Convergence inconditionnelle

En mathématiques, une série converge inconditionnellement si la série converge, quel que soit l'ordre des éléments. Par exemple, la série ${\displaystyle \sum {\frac {1}{2^{n}}}}$converge inconditionnellement car ${\displaystyle 1+1/2+1/4+1/8+\dots }$ mais aussi n'importe quel autre ordre, comme ${\displaystyle 1/4+1/64+1+1/128+\dots }$converge.

Définition

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (x_n)_n∈ℕ une suite d'éléments de X. On dit que la série ∑ x_n converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente^[1] si, pour toute permutation σ : ℕ → ℕ, la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie^[2].

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables

Théorème^[1] — Une série de terme général x_n est commutativement convergente si et seulement si la suite (x_n)_n∈ℕ est une famille sommable, et toutes les sommes ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ sont alors égales à ∑_n∈ℕ x_n.

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes^[3] :

Lemme 1 — Si toutes les séries ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite (x_n)_n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

${\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall K{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(K\cap J_{V}=\varnothing \Rightarrow \sum _{k\in K}x_{k}\in V\right).}$

Démonstration

Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que :

${\displaystyle \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \exists K(J){\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad K(J)\cap J=\varnothing {\text{ et }}\sum _{k\in K(J)}x_{k}\notin V.}$

En posant J₀ = ∅ et, pour tout entier naturel n, J_n+1 = J_n ∪ K(J_n), on obtient une partition de ℕ par les K(J_n). Il existe une permutation de ℕ dans laquelle les éléments de chaque K(J_n) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.

Lemme 2 — Si (x_n)_n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ converge, alors (x_n)_n∈ℕ est une famille sommable.

Démonstration

Supposons que (x_n)_n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et — sans perte de généralité — que la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ soit convergente, de somme S, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists N_{V}\quad \forall n\geq N_{V}\quad S-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\in V.}$

Soient J_V un ensemble associé à V dans le critère de Cauchy pour les familles, J un ensemble fini d'entiers naturels contenant J_V, et n un entier majorant à la fois J et N_V. L'ensemble {0, … , n}\J est alors disjoint de J_V, d'où

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)-\sum _{k\in J}x_{k}\in V.}$

On en déduit que

${\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(J\supset J_{V}\Rightarrow S-\sum _{k\in J}x_{k}\in V+V\right),}$

ce qui prouve que la suite est sommable, de somme S.

Autres caractérisations

Théorème — Une série de terme général x_n est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite (ε_n)_n∈ℕ avec ε_n = ±1, la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$ converge, ou encore si toute sous-série ${\displaystyle \Sigma _{m=0}^{\infty }x_{n_{m}}}$ (n₀ < n₁ < n₂ < …) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre^[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3 — Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.