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polygone à 8 côtés De Wikipédia, l'encyclopédie libre
Un octogone (du grec ὀκτάγωνον oktágōnon, cf. ὀκτώ oktṓ « huit » et γωνία gōnía « angle ») est un polygone à huit sommets, donc huit côtés et vingt diagonales.
Octogone régulier | |
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Type | Polygone régulier |
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Arêtes | 16 |
Sommets | 8 |
Symbole de Schläfli | {8} |
Diagramme de Coxeter-Dynkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Groupe de symétrie | Groupe diédral D16 |
Angle interne | 135° |
Propriétés | Constructible |
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La somme des angles internes d'un octogone non croisé est égale à 6π rad, soit 1 080°.
Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont la même valeur.
Il existe un octogone régulier étoilé (l'octagramme régulier, noté {8/3}) mais usuellement, « octogone régulier » désigne implicitement l'octogone régulier convexe, noté {8}.
Pour un octogone régulier de côté a :
D'après le théorème de Gauss-Wantzel et puisque 8 est une puissance de 2, l'octogone régulier est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :
Ou plus simplement :
L'octogone apparait dans le plan de certains édifices dans l'architecture de la Grèce antique puis se répand fortement dans l'architecture romaine. Il s'est ensuite largement transmis aux époques suivantes.
Dans l'Antiquité, on peut citer la présence de l'octogone pour le plan de la tour des Vents à Athènes (Ier ou IIe siècle av. J.-C.), pour la salle à coupole de la Domus aurea de Néron à Rome et d'autres salles à coupoles de la Rome antique, pour des mausolées comme celui du palais de Dioclétien à Split. On retrouve ensuite l'octogone dans le plan de nombreuses églises à plan centré et de baptistères relevant des architectures paléochrétienne et byzantine. Cette forme est ensuite abondement reprise au Moyen Âge dans les architectures arménienne, carolingienne, islamique, romane, gothique, et finit par connaitre encore un certain succès dans l'architecture de la Renaissance et de la période baroque. Parmi les multiples exemples, on peut citer la basilique Saint-Vital de Ravenne (VIe siècle), le dôme du Rocher à Jérusalem (VIIe siècle), la chapelle palatine de Charlemagne à Aix-la-Chapelle (VIIIe siècle), le baptistère Saint-Jean de Florence (XIIe siècle), Castel del Monte de Frédéric II du Saint-Empire (XIIIe siècle) en Apulie (Italie) qui a un plan octogonal flanqué de huit tours elles-mêmes octogonales, ou encore les sales capitulaires des cathédrales de Salisbury et de Wells en Angleterre (XIIIe siècle) et le dôme de Santa Maria del Fiore de Florence (XIIIe – XVe siècle).
Les bassins octogonaux existent également dès l'Antiquité et se transmettent ensuite. On en trouve dans les palais et thermes de la Rome antique, puis dans les églises, les monastères, les baptistères, ou encore dans les palais et les hammams islamiques.
En Asie les pagodes ont des plans divers : ronds, carrés ou polygonaux, parmi lesquels l'octogone est assez fréquent. On peut citer la pagode Sakyamuni du temple Fogong en Chine.
Pour les alchimistes, l'octogone est le parfait mélange entre le carré (l'Humain) et le cercle (le Divin).