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En mathématiques et en physique théorique, une superalgèbre est une algèbre Z2 - graduée[1]. En d'autres termes, c'est une algèbre sur un anneau ou un corps commutatif avec une décomposition en parties « paire » et « impaire » et un opérateur de multiplication qui respecte la graduation.
Le préfixe super vient de la théorie de la supersymétrie en physique théorique. Les superalgèbres et leurs représentations, les supermodules, fournissent un cadre algébrique pour formuler cette théorie. L'étude de tels objets est parfois appelée « algèbre superlinéaire ». Les superalgèbres jouent également un rôle important dans le domaine voisin de la supergéométrie où elles interviennent dans les définitions des variétés graduées, des supervariétés et des superschémas.
Soit un anneau commutatif. Dans la plupart des applications, est un corps de caractéristique d'un anneau 0, tel que le corps R des nombres réels ou le corps C des nombres complexes.
Une superalgèbre sur est un -module avec une décomposition en somme directe :
et une multiplication bilinéaire telle que
où les indices se lisent modulo 2, c'est-à-dire qu'ils sont considérés comme des éléments de Z2.
Un superanneau, ou anneau Z2-gradué, est une superalgèbre sur l'anneau des entiers Z .
Les éléments de chacun des sont dits homogènes. La parité d'un élément homogène , notée , vaut 0 ou 1 selon qu'il est dans ou . Les éléments de parité 0 sont dits pairs et ceux de parité 1 impairs . Si et sont tous les deux homogènes, alors leur produit aussi est homogène et .
Une superalgèbre associative est une superalgèbre dont la multiplication est associative et une superalgèbre unitaire est une superalgèbre avec un élément neutre pour la multiplication. L'élément neutre dans une superalgèbre unitaire est nécessairement pair. Sauf indication contraire, toutes les superalgèbres sont supposées, dans la suite, associatives et unitaires.
Une superalgèbre commutative (ou algèbre supercommutative) est une superalgèbre qui vérifie une version graduée de la commutativité. Plus précisément, est commutatif si
pour des éléments homogènes et de . Il existe des superalgèbres qui sont commutatives au sens ordinaire, mais pas au sens des superalgèbres. C'est pour cette raison, que les superalgèbres commutatives sont souvent appelées supercommutatives afin d'éviter toute confusion[2].
Soit une superalgèbre sur un anneau commutatif . Le sous-module , constitué des éléments pairs, est fermé par multiplication et contient l'identité de et forme donc une sous-algèbre de , naturellement appelée sous-algèbre paire. Elle forme une algèbre ordinaire sur .
L'ensemble de tous les éléments impairs est un '-bimodule dont la multiplication scalaire est juste la multiplication dans . Le produit dans munit d'une forme bilinéaire
telle que
pour tous . Cela provient de l'associativité du produit dans .
Il existe un automorphisme involutif canonique sur toute superalgèbre appelé involution de graduation . Elle est donnée sur des éléments homogènes par
et sur des éléments arbitraires par
où les sont les parties homogènes de . Si n'est pas de 2-torsion (en particulier, si 2 est inversible), alors l'involution de graduation peut être utilisée pour distinguer les parties paires et impaires de :
Le supercommutateur sur est l'opérateur binaire défini par
pour des éléments homogènes, et étendu à tout par linéarité. On dit que les éléments et de supercommutent si .
Le supercentre de est l'ensemble des éléments de qui supercommutent avec tous les éléments de :
Le supercentre de est, en général, différent du centre de en tant qu'algèbre non graduée. Une superalgèbre commutative est une superalgèbre dont le supercentre est tout entier.
Le produit tensoriel gradué de deux superalgèbres et peut être considéré comme une superalgèbre avec la multiplication déterminée par :
Si ou est purement pair, cela équivaut au produit tensoriel ordinaire non gradué (sauf que le résultat est gradué). Cependant, en général, le super produit tensoriel est différent du produit tensoriel de et considérés comme des algèbres ordinaires non graduées.
On peut facilement généraliser la définition des superalgèbres pour inclure les superalgèbres sur un superanneau commutatif. La définition donnée ci-dessus est alors une spécialisation au cas où l'anneau de base est purement pair.
Soit un superanneau commutatif. Une superalgèbre sur est un -supermodule avec une multiplication -bilinéaire qui respecte la graduation. La bilinéarité signifie ici que
pour tous éléments homogènes et .
De manière équivalente, on peut définir une superalgèbre sur comme un superanneau avec un homomorphisme de superanneau dont l'image est contenue dans le supercentre de .
On peut aussi définir les superalgèbres dans le cadre de la théorie des catégories . La catégorie de tous les -supermodules forme une catégorie monoïdale pour le super produit tensoriel avec servant d'objet unitaire. Une superalgèbre unitaire associative sur peut alors être définie comme un monoïde dans la catégorie des -supermodules. Autrement dit, une superalgèbre est un -supermodule avec deux morphismes (pairs)
pour lesquels les diagrammes usuels commutent.
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