Cotangente

La cotangente, de symbole usuel cot ou cotan (autrefois cotg), est une fonction trigonométrique.

Cotangente

Graphe de la fonction cotangente.

Notation	${\displaystyle \cot }$
Dérivée	${\displaystyle -\csc ^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}}}}$
Primitives	${\displaystyle \ln \sin +{\text{ cte}}}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}$
Ensemble image	${\displaystyle \mathbb {R} }$
Parité	impaire
Périodicité	${\displaystyle \pi }$

Particularités

Asymptotes	${\displaystyle x=k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }$
Zéros	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }$
Points d'inflexion	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} }$

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Définition

Géométriquement, dans un triangle rectangle ${\displaystyle ABC}$ d'hypoténuse ${\displaystyle [AB]}$ :

${\displaystyle \cot {\widehat {A}}=\mathrm {\frac {AC}{BC}} }$.

En trigonométrie :

${\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over \sin \theta }={1 \over \tan \theta }}$.

Propriétés

La fonction cotangente vérifie l'égalité :

${\displaystyle 1+\cot ^{2}x=\csc ^{2}x}$.

Dérivée

La dérivée de la cotangente est :

${\displaystyle \cot 'x=-\csc ^{2}x}$.

Primitive

Les primitives de la cotangente sont définies par :

${\displaystyle \int \cot x\,\mathrm {d} x=\ln(\sin x)+C}$.

Développement en série

On a le développement en série de Laurent, où ${\displaystyle B_{k}}$ désigne le ${\displaystyle k}$^e nombre de Bernoulli

${\displaystyle \cot x=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}}$,

mais aussi :

${\displaystyle \pi \cot(\pi x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n}}}$,

dont on déduit :

${\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-n^{2}\pi ^{2}}}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{x+n\pi }}}$.

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Cotangent », sur MathWorld

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Britannica
  • Enciclopedia De Agostini
  • Treccani

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