Característica de Euler

En matemática, e en particular en topoloxía alxébrica, a característica de Euler ou característica de Euler-Poincaré é un invariante topolóxico, un número definido que serve para ampliar unha clase de espazos topolóxicos. Denótase xeralmente por ${\displaystyle \chi }$ (a letra grega khi).

Característica de Euler en poliedros

A característica de Euler dun politopo de tres dimensións (poliedro) pode calcularse empregando a fórmula seguinte:

${\displaystyle \chi =C-A+V\,\!}$

onde C, A e V son os números de caras, de arestas e de vértices respectivamente. En particular, para calquera poliedro homeomorfo a unha esfera tense

${\displaystyle \chi =C-A+V=2\,\!}$

Por exemplo, para un cubo tense 6 - 12 + 8 = 2 e para un tetraedro tense 4 - 6 + 4 = 2. A fórmula anterior tamén se chama fórmula de Euler, que se pode demostrar por indución matemática.

Outros exemplos poden atoparse na seguinte táboa

Nome	Imaxe	Vértices V	Arestas A	Caras C	Característica de Euler: V − A + C
Tetraedro		4	6	4	2
Cubo		8	12	6	2
Octaedro		6	12	8	2
Dodecaedro		20	30	12	2
Icosaedro		12	30	20	2

Un poliedro que non sexa homeomorfo a unha esfera, como o poliedro toroidal da figura, que ten 48 caras, 22 vértices e 70 arestas obtense 22 - 70 + 48 = 0.

Poliedro toroidal de 48 caras

Táboa coas característica de Euler doutros poliedros

Nome	Imaxe	Vértices V	Arestas A	Caras C	Característica de Euler : V − A + C
Tetrahemihexaedro		6	12	7	1
Octahemioctaedro		12	24	12	0
Cubohemioctaedro		12	24	10	−2
Grande icosaedro		12	30	20	2

Xeneralización ás superficies

Esfera triangulada a partir dun icosaedro.

Unha superficie compacta como a esfera, o toro, o bitoro, un disco con bordo etc. xorde de deformar de forma continua un poliedro. Por exemplo, se se deforma un icosaedro ata obter unha esfera as arestas transfórmanse en curvas sobre a esfera, as caras son "triángulos" e os vértices puntos sobre as mesmas. Así, a esfera quedará "triangulada". Para definir a característica dunha superficie empréganse estas triangulacións realizando a fórmula análoga χ(S) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidade as triangulacións non deben facerse necesariamente con triángulos, senón con calquera polígono, tendo en conta que dous polígonos só compartan unha aresta como máximo, e que, se comparten un lado, só compartan os dous vértices dese lado. Así a xeneralización da característica de Euler para unha superficie cerrada S é

${\displaystyle \chi (S)={\mbox{Polígonos - Lados + Puntos}}\,\!}$

A característica de Euler de superficies orientadas pechadas relaciónase co seu xénero g, que é un número que describe a cantidade de «asas» que ten a superficie. A relación vén dada por:

${\displaystyle \chi (S)=2-2g\,\!}$

Por exemplo: o toro ten unha asa e polo tanto ${\displaystyle \chi =2-2g=2-2=0}$.

Definición xeral e propiedades

Para un CW-complexo finito e en particular para un complexo simplicial finito, a característica de Euler pode definirse como a suma alternada

${\displaystyle \chi =k_{0}-k_{1}+k_{2}-\cdots ,}$

onde k_i denota o número de células de dimensión i.

Entón, pode definirse a característica de Euler dunha variedade como a característica de Euler dun complexo simplicial homeomorfo a el. Por exemplo, o círculo e o toro teñen característica de Euler 0 e as bólas sólidas teñen característica de Euler 1.

A característica de Euler é independente da triangulación. A fórmula pode tamén empregarse para as descomposicións en polígonos arbitrarios.

Para as variedades pechadas, a característica de Euler coincide co número de Euler, é dicir, a clase de Euler do seu fibrado tanxente avaliado na clase fundamental da variedade.

Para as variedades de Riemann pechadas, a característica de Euler pode atoparse tamén integrando a curvatura. Un análogo discreto do teorema de Gauss-Bonnet é o teorema de Descartes que indica que o "defecto total" dun poliedro, medido en círculos completos, é a característica de Euler do poliedro.

Máis xeralmente aínda, para calquera espazo topolóxico, podemos definir o n-ésimo número de Betti b_n como o rango do n-ésimo grupo de homoloxía. A característica de Euler pode definirse entón como a suma alternada

${\displaystyle \chi =b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+\,\cdots .}$

Esta definición ten sentido se os números de Betti son todos finitos e cero máis aló dun determinado índice n₀.

Dous espazos topolóxicos que son equivalentes homotópicos teñen grupos isomorfos de homoloxía e polo tanto a mesma característica de Euler.

Desta definición e a dualidade de Poincaré, séguese que a característica de Euler de calquera variedade pechada de dimensión impar é cero.

Se M e N son espazos topolóxicos, entón a característica de Euler do seu produto M × N é

${\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)}$.

Conxunto parcialmente ordenado

O concepto de característica de Euler dun conxunto parcialmente ordenado finito limitado é outra xeneralización, importante en combinatoria. Un conxunto parcialmente ordenado é limitado se ten elementos mínimos e máximos, que podemos chamar 0 e 1. A característica de Euler dese conxunto é μ(0,1), onde μ é a función de Möbius na álxebra de incidencia do conxunto.

Véxase tamén

Outros artigos

• Teorema de poliedros de Euler
• Xénero

Ligazóns externas

• Característica de Euler en Encyclopaedia of Mathematics (en inglés)