Q-analogue

En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogues étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIX^e siècle^[1].

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres q-déformées^{[réf. souhaitée]}.

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson^[2], et les q-analogues non classiques^[3].

q-théorie classique

q-dérivée

La dérivée d'une fonction de variable réelle ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$ est la limite du taux d'accroissement ${\displaystyle \tau ={\frac {f(x')-f(x)}{x'-x}}}$ quand ${\displaystyle x'}$ tend vers ${\displaystyle x}$, et on appelle traditionnellement ${\displaystyle h}$ la différence ${\displaystyle x'-x}$ de sorte que ${\displaystyle \tau ={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$. Mais, pour ${\displaystyle x}$ non nul, on peut aussi noter ${\displaystyle q}$ le quotient ${\displaystyle x'/x}$ de sorte que ${\displaystyle \tau ={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}}$. C'est ce dernier quotient qui est appelé la q-dérivée de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle x}$, laquelle tend bien vers ${\displaystyle f'(x)}$ quand ${\displaystyle q}$ tend vers 1, si ${\displaystyle f}$ est dérivable en ${\displaystyle x}$^[4]. On note alors que la q-dérivée de la fonction ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$ vaut ${\displaystyle {\frac {q^{n}-1}{q-1}}x^{n-1}}$, qui tend bien vers la dérivée ${\displaystyle nx^{n-1}}$ lorsque ${\displaystyle q}$ tend vers 1. Ceci justifie les définitions suivantes.

q-entier

On définit le q-analogue de l'entier positif ${\displaystyle n}$ ^[3] par :

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}$

q-factorielle

On définit alors naturellement le q-analogue de la factorielle de l'entier ${\displaystyle n}$ par :

${\displaystyle n!_{q}}$	${\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}$
	${\displaystyle ={\frac {1-q}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}\cdot {\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$
	${\displaystyle =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).}$

Ce q-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que ${\displaystyle n!}$ est le nombre de permutations d'ordre ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n!_{q}}$ compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note ${\displaystyle {\text{inv}}(\sigma )}$ le nombre d'inversions de la permutation ${\displaystyle \sigma }$ et ${\displaystyle S_{n}}$ l'ensemble des permutations d'ordre n, on a : ${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}q^{{\text{inv}}(\sigma )}=n!_{q}}$.

La q-factorielle a aussi une écriture concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

${\displaystyle n!_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}}$.

La fonction q-gamma prolonge la q-factorielle aux nombres réels.

Coefficients q-binomiaux

À partir de la q-factorielle, on définit les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss ^[5], q-analogues des coefficients binomiaux :

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {n!_{q}}{(n-k)!_{q}k!_{q}}}}$, notés aussi ${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{q}}$^[6].

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle

${\displaystyle e_{q}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!_{q}}}}$,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

q-analogues non classiques

Applications