Convergence inconditionnelle

En mathématiques, une série converge inconditionnellement si la série converge, quel que soit l'ordre des éléments. Par exemple, la série ${\displaystyle \sum {\frac {1}{2^{n}}}}$converge inconditionnellement car ${\displaystyle 1+1/2+1/4+1/8+\dots }$ mais aussi n'importe quel autre ordre, comme ${\displaystyle 1/4+1/64+1+1/128+\dots }$converge.

Définition

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (x_n)_n∈ℕ une suite d'éléments de X. On dit que la série ∑ x_n converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente^[1] si, pour toute permutation σ : ℕ → ℕ, la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie^[2].

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x ∈ X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables

Théorème^[1] — Une série de terme général x_n est commutativement convergente si et seulement si la suite (x_n)_n∈ℕ est une famille sommable, et toutes les sommes ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ sont alors égales à ∑_n∈ℕ x_n.

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes^[3] :

Lemme 1 — Si toutes les séries ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite (x_n)_n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

${\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall K{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(K\cap J_{V}=\varnothing \Rightarrow \sum _{k\in K}x_{k}\in V\right).}$

Démonstration

Par contraposée, supposons que le critère de Cauchy pour les familles n'est pas vérifié, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage V de l'élément neutre 0 du groupe X tel que :

${\displaystyle \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \exists K(J){\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad K(J)\cap J=\varnothing {\text{ et }}\sum _{k\in K(J)}x_{k}\notin V.}$

En posant J₀ = ∅ et, pour tout entier naturel n, J_n+1 = J_n ∪ K(J_n), on obtient une partition de ℕ par les K(J_n). Il existe une permutation de ℕ dans laquelle les éléments de chaque K(J_n) deviennent consécutifs. La série correspondante ne vérifie pas le critère de Cauchy.

Lemme 2 — Si (x_n)_n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{\sigma (n)}}$ converge, alors (x_n)_n∈ℕ est une famille sommable.

Démonstration

Supposons que (x_n)_n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et — sans perte de généralité — que la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}}$ soit convergente, de somme S, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists N_{V}\quad \forall n\geq N_{V}\quad S-\sum _{k=0}^{n}x_{k}\in V.}$

Soient J_V un ensemble associé à V dans le critère de Cauchy pour les familles, J un ensemble fini d'entiers naturels contenant J_V, et n un entier majorant à la fois J et N_V. L'ensemble {0, … , n}\J est alors disjoint de J_V, d'où

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)-\sum _{k\in J}x_{k}\in V.}$

On en déduit que

${\displaystyle \forall V{\text{ voisinage de }}0\quad \exists J_{V}{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \forall J{\text{ fini }}\subset \mathbb {N} \quad \left(J\supset J_{V}\Rightarrow S-\sum _{k\in J}x_{k}\in V+V\right),}$

ce qui prouve que la suite est sommable, de somme S.

Autres caractérisations

Théorème — Une série de terme général x_n est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite (ε_n)_n∈ℕ avec ε_n = ±1, la série ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}}$ converge, ou encore si toute sous-série ${\displaystyle \Sigma _{m=0}^{\infty }x_{n_{m}}}$ (n₀ < n₁ < n₂ < …) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre^[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3 — Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

Notes et références

1. Bourbaki, TG, III.44.
2. Cf. théorème de Dvoretzky-Rogers.
3. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 228-229.
4. (en) Christopher Heil, A Basis Theory Primer : Expanded Edition, Springer, 2010, 534 p. (ISBN 978-0-8176-4686-8, lire en ligne), p. 97.

Voir aussi

Articles connexes

• Convergence 
• Théorème d'Orlicz-Pettis
• Théorème de réarrangement de Riemann
• Théorème de réarrangement de Steinitz

Bibliographie

(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)

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