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Un polyèdre uniforme est un polyèdre dont les faces sont des polygones réguliers et qui est isogonal, c'est-à-dire que pour tout couple de sommets, il existe une isométrie qui applique un sommet sur l'autre. Il en découle que tous les sommets sont congruents et que le polyèdre possède un haut degré de symétrie par réflexion et rotation. La notion de polyèdre uniforme est généralisée, pour un nombre de dimensions quelconque, par celle de polytope uniforme (en).
Les polyèdres uniformes peuvent être réguliers, quasi réguliers ou semi-réguliers. Les faces n'ont pas besoin d'être convexes, si bien que beaucoup de polyèdres uniformes sont étoilés.
En excluant les deux ensembles infinis des prismes et antiprismes uniformes (incluant les convexes et les étoilés), il existe 75 polyèdres uniformes (ou 76 si les arêtes sont autorisées à coïncider) :
Ils peuvent aussi être regroupés par groupe de symétrie, ce qui est fait ci-dessous.
Il existe quatre efforts d'indexation majeurs publiés à partir des travaux ci-dessus. Pour les distinguer, ils sont donnés par différentes lettres d'indexation, C pour la première énumération des solides par Coxeter en 1954, W pour le livre de 1974 sur les patrons de polyèdres par Wenninger, K pour la solution Kaleido de 1993, et U pour la solution de Maeder utilisée par Mathematica et reproduite extensivement ailleurs.
Les polyèdres uniformes convexes peuvent être nommés par les opérations de construction de Wythoff sur une forme parent.
Note : les dièdres (en) font partie d'un ensemble infini de polyèdres à deux côtés (2 polygones identiques) qui engendre les prismes comme formes tronquées.
Chacune de ces formes convexes définit un ensemble de sommets qui peut être identifié pour les formes non convexes dans la prochaine section.
Parent | Tronqué | Rectifié | Bitronqué (dual tronqué) |
Birectifié (dual) |
Biseauté | Omnitronqué (Rectifié-tronqué) |
Adouci | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Symbole de Schläfli Étendu |
||||||||
t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
Symbole de Wythoff p-q-2 |
q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 |
Diagramme de Coxeter-Dynkin (variations) | ||||||||
(o)-p-o-q-o | (o)-p-(o)-q-o | o-p-(o)-q-o | o-p-(o)-q-(o) | o-p-o-q-(o) | (o)-p-o-q-(o) | (o)-p-(o)-q-(o) | ( )-p-( )-q-( ) | |
xPoQo | xPxQo | oPxQo | oPxQx | oPoQx | xPoQx | xPxQx | sPsQs | |
[p,q]:001 | [p,q]:011 | [p,q]:010 | [p,q]:110 | [p,q]:100 | [p,q]:101 | [p,q]:111 | [p,q]:111s | |
Configuration de sommet | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p.2q.2q) | qp | (p.4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p.3.q) |
Tétraédrique 3-3-2 |
{3,3} |
(3.6.6) |
(3.3.3.3) |
(3.6.6) |
{3,3} |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
(3.3.3.3.3) |
Octaédrique 4-3-2 |
{4,3} |
(3.8.8) |
(3.4.3.4) |
(4.6.6) |
{3,4} |
(3.4.4.4) |
(4.6.8) |
(3.3.3.3.4) |
Icosaédrique 5-3-2 |
{5,3} |
(3.10.10) |
(3.5.3.5) |
(5.6.6) |
{3,5} |
(3.4.5.4) |
(4.6.10) |
(3.3.3.3.5) |
Diédrique p-2-2 Exemple p=5 |
{5,2} | 2.10.10 | 2.5.2.5 | 4.4.5 |
{2,5} | 2.4.5.4 | 4.4.10 |
3.3.3.5 |
Opération | Étendu Symboles de Schläfli |
Diagramme de Coxeter- Dynkin |
Description | |
---|---|---|---|---|
Parent | t0{p,q} | Polyèdre régulier quelconque ou pavage | ||
Rectifié | t1{p,q} | Les arêtes sont pleinement tronquées en points uniques. Le polyèdre maintenant possède les faces combinées du parent et du dual. | ||
Birectifié Dual |
