Physics". University of California, Riverside. Consultado o 20 de setembro do 2023.
17. Sagan, Carl (1996). The Demon-Haunted World: Science as a Candle in the Dark. Ballantine Books. p. 249. ISBN 0-345-40946-9.

Véxase tamén

Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  Mecánica cuántica

Bibliografía

• Von Neumann, John. "Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica". 2ª edición do clásico de 1932. CSIC, Madrid,1991. ISBN 84-00-07171-9.
• Bernstein, Jeremy (2009). Quantum Leaps. Cambridge, Massachusetts: Belknap Press of Harvard University Press. ISBN 978-0-674-03541-6.
• Müller-Kirsten, H. J. W. (2012). Introduction to Quantum Mechanics: Schrödinger Equation and Path Integral (2nd ed.). World Scientific. ISBN 978-981-4397-74-2.
• Bohm, David (1989). Quantum Theory. Dover Publications. ISBN 0-486-65969-0.
• Eisberg, Robert; Resnick, Robert (1985). Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles (2nd ed.). Wiley. ISBN 0-471-87373-X.
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
• Merzbacher, Eugen (1998). Quantum Mechanics. Wiley, John & Sons, Inc. ISBN 0-471-88702-1.
• Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics. Addison Wesley. ISBN 0-201-53929-2.

Outros artigos

• Efecto túnel
• Interpretacións da mecánica cuántica
• Solitón

Ligazóns externas

• The Modern Revolution in Physics (en inglés)