Teorema de Pick

Dado un polígono simple construído sobre unha cuadrícula de puntos equidistantes (é dicir, puntos con coordenadas enteiras) de tal xeito que todos os vértices do polígono son puntos da cuadrícula, o teorema de Pick proporciona unha fórmula sinxela para calcular a área A dese polígono en termos do número i de puntos interiores situados no polígono e o número b de puntos límite situados no perímetro do polígono:

${\displaystyle A=i+{\frac {b}{2}}-1.}$

i = 7, b = 8, A = i + b/2 − 1 = 10

Secuencia de Farey de orde 6, con 1 punto interior (vermello) e 96 puntos fronteira (verde) que dan unha área de 1 + 96/2 − 1 = 48^[1]

O teorema só é válido para polígonos simples, é dicir, aqueles que consisten nunha única "peza" e non conteñen "buratos".

Foi descrito en alemán a primeira vez polo austríaco Georg Alexander Pick en 1899,^[2] e popularizado en inglés por Hugo Steinhaus na edición de 1950 do seu libro Mathematical Snapshots.

Ten múltiples demostracións, e pódese xeneralizar a fórmulas para certos tipos de polígonos non simples.

Exemplo

O exemplo mostrado na figura superior na introdución, ten ${\displaystyle i=7}$ puntos interiores e ${\displaystyle b=8}$ puntos de fronteira, polo que a súa área é ${\displaystyle A=7+{\tfrac {8}{2}}-1=10}$ unidades cadradas.

Pódese comprobar con facilidade descompoñendo en 3 triángulos metidos en 3 rectangulos, o que vai desde o punto superior arriba-esquerda estendendo cara a dereita e cara abaixo (ocupa ${\displaystyle 3\times 3}$ cadrados e por tanto ten por área ${\displaystyle {\tfrac {9}{2}}}$ ), o situado enriba deste estendido unha liña máis pola esquerda (ocupa ${\displaystyle 4\times 2}$ cadrados e por tanto ten por área ${\displaystyle {\tfrac {8}{2}}=4}$), o que está na esquerda (ocupa ${\displaystyle 3\times 1}$ cadrados e por tanto ten por área ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$), isto fai un total de ${\displaystyle {\frac {9}{2}}+4+{\frac {3}{2}}=10}$.