t2{p,q} | Le birectifié (dual) est une troncature plus poussée c’est-à-dire que les faces originales sont réduites à des points. Les nouvelles faces sont formées sous chaque sommet du parent. Le nombre d'arêtes est inchangé et est tourné à 90 degrés. Le dual d'un polyèdre régulier {p, q} est aussi un polyèdre régulier {q, p}. | ||
Tronqué | t0,1{p,q} | Chaque sommet original est découpé, avec de nouvelles faces remplissant le trou. La troncature possède un degré de liberté, qui a une solution qui créée un polyèdre uniforme tronqué. Le polyèdre a ses faces originales doublées par côtés, et contient les faces du dual. | ||
Bitronqué | t1,2{p,q} | Identique au dual tronqué. | ||
Biseauté (ou rhombé) (développé) |
t0,2{p,q} | En ajout à la troncature des sommets, chaque arête originale est rabotée faisant apparaître à la place de nouvelles faces rectangulaires. Un biseautage uniforme est à mi-chemin entre le parent et les formes duales. | ||
Omnitroncature (ou rectification-troncature) |
t0,1,2{p,q} | Les opérations de troncature et de rectification sont appliquées ensemble, créant une forme omnitronquée qui a les faces du parent doublées sur les côtés, les faces du dual doublées sur les côtés et des carrés où les arêtes originales existaient. | ||
Adouci | s{p,q} | L'adoucissement prend la forme omnitronquée et rectifie les sommets alternativement (cette opération est seulement possible pour les polyèdres avec toutes les faces sur les côtés paires). Toutes les faces originales finissent avec la moitié des côtés, et le carré dégénère en arêtes. Puisque les formes omnitronquées ont 3 faces/sommet, de nouveaux triangles sont formés. |
Tous les polyèdres uniformes sont listés ci-dessous par leurs groupes de symétrie et sous-groupés par leurs arrangements de sommet (configurations de sommet).
Les polyèdres réguliers sont marqués par leurs symboles de Schläfli. Les autres polyèdres uniformes, non réguliers, sont listés par leurs configurations de sommet (en) ou par leurs indices des polyèdres uniformes U(1-80).
Note : Pour les formes non convexes, un descripteur supplémentaire, « non uniforme », est utilisé lorsque l'enveloppe convexe de l'arrangement de sommet possède la même topologie que l'un d'entre eux, mais possède des faces non régulières. Par exemple, une forme biseautée non uniforme peut avoir des rectangles créés à la place d'arêtes plutôt que des carrés.
Il existe deux polyèdres uniformes convexes, le tétraèdre et le tétraèdre tronqué, et une forme non convexe, le tétrahémihexaèdre qui possède une symétrie tétraédrique (en). Le tétraèdre est un polyèdre autodual.
En plus, l'octaèdre, l'octaèdre tronqué, le cuboctaèdre et l'icosaèdre ont une symétrie tétraédrique de même qu'une symétrie plus élevée. Ils sont ajoutés pour l'exhaustivité ci-dessous, bien que leurs formes non convexes avec la symétrie octaédrique ne soient pas incluses ici.
Il existe 8 formes convexes et 10 formes non convexes avec la symétrie octaédrique.
Groupe de sommet | Convexe | Non convexe | ||
---|---|---|---|---|
(Octaédrique) | {3,4} | |||
Tronqué (*) | (4.6.6) | |||
Rectifié (*) | (3.4.3.4) |
(6.4/3.6.4) |
(6.3/2.6.3) | |
Dual tronqué (*) | (3.8.8) |
(4.8/3.4/3.8/5) |
(8/3.3.8/3.4) |
(4.3/2.4.4) |
Dual (*) | {4,3} | |||
Biseauté (*) | (3.4.4.4) |
(4.8.4/3.8) |
(8.3/2.8.4) |
(8/3.8/3.3) |
Omnitronqué (*) | (4.6.8) | |||
Omnitronqué non uniforme (*) | (4.6.8) | (8/3.4.6) |
(8/3.6.8) | |
Adouci (*) | (3.3.3.3.4) |
Il existe 8 formes convexes et 46 formes non convexes ayant la symétrie icosaédrique (ou 47 formes non convexes si le polyèdre de Skilling est inclus). Certaines formes adoucies non convexes ont une symétrie chirale non uniforme, et certaines ont une symétrie achirale.
Il existe beaucoup de formes non uniformes de degrés variés de troncature et de biseautage.
