Na xeometría, arco é calquera curva continua que une dous puntos.[1] Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Circle_arc.svg/320px-Circle_arc.svg.png)
O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios.
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7a/Arco_circ.png/320px-Arco_circ.png)
Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva)
Métodos históricos
Antigüidade
No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.
As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Archimedes_pi.svg/640px-Archimedes_pi.svg.png)
Século XVII
Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.
Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.
A lonxitude dun arco de circunferencia de radio r e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θr. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)πr.
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Arclength.svg/320px-Arclength.svg.png)
Métodos modernos
Ao considerar unha función e a súa respectiva derivada , que son continuas nun intervalo [a, b], a lonxitude do arco delimitado por a e b vén dada pola fórmula:
Se a función está definida parametricamente, onde e :
Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados , a lonxitude dunha curva redúcese a:
Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.
Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.
Lonxitude de arco
A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:
Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo e vén dada por:
Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que e , a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como:
Notas
Véxase tamén
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.