Théorème de Dvoretzky-Rogers

Le théorème de Dvoretzky-Rogers, dû à Aryeh Dvoretzky et Claude Ambrose Rogers^[1], est un théorème mathématique d'analyse fonctionnelle sur les séries dans les espaces de Banach.

Lemme de Dvoretzky-Rogers

Ce lemme sur les espaces vectoriels normés de dimension finie garantit l'existence d'une base dans laquelle la norme euclidienne des coordonnées fournit une certaine estimation de la norme :

Lemme de Dvoretzky-Rogers^[2] — Dans tout espace vectoriel normé de dimension n, il existe des vecteurs unitaires x₁, … , x_n tels que pour 1 ≤ m ≤ n et pour tous réels t₁, … , t_m,${\displaystyle \left\|\sum _{i=1}^{m}t_{i}x_{i}\right\|\leq \left(1+{\sqrt {\frac {m(m-1)}{n}}}\right){\sqrt {\sum _{i=1}^{m}t_{i}^{2}}}.}$

La qualité de l'estimation dépend du nombre m de termes de la somme. La valeur maximale du coefficient, égale à 1+√n – 1, dépend de la dimension, mais on obtient une majoration indépendante de la dimension si l'on restreint le nombre m de termes, comme dans le corollaire suivant, qui est l'ingrédient essentiel de la démonstration du théorème de Dvoretzky-Rogers :

Corollaire — Dans tout espace vectoriel normé de dimension supérieure ou égale à m(m – 1), il existe des vecteurs unitaires x₁, … , x_m tels que pour tous réels t₁, … , t_m,${\displaystyle \left\|\sum _{i=1}^{m}t_{i}x_{i}\right\|\leq 2{\sqrt {\sum _{i=1}^{m}t_{i}^{2}}}.}$

Théorème de Dvoretzky-Rogers

Théorème de Dvoretzky-Rogers — Soit E un espace de Banach de dimension infinie. Pour toute suite (a_n)_n∈ℕ de réels positifs de carré sommable, il existe une suite (x_n)_n∈ℕ de vecteurs de E telle que ║x_n║ = a_n et que la série des x_n soit commutativement convergente.

Pour le démontrer, on considère une suite de sous-espaces de dimensions finies appropriées, dans lesquels on choisit, à l'aide du corollaire ci-dessus, les vecteurs voulus.

Conséquences

Une caractérisation des espaces de dimension finie

En appliquant le théorème de Dvoretzky-Rogers à des a_n positifs tels que la somme des a_n² soit finie mais pas la somme des a_n — par exemple a_n = 1/n —, on conclut que si un espace de Banach est de dimension infinie, alors il contient des séries commutativement convergentes mais non absolument convergentes. Comme le théorème de réarrangement de Riemann garantit la réciproque, on en déduit le corollaire suivant (parfois nommé aussi « théorème de Dvoretzky-Rogers ») :

Un espace de Banach E est de dimension finie si et seulement si, dans E, toute série commutativement convergente est absolument convergente.

Un théorème d'Orlicz

D'après un théorème de Władysław Orlicz, toute série commutativement convergente ∑_nx_n dans L^p([0, 1]) (avec 1 ≤ p < ∞), vérifie ∑_n║x_n║^r < +∞ pour r = max(2, p). Par conséquent, dans L²([0, 1]), une série ∑_nx_n telle que ∑_n║x_n║² = +∞ ne peut pas être commutativement convergente. Ceci montre que l'hypothèse du théorème de Dvoretzky-Rogers ne peut pas être affaiblie puisque pour cet espace, la condition suffisante est également nécessaire.

Inversement, le théorème de Dvoretzky-Rogers rend naturelle, dans le théorème d'Orlicz, la restriction aux exposants supérieur ou égaux à 2, puisqu'il montre que pour tout espace de Banach de dimension infinie, si un nombre r est tel qu'une série commutativement convergente ∑_nx_n vérifie toujours ∑_n║x_n║^r < +∞, alors ℓ² ⊂ ℓ^r donc r ≥ 2.

Notes et références

(de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Dvoretzky-Rogers » (voir la liste des auteurs).

1. (en) A. Dvoretzky et C. A. Rogers, « Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces », PNAS, vol. 36,‎ 1950, p. 192-197 (lire en ligne).
2. (en) Mikhail I. Kadet︠s︡ et Vladimir M. Kadet︠s︡, Series in Banach Spaces : Conditional and Unconditional Convergence, Birkhäuser, coll. « Operator theory, advances and applications » (n^o 94),‎ 1997, 159 p. (ISBN 978-3-7643-5401-5, lire en ligne), chap. IV, § 1 (« The Dvoretzky-Rogers Theorem »), p. 45-49.

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