Groupe de sommet | Convexe | Non convexe | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(Icosaédrique) | {3,5} |
{5/2,5} |
{5,5/2} |
{3,5/2} | |||||
Tronqué (*) | (5.6.6) | ||||||||
Tronqué non uniforme (*) | (5.6.6) | U32 |
U37 |
U61 |
U38 |
U44 |
U56 |
U67 |
U73 |
Rectifié (*) | (3.5.3.5) |
U49 |
U51 |
U54 |
U70 |
U71 |
U36 |
U62 |
U65 |
Dual tronqué (*) | (3.10.10) |
U42 |
U48 |
U63 | |||||
Dual tronqué non uniforme (*) | (3.10.10) | U68 |
U72 |
U45 | |||||
Dual (*) | {5,3} |
{5/2,3} |
U30 |
U41 |
U47 | ||||
Biseauté (*) | (3.4.5.4) |
U33 |
U39 | ||||||
Biseauté non uniforme (*) | (3.4.5.4) | U31 |
U43 |
U50 |
U55 |
U58 |
U75 |
U64 |
U66 |
Omnitronqué (*) | (4.6.10) | ||||||||
Omnitronqué non uniforme (*) | (4.6.10) | U59 | |||||||
Adouci (*) | (3.3.3.3.5) | ||||||||
Adouci non uniforme (*) | (3.3.3.3.5) | U40 |
U46 |
U57 |
U69 |
U60 |
U74 |
Il existe un polyèdre non convexe supplémentaire appelé le grand dirhombidodécaèdre disadouci, aussi connu sous le nom polyèdre de Skilling. Il est de sommets uniformes, mais des paires d'arêtes coïncident dans l'espace de telle sorte que quatre faces se rencontrent à certains sommets. Il est quelquefois, mais pas toujours, compté comme un polyèdre uniforme. Il possède une symétrie Ih.
Il existe deux ensembles infinis de polyèdres uniformes avec la symétrie diédrale :
Si p/q est un nombre entier, i.e. si q = 1, le prisme ou l'antiprisme est convexe (la fraction est toujours supposée irréductible).
La différence entre les groupes de symétrie prismatiques et antiprismatique réside dans le fait que Dph possède un plan de réflexion parallèle au polygone {p/q}, alors que Dpd n'en possède pas.
Un antiprisme avec p/q < 2 est croisé ; sa figure de sommet ressemble à un nœud papillon. Si p/q ≤ 3/2, aucun antiprisme ne peut exister, comme sa figure de sommet violerait l'inégalité triangulaire.
Note : le tétraèdre, le cube et l'octaèdre sont listés ici avec la symétrie diédrale (en tant qu'antiprisme digonal, prisme tétragonal et antiprisme trigonal respectivement) ; bien qu'uniformément colorés, le premier a aussi une symétrie tétraédrique et les deux autres une symétrie octaédrique.
Groupe de symétrie |
Convexe | Non convexe | |||
---|---|---|---|---|---|
d2d | 3.3.3 | ||||
d3h | 3.3.4 | ||||
d3d | 3.3.3.3 | ||||
d4h | 4.4.4 | ||||
d4d | 3.3.3.4 | ||||
d5h | 4.4.5 |
4.4.5/2 |
3.3.3.5/2 | ||
d5d | 3.3.3.5 |
3.3.3.5/3 (en) | |||
d6h | 4.4.6 | ||||
d6d | 3.3.3.6 | ||||
d7h | 4.4.7 (en) |
4.4.7/2 (en) |
4.4.7/3 (en) |
3.3.3.7/2 (en) |
3.3.3.7/4 (en) |
d7d | 3.3.3.7 (en) |
3.3.3.7/3 (en) | |||
d8h | 4.4.8 |
4.4.8/3 (en) | |||
d8d | 3.3.3.8 |
3.3.3.8/3 (en) |
3.3.3.8/5 (en) | ||
d9h | 4.4.9 (en) |
4.4.9/2 et 4.4.9/4 (en) |
3.3.3.9/2 et 3.3.3.9/4 (en) | ||
d9d | 3.3.3.9 (en) |
3.3.3.9/5 | |||
d10h | 4.4.10 |
4.4.10/3 | |||
d10d | 3.3.3.10 |
3.3.3.10/3 | |||
d11h | 4.4.11 |
4.4.11/2 4.4.11/3 4.4.11/4 4.4.11/5 |
3.3.3.11/2 3.3.3.11/4 3.3.3.11/6 | ||
d11d | 3.3.3.11 | 3.3.3.11/3 3.3.3.11/5 3.3.3.11/7 | |||
d12h | 4.4.12 |
4.4.12/5 | 3.3.3.12/7 | ||
d12d | 3.3.3.12 |
3.3.3.12/5 | |||
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